2018-2019学年河南省平顶山市高二下学期期末数学（理)试题 解析版

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绝密★启用前 河南省平顶山市2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的四则运算律求出复数，再利用共轭复数、复数求模公式结合复数的加法法则可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的模，考查计算能力，着重考查对复数基础知识的理解和应用能力，属于基础题。‎ ‎2．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.‎ 详解：‎ 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.‎ 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.‎ ‎3．的展开式中的系数是（ ）‎ A．16 B．70 C．560 D．1120‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 设含的为第，‎ 所以，故系数为：，选D。‎ ‎4．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出曲线在切点处的切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 因此，曲线在点处的切线方程为，即，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在其上一点的切线方程，熟悉利用导数求切线方程的基本步骤是解题的关键，属于基础题。‎ ‎5．若满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．9 B．5 C．11 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，得，点的坐标为，‎ 平移直线，当该直线经过点，它在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。‎ ‎6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可。‎ 或 ‎，‎ ‎,可知 故答案选B.‎ 点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。‎ ‎7．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.‎ 详解：在中，‎ 设，则，‎ 又由椭圆定义可知 则离心率，‎ 故选D.‎ 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.‎ ‎8．若函数，则下列结论正确的是( )‎ A．，在上是增函数 B．，在上是减函数 C．，是偶函数 D．，是奇函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，且函数定义域为 令，则 显然，当时，；当时，‎ 所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；‎ 因为当时，是偶函数，所以选项C正确．‎ 要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．‎ 考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．‎ ‎9．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．‎ ‎【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．‎ ‎10．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A．3 B．4 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 解析：考察均值不等式，整理得即，又，‎ ‎11．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”.则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型概率公式计算出和，然后利用条件概率公式可计算出结果。‎ ‎【详解】‎ 事件前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得，‎ 由古典概型的概率公式得，由条件概率公式得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎12．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 则函数增；‎ 则函数减；‎ 则函数减；‎ 则函数增；选D.‎ ‎【考点定位】‎ 判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知圆与抛物线的准线相切，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知 考点：直线和抛物线的性质 ‎14．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ ‎【答案】1260.‎ ‎【解析】‎ 分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.‎ 详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎15．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也.”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世.按父子相继曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，为了避李世民的讳，“一世”方改为“一代”，当代中国学者测算“一代”平均为25年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有24年，其中只有约的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的，只有的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料，可以推断美国学者认为“一代”应为__________年．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设美国学者认为的一代为年，然后可得出寿命在、、、的家族企业的频率分别为、、、，然后利用平均数公式列方程解出的值，即可得出所求结果。‎ ‎【详解】‎ 设美国学者认为的一代为年，然后可得出寿命在、、、的家族企业的频率分别为、、、，‎ 则家族企业的平均寿命为，‎ 解得，因此，美国学者认为“一代”应为年，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数公式的应用，解题的关键要审清题意，将题中一些关键信息和数据收集起来，结合相应的条件或公式列等式或代数式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎16．设，，，将的最小值记为.则当是偶数时，__________；当是奇数时，__________．‎ ‎【答案】0 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中，，及 ‎，将的最小值记为，我们易得，当的取值为偶数时的规律，再进一步分析，为奇数时，的表达式与之间的关系，综合便可得出的表达式。‎ ‎【详解】‎ 根据的定义，列出的前几项：‎ ‎，，，，，，，，‎ 由此规律，我们可以推断：‎ 当为偶数时，；当为奇数时，.‎ 故答案为：；。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查归纳推理，归纳推理的一般步骤是：‎ ‎（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；‎ ‎（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（或猜想）。