专题15 椭圆、双曲线、抛物线（命题猜想）-2017年高考数学（文）命题猜想与仿真押题
【考向解读】
1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率.2.以解答题形式
考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等.
【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M.
2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求
出方程中的 a2，b2，p 的值．
例 1 【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1： +y2=1(m>1)与双曲线 C2： –y2=1(n>0)
的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则（ ）
A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m
1 D．mb>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 3
3
，过 F2 的直线 l 交 C
于 A、B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x2
3
＋y2
2
＝1 B.x2
3
＋y2＝1
C.x2
12
＋y2
8
＝1 D.x2
12
＋y2
4
＝1
2
2
x
m
2
2
x
n
(2)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2， 3)，且双曲线的一个焦点在抛
物线 y2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.x2
21
－y2
28
＝1 B.x2
28
－y2
21
＝1
C.x2
3
－y2
4
＝1 D.x2
4
－y2
3
＝1
【答案】 (1)A (2)D
【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝c
a
＝ 1－b
a2；
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝c
a
＝ 1＋b
a2.
2．双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±b
ax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系．
例 2、【2016 高考新课标 3 理数】已知 为坐标原点， 是椭圆 ：
的左焦点， 分别为 的左，右顶点. 为 上一点，且 轴.
过点 的直线与线段 交于点 ，与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则 的离
心率为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
O F C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ,A B C P C PF x⊥
A PF M y E BM OE C
1
3
1
2
2
3
3
4
【答案】A
【变式探究】 (1)椭圆 Γ：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y＝
3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
(2)(2015·西北工业大学附中四模)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作
圆 x2＋y2＝a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线
方程为( )
A．y＝±3x B．y＝±2 2x
C．y＝±( 3＋1)x D．y＝±( 3－1)x
【答案】 (1) 3－1 (2)C
【解析】(1)直线 y＝ 3(x＋c)过点 F1(－c,0)，且倾斜角为 60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠
MF2F1＝30°，所以 MF1⊥MF2.在 Rt△MF1F2 中，|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c，所以该椭圆的离心率 e＝
2c
2a
＝ 2c
c＋ 3c
＝ 3－1.
(2)由题意作出示意图，
易得直线 BC 的斜率为a
b
，
cos∠CF1F2＝b
c
，
又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，
|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，
故 cos∠CF1F2＝b
c
＝4a2＋4c2－16a2
2 × 2a × 2c
⇒b2－2ab－2a2＝0⇒(b
a)2－2(b
a)－2＝0⇒b
a
＝1＋ 3，故双
曲线的渐近线方程为 y＝±( 3＋1)x.
【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭
圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离
心率的值或范围．
【变式探究】
(1)设 F1，F2 分别是椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1 (a>b>0)的左，右焦点，若在直线 x＝a2
c
上存在点 P，使线
段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(0， 2
2 ]B.(0， 3
3 ]
C.[ 2
2
，1)D.[ 3
3
，1)
(2)设双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线
交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于
a＋ a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－ 2，0)∪(0， 2)
D．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
【答案】 (1)D (2)A
此时 F2 为中点，即a2
c
－c＝2c，得 e＝ 3
3
，
综上，得 3
3 ≤e<1，
即所求的椭圆离心率的取值范围是[ 3
3
，1).
即 y＝－aa－c
b2 x＋aca－c
b2
＋b2
a
，
lCD：y＋b2
a
＝aa－c
b2 (x－c)，
即 y＝aa－c
b2 x－aca－c
b2
－b2
a .
∴xD＝c＋ b4
a2a－c.
∴点 D 到 BC 的距离为| b4
a2a－c|.
∴ b4
a2c－ab2，∴0b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点．若
AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( )
A.x2
45
＋y2
36
＝1 B.x2
36
＋y2
27
＝1
C.x2
27
＋y2
18
＝1 D.x2
18
＋y2
9
＝1
【答案】 (1)D (2)D
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2 代入上式得：
y1－y2
x1－x2
＝b2
a2.
