陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

汉中市龙岗学校2022届高一上学期期末考试数学试题 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合中元素的范围，再求两个集合的交集.‎ ‎【详解】由，解得，故，所以选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是 ( 　　)‎ A. [0，) B. [0，] C. [1，) D. [1，]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 要使函数有意义，需满足,解得,则函数的定义域为，故选C.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出点坐标，然后即可知的值，利用诱导公式即可求解出的值.‎ ‎【详解】因为角的终边经过点，‎ 所以，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用，难度较易.角(非轴线角)的终边经过点，则.‎ ‎4.已知向量与向量共线，则实数x的值为（ ）‎ A. B. 或‎0 ‎C. 0 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量与向量共线，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】向量与向量共线，‎ 则，‎ 即，‎ 解得或；‎ 所以实数x的值为或0．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共线的坐标表示方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可．‎ ‎【详解】函数f（x）的定义域为：x≠1，均满足，‎ 当x＝﹣1时，f（﹣1）0，排除A、 C．‎ 当x＝2时，f（2）0，排除B；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的判断，利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．‎ ‎6.为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）‎ A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先向左平移，可得，再横坐标缩小原来的倍，即可确定选项.‎ ‎【详解】将函数图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，‎ 所得到的函数图象对应的解析式为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.‎ ‎7.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对任意，且都有”，可知函数在上单调递减，结合选项即可判断．‎ ‎【详解】解：“对任意，且都有”， ∴函数在上单调递减， ‎ 结合选项可知，在单调递增，不符合题意， 在单调递减，符合题意， 在单调递增，不符合题意， 在单调递增，不符合题意， 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．‎ ‎8.已知函数，则（）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.‎ ‎9.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的对称中心，求出的表达式，然后确定| |的最小值．‎ ‎【详解】∵函数y＝3cos（2x+）的图象关于点中心对称，‎ ‎∴，得，k∈Z，由此得．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k的取值，确定| |的最小值，是基本方法．‎ ‎10.已知函数，若，则实数x的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为偶函数，由，可得，再结合单调性，解不等式，即可求出x的取值范围.‎ ‎【详解】是R上的偶函数，当时，在上是增函数，‎ ‎∴由得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得或，‎ ‎∴实数x的取值范围为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性，若函数为偶函数，则常用的技巧为 ‎，再结合函数在上的单调性，解不等式即可求出参数的值或者范围，考查了运算求解能力.‎ ‎11.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知，解不等式即可求得a 的取值范围.‎ ‎【详解】函数在区间上为增函数，‎ ‎∵，，‎ 可得 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.‎ ‎12.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用函数的图象变换规律，得到 的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．‎ ‎【详解】将函数的图象向右平移 个单位，再向上平移一个单位，‎ 得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，‎ 故g（x）的最大值为2，最小值为0，‎ 若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．‎ 故有 g（）＝g（）＝2，即 cos2＝cos2＝﹣1，‎ ‎ 又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，‎ 则应有 2＝3π，2＝﹣3π，‎ 故 ﹣2取得最大值为+3π＝．‎ ‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13.已知向量，且，则实数______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，带入坐标即可求出实数m的值.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，解得．‎ ‎【点睛】本题考查向量的垂直，若向量，则可得，解方程即可求解，掌握向量的平行、垂直的等价形式是解题的关键.‎ ‎14.若扇形的周长是，面积，则扇形圆心角的弧度数的绝对值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设半径为，弧长，可得面积S和周长的表达式，解方程组即可求解.‎ ‎【详解】设扇形的半径为，弧长，面积为，则 ‎，，，，．‎ ‎【点睛】本题考查扇形的弧度数，掌握扇形的周长与面积公式是关键，属于基础题.‎ ‎15.已知幂函数的图象经过点，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数的定义可得，再利用幂函数的图象过点可求得的值，则答案可得.