2017-2018学年河南省林州一中高二上学期开学考试数学试题（火箭班）Word版
林州一中2017-2018学年高二火箭班开学检测
数学试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
3．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．12 C．16 D．20
5．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
6．椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
A. B. C. D.
8．下列命题中正确的是( )
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则非p：∃x∈R，x2＋x－1≥0
9．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
10．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(，2)
C．(1＋，＋∞) D．(1,1＋)
11．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为( )
A.－1 B．2－
C. D.
12、已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则·等于( )
A．24 B．48
C．50 D．56
二、填空题（每题5分，共20分）
13．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
14．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1
|＋|PF2|的值为________．
15．F1，F2是椭圆E：x2＋＝1(0
1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和S≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
19、P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
20. 如右图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
21．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
22．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
(1)求＋的值；
(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．
林州一中高二火箭班开学检测
数学试题参考答案
1、答案 D 解析 ∵椭圆过(－2，)，则有＋＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2，2c＝4.故选D.
2、答案 A 解析 ∵点P(2,1)在曲线C的渐近线y＝x上，∴1＝，∴a＝2b.又∵＝＝5，即4b2＋b2＝25，∴b2＝5，a2＝20，故选A.
3、答案 B 解析 ab＝0a＝0，但a＝0⇒ab＝0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.
4、答案 D 解析 如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又
e＝＝，即c＝a，∴a2－c2＝a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20.
5、答案 A 解析 ∵·＝0，∴⊥.∵|||－|||＝2a，∴||2＋||2＝40.
∴||·||＝20－2a2＝2，∴a2＝9，b2＝1.∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
6、答案 A解析 由d1＋d2＝2a＝4c，∴e＝＝.
7、答案 B解析 由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．
设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①
又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－.②
将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.
8答案 B
9答案 C 解析 由题知：x0＝－为函数f(x)图像的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.
10答案 D 解析 依题意，0<∠AF2F1<，故01，得到点(1,0)到直线l的距离为d1＝.
同理可得点(－1,0)到直线l的距离d2＝.
∴S＝d1＋d2＝＝.
又S≥c，得≥c，即5a≥2c2.
于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解得e2∈[，5]．又e>1，
∴e的范围是e∈[，]．
19、答案 (1)e＝ (2)λ＝0或λ＝－4
解析 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，
有－＝1.由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
因为C为双曲线上一点，所以x－5y＝5b2，
有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.
20答案 (1) (2)＋＝1
解析 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1.
即＋＝1，解得a2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.
21答案 (1)＋＝1 (2)1≤m≤4
解析 (1)由题意知解之得
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，
∴||2＝(x0－m)2＋y
＝x－2mx0＋m2＋12(1－)
＝x－2mx0＋m2＋12
＝(x0－4m)2－3m2＋12.
∴||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.
由题意知，当x0＝4时，||2最小，∴4m≥4，∴m≥1.
又点M(m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m≤4.
22答案 (1)2 (2)[，]
解析 (1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ⇔x1x2＋y1y2＝0，∵y1＝1－x1，y2＝1－x2，代入上式，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.①
又将y＝1－x代入＋＝1⇒
(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
∵Δ＞0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①化简得＋＝2.
(2)∵e2＝＝1－，∴≤1－≤⇒≤ ≤.
又由(1)知b2＝，
∴≤≤⇒≤ a2≤⇒≤a≤.
∴长轴是2a∈[，]．