∵直线 AB 的斜率为0＋1
3－1
＝1
2
，
∴b2
a2
＝1
2
⇒a2＝2b2，
∵右焦点为 F(3,0)，
∴a2－b2＝c2＝9，
解得 a2＝18，b2＝9，
又此时点(1，－1)在椭圆内，
∴椭圆方程为x2
18
＋y2
9
＝1.
【高考真题解读】
1. 【2016 高考新课标 1 卷】已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点
间的距离为 4,则 n 的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
2 2
2 2 13
x y
m n m n
− =+ −
( )1,3− ( )1, 3− ( )0,3 ( )0, 3
【答案】A
2.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 上任
意一点，M 是线段 PF 上的点，且 =2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )
（A） （B） （C） （D）1
【答案】C
【解析】设 （不妨设 ），则
，故选 C.
3.【2016 高考新课标 2 理数】已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在
上， 与轴垂直， ,则 的离心率为（ ）
（A） （B）
（C） （D）2
【答案】A
2 2 (p 0)y px= >
PM MF
3
3
2
3
2
2
( ) ( )22 , 2 , ,P pt pt M x y 0t >
2 12 , 2 . ,2 3
pFP pt pt FM FP = − =
( )
2 2
2 max
2 2, , 2 1 1 2 1 22 3 6 3 3, ,12 2 2 1 2 2 21, , 223 3 2
OM OM
p p p p px t x t tk t kpt pt t tty y t
− = − = + ∴ ∴ ∴ = = ≤ = = ∴ = + += =
当且仅当 时取等号，
1 2,F F
2 2
2 2: 1x yE a b
− = M
E 1MF 2 1
1sin 3MF F∠ = E
2 3
2 3
4.【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1： +y2=1(m>1)与双曲线 C2： –y2=1(n>0)的焦
点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则（ ）
A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m1 D．m+
1 2 1e e >
1 10 9M Mx x+ = ⇒ =
4 2 2 5
7.【2016 高考新课标 3 理数】已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左
焦点， 分别为 的左，右顶点. 为 上一点，且 轴.过点 的直线与线段 交
于点 ，与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】由题意设直线的方程为 ，分别令 与 得 ，
.设 OE 的中点为 N，则 ，则 ，即
，整理，得 ，所以椭圆 C 的离心率 ，故选 A．
8.【2016 高考天津理数】已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长
为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，
则双曲线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
9.【2016 高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆
的右焦点，直线 与椭圆交于 两点，且 ,则该椭圆的离心率是 ▲ .
O F C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
,A B C P C PF x⊥ A PF
M y E BM OE C
1
3
1
2
2
3
3
4
( )y k x a= + x c= − 0x = | | ( )FM k a c= −
| |OE k a= OBN FBM△ ∽△
1 | | | |2
| | | |
OE OB
FM BF
=
2 ( c)
k a a
k a a c
=− +
1
3
c
a
= 1
3e =
2
2
2
4 =1x y
b
−
22
44
3 =1yx −
22
34
4 =1yx −
2
2
2
4 =1x y
b
−
22
24 =11
x y−
xOy F
2 2
2 2 1( )x y a ba b
+ = ＞ ＞0
2
by = ,B C 90BFC∠ =
【答案】
【解析】由题意得 ，因此
10.【2016 高考天津理数】设抛物线 ，（t 为参数，p＞0）的焦点为 F，准线为 l.
过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ p,0），AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF|，且
△ACE 的面积为 ，则 p 的值为_________.
【答案】
【解析】抛物线的普通方程为 ， ， ，
又 ，则 ，由抛物线的定义得 ，所以 ，则
，
由 得 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ．
11.【2016 高考山东理数】已知双曲线 E： （a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的
四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______.
