数学理卷·2018届广西陆川县中学高三开学考试（2018

数学理卷·2018届广西陆川县中学高三开学考试（2018

广西陆川县中学2018年春季期高三开学基础知识竞赛 理科数学试题 ‎ 第I卷(选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，则中元素的个数为（ ）‎ A．必有1个 B．1个或2个 C．至多1个 D．可能2个以上 ‎2．若,则=‎ A．B．‎1 C．3 D．‎ ‎3．在等差数列中，，，则 A．7B．‎10C．20D．30‎ ‎4.已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎5.将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来 的，再向右平移个单位长度后得到，则的解析式为 A. B.‎ C. D.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.75，则空白判断框内应填的条件为 A．＜1B．＜‎0.5C．＜0.2D．＜0.1 ‎ ‎7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. ‎72 C. 90 D. 96‎ ‎8.下列命题中错误的命题是 A.对于命题使得，则都有 B.若随机变量，则 C.设函数，则函数有三个不同的零点 D.设等比数列的前项和为，则“”是“”的充分必要条件 ‎9.在中，,是的内心，若，则 A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是 A． B. C. D.‎ ‎11.已知函数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，则函数的值域为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知奇函数是定义在上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是 A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）‎ ‎13.若，则的二项展开式中的系数为 .‎ ‎14.已知双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为___________．‎ ‎15. 已知锐角三角形中，角所对的边分别为若，则的取值范围是____________．‎ ‎16.已知函数，点为坐标原点, 点，向量，‎ 是向量与的夹角，则使得恒成立的实 数的取值范围为_________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，内角，，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为…，其中为标准，为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙 厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲,‎ ‎ 乙两厂的产品都符合相 应的执行标准. ‎ ‎（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：‎ 且的数学期望, 求的值;‎ ‎（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可 购买性？说明理由.‎ 注: ①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图, 平面，平面, △是等边三角形，, ‎ 是的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：; ‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，‎ ‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行 线交曲线于两个不同的点, 求△面积的最大值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数. 若曲线在点处的切线方程为 ‎（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (‎ 为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的倾斜角；‎ ‎（2）设点和交于两点，求.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，证明：.‎ 理科数学试题参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C A C B D C B A D C ‎13.180 14. 15.() 16. ‎ 三、解答题 ‎17．解（1）由已知得 ‎ ‎ ‎ …………3分 又 函数在的单调递减区间为和. …………6分 ‎（2）由（1）知 锐角， ‎ 又 ‎，即 …………9分 又 ‎. …………12分 ‎18. 解:‎ ‎（Ⅰ）, 即,  ……………………1分 又由的概率分布列得, ② ……………………2分 由‚得 …………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎………………………………………………………………5分 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：‎ ‎ ………………………………………………………………6分 所以. ……………7分 即乙厂产品的等级系数的数学期望为. ……………………………………………8分 ‎ ‎（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，‎ ‎……………………………………………9分 因为乙厂产品的等级系数的期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，‎ ‎…………………………………10分 据此，乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分 ‎19.解:‎ ‎（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,‎ ‎ 所以. …………………………………1分 ‎ 因为平面, 平面, ‎ ‎ 所以. …………………………………2分 ‎ 因为, ‎ ‎ 所以平面. ……………………3分 ‎ ‎ 因为平面,‎ ‎ 所以. ……………………………4分 ‎（Ⅱ）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，‎ 所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，‎ 建立空间直角坐标系.‎ 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. ……………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, 则, .…………………………7分 故,, , . ……………………………8分于是, ,,,‎ 设平面与平面的法向量分别为,‎ ‎ 由 得 令,得, ‎ ‎ 所以. …………………………………9分 ‎ 由 得 令,得, . ‎ ‎ 所以. …………………………………10分 ‎ 所以. …………………………………11分 ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分法2: 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. …………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, ‎ 则, , . …………………………………7分 由于平面,平面, 则∥.‎ ‎ 取的中点, 连接, 则.‎ ‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 取的中点, 连接,, ,‎ 则. …………………………………8分 所以为二面角的平面角. …………………………………9分 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 因为, …………………………………10分 所以. …………………………………11分 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分 ‎20. 解：‎ ‎（Ⅰ）设圆的半径为, 圆心的坐标为，‎ 由于动圆与圆相切，且与圆相内切，‎ 所以动圆与圆只能内切. …………………………………1分 ‎ 所以 …………………………………2分 则. …………………………………3分 所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆, ‎ 且, 则.‎ 所以曲线的方程为. …………………………………4分（Ⅱ）设，直线的方程为，‎ ‎ ‎ ‎ 由 可得，‎ 则. …………………………………5分 ‎ ‎ 所以 …………………………………6分 ‎ ‎ ‎ …………………………………7分 因为，所以△的面积等于△的面积. …………………8分 ‎ 点到直线的距离. ……………………………9分 ‎ 所以△的面积.‎ ‎ …………………………………10分 ‎ 令，则 ，. ‎ 设，则.‎ 因为, 所以 所以在上单调递增.‎ 所以当时, 取得最小值, 其值为. …………………………………11分 所以△的面积的最大值为. …………………………………12分 说明: △的面积.‎ ‎21. 解:‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为.‎ ‎. ………………………………………………………………1分 依题意得，即 ……………………3分 所以. ………………………………………………………………4分 所以，.‎ 当时, ; 当时, .‎ 所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分 ‎（Ⅱ）当时，.‎ 等价于，‎ 也等价于. ………………………………………7分 不妨设，‎ 设（）, ‎ 则. …………………………………………………………8分 ‎ 当时，，所以函数在上为增函数，‎ 即， ……………………9分 故当时，（当且仅当时取等 号）.‎ 令，则， …………………………………………10分 即（当且仅当时取等号），……………11分 综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.‎ ‎ ………………………………………………………………12分 ‎22.解：（1）由消去参数，得 即的普通方程为 由，得①‎ 将代入①得 所以直线的斜率角为.‎ ‎（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)‎ 即(为参数)，‎ 代入并化简得 设两点对应的参数分别为.‎ 则，所以 所以.‎ ‎23.（1）解：①当时，原不等式化为解得；‎ ‎②当时,原不等式化为解得，此时不等式无解；‎ ‎③当时，原不等式化为解.‎ 综上，或 ‎（2）证明，因为.‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，即证，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以成立.‎ 所以原不等式成立.‎