‎ ‎【详解】由是幂函数，可得.‎ 由的图象经过点，可得，解得.‎ 所以. ‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数，利用定义求解即可，是一道基础题.‎ ‎16.在中，角A为，角A平分线交于点D，已知，且，则在方向上的投影是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据得出四边形为菱形，从而可得,进而可求在方向上的投影.‎ ‎【详解】由可得：，‎ ‎∵B，C，D三点共线，故，即．‎ ‎∴．‎ 以A为原点，以为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则，‎ 设，，‎ 由得：，解得，．‎ 故，‎ ‎∴在上的投影为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算（1）；‎ ‎（2）解方程：‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数运算公式和法则即可求出结果.‎ ‎（2）先将原式化简成，再根据指数函数的性质即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了指数幂运算及对数运算，熟练掌握指数幂运算及对数运算公式是解题关键，属于基础题．‎ ‎18.已知向量 ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用坐标求出，再由向量的模长公式即可求出的值；‎ ‎（2）由已知可求得，再由，可求得，的值，再运用诱导公式即可求值.‎ ‎【详解】解：（1）时，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，∴，‎ ‎∴解得，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的模的运算、向量的数量积运算及三角函数的诱导公式，属中档题.‎ ‎19.已知函数在区间上的最小值为1.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.‎ 详解】（1）.‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得不符合题意；‎ 当时，，解得，不符合题意.‎ 综上所述，.‎ ‎（2）因为，‎ 可化为，‎ 令，则.‎ 因，故.故不等式在上有解.‎ 记，，故，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；‎ ‎（2）函数在区间上的最大值为，此时；最小值为，此时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期，解不等式 ‎，可得出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）由，计算出的取值范围，然后利用余弦函数的性质可得出函数的最大值和最小值，并可求出对应的的值.‎ ‎【详解】（1），所以，该函数的最小正周期为.‎ 解不等式，得.‎ 因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；‎ ‎（2），.‎ 当时，即当时，函数取得最大值，即；‎ 当时，即当时，函数取得最小值，即.‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数周期、单调区间以及最值的计算，解题时要充分利用余弦函数的图象与性质进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎21.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作时间（单位：小时）的函数，记作，经过长期观测，的曲线可近似地看成是函数，下列是某日各时的浪高数据．‎ t/小时 ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y/米 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎（1）根据以上数据，求出的解析式；‎ ‎（2）为保证安全，比赛时的浪高不能高于米，则在一天中的哪些时间可以进行比赛．‎ ‎【答案】（1）（2）比赛安全进行的时间段为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由浪高的最大值为，最小值为，可得A,b的值，再由周期为12，可求得的值，即可求得函数的解析式；‎ ‎（2）由已知可得，进而解不等式即可求出t的范围.‎ ‎【详解】（1）由表中数据可以看到浪高最大值为，最小值为，‎ ‎∴，，‎ 又∵相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，‎ ‎∴，，‎ 即．‎ ‎（2）由题意知，当时，比赛才能进行，即，‎ ‎∴，，‎ 解得，‎ 又∵，∴当时，；当时，，‎ 故比赛安全进行的时间段为 ‎【点睛】本题考查三角函数的实际应用，若三角函数的解析式为,最大值为M,最小值为m,则，再由周期求得的值，由初相求得的值，考查了运算求解和建模能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数是偶函数．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若方程有实数根，求b的取值范围；‎ ‎（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的奇偶性得， 代入函数的解析式中，利用对数的运算法则得到 ；（2）将函数代入方程，将方程转化为两个函数交点的问题；通过判断函数 的单调性，得到其最小值，从而求得b的取值范围为 ；（3）由题意，两个函数图像有且只有一个公共点即方程有且只有一个实数根；通过讨论方程根的情况来求得参数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵偶函数，∴，有，‎ ‎∴对恒成立．‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴‎ 对恒成立，∴．‎ ‎（2）由题意知，有实数根，即有解．‎ 令，则函数的图象与直线有交点，‎ ‎．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴b的取值范围是．‎ ‎（3）由（1）知，，‎ ‎∴由题意知有且只有一个实数根．‎ 令，则，则关于t的方程（*）有且只有一个正根．‎ 若，则，不合题意，舍去；‎ 若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根．‎ 方程（*）有两相等正根等价于，可解得．‎ 方程（*）的两根异号等价于，可解得．‎ 综上所述，实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了对数运算法则，考查了函数和方程之间的关系，以及由方程的根求参数的范围，属于综合题.‎