【答案】2
【解析】假设点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，则 ， ，所以
， ，由 ， 得离心率 或 （舍去），
6
3
3 3( , ),C( , ),2 2 2 2
b bB a a−
2 2 2 2 23 6( ) ( ) 0 3 2 .2 2 3
bc a c a e− + = ⇒ = ⇒ =
22
2
x pt
y pt
=
=
7
2
3 2
6
2 2y px= ( ,0)2
pF 7 32 2
pCF p p= − =
2CF AF= 3
2AF p= 3
2AB p= Ax p=
| | 2Ay p=
//CF AB EF CF
EA AB
= 2EF CF
EA AF
= =
2 6 2CEF CEAS S= =
9 2ACF AEC CFES S S= + =
1 3 2 9 22 p p× × = 6p =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2bA(c, )a
2bB(c, )a
−
22b| AB| a
= | BC | 2c= 2 AB 3 BC= 2 2 2c a b= + e 2= 1e 2
= −
所以 E 的离心率为 2.
12.【2016 年高考北京理数】双曲线 （ ， ）的渐近线为正方形
OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则
_______________.
【答案】2
【解析】∵ 是正方形，∴ ，即直线 方程为 ，此为双曲线的
渐近线，因此 ，又由题意 ，∴ ， ．故填：2．
13.【2016 高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的焦距是
________▲________.
【答案】
14.【2016 高考山东理数】（本小题满分 14 分）
平面直角坐标系 中，椭圆 C： 的离心率是 ，抛物线 E：
的焦点 F 是 C 的一个顶点.
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线与 C 交与不同的两点 A，
B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.
（i）求证：点 M 在定直线上;
（ii）直线与 y 轴交于点 G，记 的面积为 ， 的面积为 ，求
的最
大值及取得最大值时点 P 的坐标.
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b >
a =
OABC 45AOB∠ = ° OA y x=
a b= 2 2OB = 2 2 2(2 2)a a+ = 2a =
2 2
17 3
x y− =
2 10
xOy ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = ＞ ＞ 3
2
2 2x y=
PFG△ 1S PDM△ 2S 1
2
S
S
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）（i）见解析；（ii） 的最大值为 ，此时点 的坐
标为
【解析】
（Ⅱ）（Ⅰ）设 ，由 可得 ，
所以直线的斜率为 ，
因此直线的方程为 ，即 .
设 ，联立方程
得 ，
由 ，得 且 ，
14 22 =+ yx 1
2
S
S 4
9 P
)4
1,2
2(
)0)(2,(
2
>mmmP yx 22 = y' x=
m
)(2
2
mxmmy −=−
2
2mmxy −=
),(),,(),,( 002211 yxDyxByxA
2
2 2
2
4 1
my mx
x y
= −
+ =
014)14( 4322 =−+−+ mxmxm
0∆ > 520 +<< m 14
4
2
3
21 +=+
m
mxx
因此 ,
将其代入 得 ，
因为 ，所以直线 方程为 .
联立方程 ，得点 的纵坐标为 ，
即点 在定直线 上.
15.【2016 高考江苏卷】（本小题满分 10 分）
14
2
2 2
3
21
0 +=+=
m
mxxx
2
2mmxy −=
)14(2 2
2
0 +−=
m
my
mx
y
4
1
0
0 −= OD xmy 4
1−=
=
−=
mx
xmy 4
1
M M
1
4y = −
M 4
1−=y
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ，抛物线
（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.
①求证：线段 PQ 的中点坐标为 ；
②求 p 的取值范围.
【答案】（1） （2）①详见解析，②
【解析】
: 2 0l x y− − = 2: y 2 ( 0)C px p= >
(2 , ).p p− −
xy 82 = )3
4,0(
由①知 ，于是 ，所以
因此 的取值范围为
16.【2016 高考天津理数】（本小题满分 14 分）
设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知
，其中 为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
2 0p b+ > 2(2 2 ) 0p p+ − > 4.3p <
p 4(0, ).3
13
2
2
2
=+ y
a
x 3>a F A
||
3
||
1
||
1
FA
e
OAOF
=+ O
（Ⅱ）设过点 的直线与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于的直线与交于点 ，与
轴交于点 ，若 ，且 ，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
由（Ⅰ）知， ，设 ，有 ， .