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知数列和满足，‎ ‎ ‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）记数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.‎ 试题解析：（1）由，得.‎ 当时，，故.‎ 当时，，整理得，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 所以 所以.‎ 考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.‎ ‎18．某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）设改造前、后手机产量相互独立，记表示事件：“改造前手机产量低于5000部，改造后手机产量不低于5000部”，视频率为概率，求事件的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：‎ 手机产量部 手机产量部 改造前 改造后 ‎（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.‎ 参考公式：随机变量的观测值计算公式：，其中.临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）（2）有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）（百部）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出事件“改造前手机产量低于部”的频率，以及事件“改造后手机产量不低于部”的频率，再利用独立事件的概率公式可计算出事件的概率；‎ ‎（2）补充列联表，计算的观测值，再根据临界值表找出犯错误的概率，即可对问题下结论；‎ ‎（3）利用频率分布直方图左右两边面积均为计算出中位数的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）记表示事件“改造前手机产量低于5000部” ， ‎ 表示事件“改造后手机产量不低于5000部”，由题意知． ‎ 改造前手机产量低于5000部的频率，‎ 故的估计值为0.62． ‎ 改造后手机产量不低于5000部的频率为，‎ 故的估计值为0.66， ‎ 因此，事件的概率估计值为． ‎ ‎（2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：‎ 手机产量部 手机产量部 改造前 ‎62‎ ‎38‎ 改造后 ‎34‎ ‎66‎ 由于，故有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关；‎ ‎（3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，‎ 手机产量低于5000部的直方图面积为，‎ 手机产量低于5500部的直方图面积为，‎ 故改造后手机产量的中位数的估计值为（百部）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立事件概率的计算、独立性检验以及频率分布直方图中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平和分析推理能力，属于中等题。‎ ‎19．设相互垂直的直线，分别过椭圆的左、右焦点，，且与椭圆的交点分别为、和、.‎ ‎（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；‎ ‎（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出线段的中点坐标，利用弦长公式计算出，于此得出圆心坐标和半径长，再写出圆的标准式方程；‎ ‎（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，分别计算出和，可计算出的值，在直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为 ‎，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及韦达定理计算出，同理计算出，代入题中等式计算出的值，从而说明实数存在。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可设的方程为，代入可得． ‎ 所以，的中点坐标为． 　‎ 又， ‎ 所以，以为直径的圆的方程为． ‎ ‎（2）假设存在常数，使得恒成立． ‎ ‎①当与轴垂直或与轴垂直时，‎ ‎；‎ ‎②设直线的方程为，则直线的方程为．‎ 将的方程代入得：． ‎ 由韦达定理得：，，‎ 所以． ‎ 同理可得． ‎ 所以． ‎ 因此，存在，使得恒成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查弦长公式、圆的标准方程，计算量大，解题的易错点就是计算，计算时可充分利用因式分解等一些常规步骤来操作，另外在设直线方程时也可以掌握一些技巧，降低运算量。‎ ‎20．设函数（k为常数，e＝2．718 28…是自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（I）函数的定义域为，‎ 由可得，‎ 得到的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（II）分，，，时，‎ 讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.‎ 试题解析：（I）函数的定义域为，‎ 由可得，‎ 所以当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，‎ 故在内不存在极值点；‎ 当时，设函数，‎ 因为，‎ 当时，‎ 当时，，单调递增，‎ 故在内不存在两个极值点；‎ 当时，‎ 得时，，函数单调递减，‎ 时，，函数单调递增，‎ 所以函数的最小值为，‎ 函数在内存在两个极值点；‎ 当且仅当，‎ 解得，‎ 综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.‎ 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.‎ ‎21．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）将直线：（为参数）化为极坐标方程；‎ ‎（2）设是（1）中的直线上的动点，定点，是曲线上的动点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将直线的参数方程化为普通方程，再由可将直线的普通方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）将点的极坐标化为直角坐标，点 所在曲线的方程化为普通方程，可知该曲线为圆，利用当、、与圆心四点共线且点为圆心与点连线线段与圆的交点时，取得最小值，可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）消去参数得， 即，‎ ‎∴直线的极坐标方程为．‎ ‎（答案也可以化为） ‎ ‎（2）∵的直角坐标为，‎ 曲线是圆：（为圆心）．‎ ‎∴．‎ ‎∴的最小值为（这时是直线与直线的交点）．‎ ‎【点睛】‎ 本题第（1）问考查的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，第（2）问考查圆的几何性质，考查折线段长度的最小值问题，做题时充分利用数形结合思想来求解，属于中等题。‎ ‎22．选修4-5：不等式选讲 已知函数，，‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若，且当时，，求的取值范围。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）当=-2时，不等式＜化为，‎ 设函数=，=，‎ 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是.‎ ‎（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，‎ ‎∴对∈[，)都成立，故，即≤，‎ ‎∴的取值范围为（-1，].‎ 考点：绝对值不等式解法，不等式恒成立问题。‎ 点评：中档题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。不等式恒成立问题，通常利用“分离参数法”，建立不等式，确定参数的范围。‎