高中数学选修2-3课件1_1_3

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1.1.3 分类计数原理 与 分步计数原理（三） 一、复习回顾 : 两个计数原理的内容是什么 ? 解决两个计数原理问题需要注意什么问题 ? 有哪些技巧 ? 练习： 三个比赛项目，六人报名参加。 １）每人参加一项有多少种不同的方法？ ２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？ ３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？ 例 1 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 , (1) 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数 ? (2) 可以组成多少个各位数字不重复的小于 1000 的自然数 ? (3) 可以组成多少个大于 3000, 小于 5421 且各位数字不允许重复的四位数 ? 升华发展 一、排数字问题 1 、将数字 1,2,3,4, 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里 , 每格填一个数字 , 则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有 _____ 种 引申 : １号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法。 所以共有 3*3*1=9 种不同的方法。 二、映射个数问题 : 例 2 设 A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z}, 从 A 到 B 共有多少种不同的映射 ? 三、染色问题 : 例 3 有 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色 , 要求在 ①② ③ ④ 四个区域中相邻 ( 有公共边界 ) 区域中不用同一种颜色 . (1) 若 n=6, 为 (1) 着色时共有多少种方法 ? (2) 若为 (2) 着色时共有 120 种不同方法 , 求 n ① ③ ① 　④ ③ ④ ② ② (1) (2) ２、如图 , 要给地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有多少种？ 解 : 按地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域依次分四步完成 , 第一步 , m 1 = 3 种 , 第二步 , m 2 = 2 种 , 第三步 , m 3 = 1 种 , 第四步 , m 4 = 1 种 , 所以根据乘法原理 , 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 ２、如图 , 要给地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有多少种？ 若用 2 色、 4 色、 5 色等 , 结果又怎样呢？ 答 : 它们的涂色方案种数分别是 0 、 4×3×2×2 = 48 、 5×4×3×3 = 180 种等。 思考： ３ . 如图 , 用 5 种不同颜色给图中的 A 、 B 、 C 、 D 四个区域涂色 , 规定一个区域 只涂一种颜色 , 相邻区域必须涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有 种。 A B C D 分析： 如图， A 、 B 、 C 三个区域两两相邻，　 A 与 D 不相邻，因此 A 、 B 、 C 三个区域的颜色两两不同， A 、 D 两个区域可以同色，也可以不同色，但 D 与 B 、 C 不同色。由此可见我们需根据 A 与 D 同色与不同色分成两大类。 解： 先分成两类：第一类， D 与 A 不同色，可分成四步完成。　第一步涂 A 有 5 种方法，第二步涂 B 有 4 种方法；第三步涂 C 　有 3 种方法；第四步涂 D 有 2 种方法。根据分步计数原理，　　　　共有 5 ×4×3×2 ＝ 120 种方法。　　　　　　　　 根据分类计数原理，共有 12 0+60 ＝ 180 种方法。 　　　第二类， A 、 D 同色，分三步完成， 第一步涂 A 和 D 有 5 种方法，第二步涂 B 有 4 种方法；第三步涂 C 有 3 种方法。根据分步计数原理，共有 5 ×4×3 ＝ 60 种方法。 ４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如右图）现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ______ 种 . （以数字作答） （ 1 ）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有　　　 N 1 =4×3×2×2×1=48 种； 所以，共有 N = N 1 + N 2 + N 3 =48+48+24=120 种 . （ 2 ） ③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有　　　　　　　 N 2 =4×3×2×2×1=48 种； （ 3 ） ②与④且③与⑥同色，则共 N 3 =4×3×2×1=24 种 解法一：从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花，又从图形看　　　知必有 2 组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 6 、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有 　　　　 种（以数字作答） 42 5 、如图，是 5 个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？ 四、子集问题 规律： n 元集合 的不同子集有个 。 例： 集合 A={a,b,c,d,e}, 它的子集个数为 ，真子集个数为 ，非空子集个数为 ，非空真子集个数为 。 五、综合问题 : 例 4 若直线方程 ax+by=0 中的 a,b 可以从 0,1,2,3,4 这五个数字中任取两个不同的数字 , 则方程所表示的不同的直线共有多少条 ? ２、 75600 有多少个正约数 ? 有多少个奇约数 ? 解 : 由于 75600=2 4 ×3 3 ×5 2 ×7 75600 的每个约数都可以写成 的形式 , 其中　　　　 , 　　　 , 　　　 , 　 于是 , 要确定 75600 的一个约数 , 可分四步完成 , 即 i,j,k,l 分别在各自的范围内任取一个值 , 这样 i 有 5 种取法 ,j 有 4 种取法 ,k 有 3 种取法 ,l 有 2 种取法 , 根据分步计数原理得约数的个数为 5×4×3×2=120 个 . 解 : 从总体上看 , 如 , 蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C 1 有三类方法 , 从局部上看每类又需两步完成 , 所以 , 第一类 , m 1 = 1×2 = 2 条 第二类 , m 2 = 1×2 = 2 条 第三类 , m 3 = 1×2 = 2 条 所以 , 根据加法原理 , 从顶点 A 到顶点 C 1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。 3 . 一蚂蚁沿着长方体的棱 , 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 4 、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中，异面直线共有（ ）对 A.12 B.24 C.36 D.48 B 5. 如图 , 从甲地到乙地有 2 条路可通 , 从乙地到丙地有 3 条路可通 ; 从甲地到丁地有 4 条路可通 , 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 甲地 乙地 丙地 丁地 解 : 从总体上看 , 由甲到丙有两类不同的走法 , 第一类 , 由甲经乙去丙 , 又需分两步 , 所以 m 1 = 2×3 = 6 种不同的走法 ; 第二类 , 由甲经丁去丙 , 也需分两步 , 所以 m 2 = 4×2 = 8 种不同的走法 ; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。