由 ，得 ，所以 ，解得 .
因此直线 的方程为 .
设 ，由方程组 消去 ，解得 .
在 中， ，即 ，
化简得 ，即 ，解得 或 .
所以，直线的斜率的取值范围为 .
17.【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条
直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点．
A B B x M
y H HFBF ⊥ MOA MAO∠ ≤ ∠
2 2
14 3
x y+ = ),4
6[]4
6,( +∞−−∞
)0,1(F ),0( HyH FH ( 1, )Hy= − 2
2 2
9 4 12( , )4 3 4 3
k kBF k k
−= + +
HFBF ⊥ 0BF HF⋅ = 2
2 2
124 9 04 3 4 3
Hkyk
k k
− + =+ + k
kyH 12
49 2−=
MH k
kxky 12
491 2−+−=
),( MM yxM
−=
−+−=
)2(
12
491 2
xky
k
kxky y )1(12
920
2
2
+
+=
k
kxM
MAO△ |||| MOMAMAOMOA ≤⇔∠≤∠ 2222)2( MMMM yxyx +≤+−
1≥Mx 1)1(12
920
2
2
≥+
+
k
k
4
6−≤k 4
6≥k
),4
6[]4
6,( +∞−−∞
C 2 2y x= F x
1 2,l l C ,A B C P Q，
（I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；
（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．
（Ⅱ）设与 轴的交点为 ，
则 .
由题设可得 ，所以 （舍去）， .
设满足条件的 的中点为 .
当 与 轴不垂直时，由 可得 .
而 ，所以 .
当 与 轴垂直时， 与 重合，所以，所求轨迹方程为 . ....12 分
18.【2016 高考浙江理数】（本题满分 15 分）如图，设椭圆 （a＞1）.
（I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示）；
（II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取
值
范围.
F AB R PQ AR FQ
PQF∆ ABF∆ AB
2 1y x= −
x )0,( 1xD
2,2
1
2
1
2
1
1
baSxabFDabS PQFABF
−=−−=−= ∆∆
22
1
2
1
1
baxab
−=−− 01 =x 11 =x
AB ),( yxE
AB x DEAB kk = )1(1
2 ≠−=+ xx
y
ba
yba =+
2 )1(12 ≠−= xxy
AB x E D 12 −= xy
2
2
2 1x ya
+ =
【答案】（I） ；（II） ．
【解析】
（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ，
，满足
．
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ， ， ．
2
2
2 2
2 11
a k ka k
⋅ ++
20 2e< ≤
y P
Q
AP AQ=
AP AQ 1k 2k 1k 2 0k > 1 2k k≠
19.【2016 高考新课标 2 理数】已知椭圆 的焦点在轴上， 是 的左顶点，
斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上， ．
（Ⅰ）当 时，求 的面积；
（Ⅱ）当 时，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）设 ，则由题意知 ，当 时， 的方程为 ，
.
由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 .
:E
2 2
13
x y
t
+ = A E
( 0)k k > E ,A M N E MA NA⊥
4,| | | |t AM AN= = AMN∆
2 AM AN= k
144
49
( )3 2,2
( )1 1,M x y 1 0y > 4t = E
2 2
14 3
x y+ =
( )2,0A −
AM 4
π
AM 2y x= +
将 代入 得 .解得 或 ，所以 .
因此 的面积 .
20.【2016 年高考北京理数】（本小题 14 分）
已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ， ， ，
， 的面积为 1.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 的椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 M，直线 PB 与 轴交于点 N.
求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）详见解析.
2x y= −
2 2
14 3
x y+ = 27 12 0y y− = 0y = 12
7y = 1
12
7y =
AMN△ AMNS△
1 12 12 1442 2 7 7 49
= × × × =
2 2
2 2 1+ =x y
a b 0a b> > 3
2 ( ,0)A a (0, )B b
(0,0)O OAB∆
P C PA y x
BMAN ⋅
2
2 14
x y+ =
【解析】
令 ，得 ，从而 .
所以
.
当 时， ，
所以 .
综上， 为定值.
0=y 10
0
−−=
y
xxN 122
0
0
−+=−=
y
xxAN N
2
2112
0
0
0
0
−+⋅−+=⋅
x
y
y
xBMAN
22
8844
22
48444
0000
0000
0000
0000
2
0
2
0
+−−
+−−=+−−
+−−++=
yxyx
yxyx
yxyx
yxyxyx
4=
00 =x 10 −=y ,2,2 == ANBM
4=⋅ BMAN
BMAN ⋅
21.【2016 年高考四川理数】（本小题满分 13 分）
已知椭圆 E： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个
顶点，直线 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；
（Ⅱ）设 O 是坐标原点，直线 l’平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l
交于点 P．证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值.
【答案】（Ⅰ） ，点 T 坐标为（2,1）；（Ⅱ） .
（II）由已知可设直线的方程为 ，
有方程组 可得
所以 P 点坐标为（ ）， .
设点 A，B 的坐标分别为 .
由方程组 可得 .②
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
: 3l y x= − +
λ 2PT PA PBλ= ⋅ λ
2 2
16 3
x y+ = 4
5
λ =
1 ( 0)2y x m m= + ≠
1
2
3
y x m
y x
= +
= − +
，
，
22 3
21 .3
mx
my
= −
= +
，
2 22 ,13 3
m m− + 2 28
9PT m=
1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y，
2 2
16 3
1
2
x y
y x m
+ =
= +
，
，
2 23 4 (4 12) 0x mx m+ + − =
方程②的判别式为 ，由 ，解得 .
22. 【2016 高考上海理数】（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第
2 小题满分 8 分.
双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线过 且与双曲线交于
两点。
（1）若的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若的斜率存在，且 ，求的斜率.
2=16(9 2 )m∆ − >0∆ 3 2 3 2
2 2m− < <
2
2
2 1( 0)yx bb
− = > 1 2F F、 2F A B、
2
π
1F AB∆
3b = 1 1( ) 0F A F B AB+ ⋅ =
【答案】（1） ．（2） .
【解析】
（1）设 ．
由题意， ， ， ，
因为 是等边三角形，所以 ，
即 ，解得 ．
故双曲线的渐近线方程为 ．
1．(2015·重庆，10)设双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF
的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直
线 BC 的距离小于 a＋ a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
2y x= ± 15
5
±
( ),Α ΑΑ x y
( )2 ,0F c 21c b= + ( )2 2 2 41Αy b c b= − =
1F ΑΒ△ 2 3 Αc y=
( )2 44 1 3b b+ = 2 2b =
2y x= ±
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－ 2，0)∪(0， 2)
D．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
【答案】 A
【解析】 由题意 A(a，0)，B(c，
b2
a )，C(c，－b2
a )，由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上，设
D(x，0)，由 BD⊥AC 得
b2
a －0
c－x
·
b2
a
a－c
＝－1，解得 c－x＝
b4
a2（c－a），所以 c－x＝
b4
a2（c－a）＜a＋
a2＋b2＝a＋c，所以
b4
a2＜c2－a2＝b2⇒
b2
a2＜1⇒0＜
b
a＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1，0)∪
(0，1)，选 A.
2．(2015·陕西，14)若抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线 x2－y2＝1 的一个焦点，则 p＝
________．
【答案】 2 2
【解析】 由于双曲线 x2－y2＝1 的焦点为(± 2，0)，故应有
p
2＝ 2，p＝2 2.
3．(2015·天津，6)已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2， 3) ，且双曲线
的一个焦点在抛物线 y2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.
x2
21－
y2
28＝1 B.
x2
28－
y2
21＝1
C.
x2
3 －
y2
4 ＝1 D.
x2
4 －
y2
3 ＝1
【答案】 D
4．(2015·浙江，5)如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的
点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A.
|BF|－1
|AF|－1 B.
|BF|2－1
|AF|2－1
C.
|BF|＋1
|AF|＋1 D.
|BF|2＋1
|AF|2＋1
【答案】 A
【解析】 由图象知S △ BCF
S △ ACF＝
|BC|
|AC|＝
xB
xA，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴
xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴
S △ BCF
S △ ACF＝
|BF|－1
|AF|－1.故选 A.
5．(2015·福建，3)若双曲线 E：
x2
9 －
y2
16＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，
且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】 B
【解析】 由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P 在左支上，∵a＝3，∴|PF2|
－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选 B.
6．(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝±2x 的是( )
A．x2－
y2
4 ＝1 B.
x2
4 －y2＝1
C.
y2
4 －x2＝1 D．y2－
x2
4 ＝1
【答案】 C
【解析】 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上，不合题意；C、D 项双曲线焦点
均在 y 轴上，但 D 项渐近线为 y＝±
1
2x，只有 C 符合，故选 C.
7．(2015·广东，7)已知双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1 的离心率 e＝
5
4，且其右焦点为 F2(5，0)，则双
曲线 C 的方程为( )
A.
x2
4 －
y2
3 ＝1 B.
x2
16－
y2
9 ＝1
C.
x2
9 －
y2
16＝1 D.
x2
3 －
y2
4 ＝1
【答案】 B
8．(2015·四川，5)过双曲线 x2－
y2
3 ＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近
线于 A，B 两点，则|AB|＝( )
A.
4 3
3 B．2 3 C．6 D．4 3
【答案】 D
【解析】 焦点 F(2，0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x＝2，渐近线方程为 x2－
y2
3 ＝0，将 x＝
2 代入渐近线方程得 y2＝12，y＝±2 3，∴|AB|＝2 3－(－2 3)＝4 3.选 D.
9．(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM
为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为( )
A. 5 B．2 C. 3 D. 2
【答案】 D
10．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：
x2
2 －y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两
个焦点，若MF1→
·MF2→
<0，则 y0 的取值范围是( )
A.(－ 3
3
，
3
3 ) B.(－ 3
6
，
3
6 )
C.(－2 2
3
，
2 2
3 ) D.(－2 3
3
，
2 3
3 )
【答案】 A
【解析】 由题意知 M 在双曲线 C：
x2
2 －y2＝1 上，又在 x2＋y2＝3 内部，由{
x2
2 －y2＝1，
x2＋y2＝3，
得 y＝±
3
3 ，所以－
3
3 0，b>0)的渐近线与抛物
线 C2 ： x2 ＝ 2py(p ＞ 0) 交 于 点 O ， A ， B. 若 △OAB 的 垂 心 为 C2 的 焦 点 ， 则 C1 的 离 心 率 为
________．
【答案】
3
2
【解析】 由题意，不妨设直线 OA 的方程为 y＝
b
ax，直线 OB 的方程为 y＝－
b
ax.由
{y＝b
ax，
x2＝2py，
得 x2＝2p ·
b
ax，
∴x＝
2pb
a ，y＝
2pb2
a2 ，∴A(2pb
a ，
2pb2
a2 ).
设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F(0，
p
2 )，
∴kAF＝
2pb2
a2 －p
2
2pb
a
.
∵△OAB 的垂心为 F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
∴
2pb2
a2 －p
2
2pb
a
·(－b
a )＝－1，∴
b2
a2＝
5
4.
设 C1 的离心率为 e，则 e2＝
c2
a2＝
a2＋b2
a2 ＝1＋
5
4＝
9
4.
∴e＝
3
2.
