专题38 圆与方程-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题38 圆与方程-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 圆的方程是高考中的热点问题之一，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解，在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题形式考查，其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 求圆的方程 使用情景：确定一个圆的方程 解题模板：第一步 根据已知条件恰当设出圆的方程的形式；‎ 第二步 结合题意列出方程求出圆的方程对应的参数；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【变式演练1】已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，由于直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，所以圆的方程为，化简得.‎ 考点：圆的方程.‎ ‎【变式演练2】与圆同圆心，且过的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.‎ ‎【变式演练3】已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方 程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B.‎ 考点：圆的标准方程．‎ 类型二 与圆有关的最值问题 使用情景：求与圆有关的最值问题 解题模板：第一步 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义进行分析 ；‎ 第二步 运用数学结合及转化的数学思想进行求解；‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. 求：(1)的最大值和最小值；‎ ‎(2) 的最小值；(3）的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【点评】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. ‎ ‎【变式演练4】已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）‎ A． B．9 C．7 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故 的最大值为 ，故选：B．‎ 考点：圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．‎ ‎【变式演练5】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由得点在圆上，因此由两圆有交点得，即的最小值为选D.‎ 考点：两圆位置关系 ‎【变式演练6】如果圆上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C 类型三 与圆有关的轨迹问题 使用情景：与圆有关的轨迹问题 解题模板：第一步 结合题意恰当的选择求圆有关的轨迹问题的方法如直接法、定义法、几何法和代入法 等；‎ 第二步 得出结论.‎ 例3 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【变式演练7动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C 考点：直接法求轨迹．‎ ‎【变式演练8】点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设中点坐标为，那么圆上一点设为，满足，，根据条件，代入后得到，化简为：，故选A.‎ 考点：相关点法求轨迹方程 ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017天津，文12】设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设圆心坐标为，则，焦点，‎ ‎，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为 ‎.‎ ‎【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.‎ ‎【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是，会不会用向量的坐标表示，根据图象，可设圆心为，那么方程就是，若能用向量的坐标表示角，即可求得，问题也就迎刃而解了. ‎ ‎2.【2016高考山东文数】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（ ）‎ ‎（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.‎ ‎3.【2016高考北京文数】圆的圆心到直线的距离为（ ）‎ A.1 B.2 C. D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.‎ 考点：直线与圆的位置关系 ‎【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.‎ ‎4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线：与圆交于两点，过分别 作的垂线与轴交于两点，则_____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎ 5. 【2016高考浙江文数】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.‎ ‎【答案】；5．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为，不表示圆．‎ 考点：圆的标准方程.‎ ‎【易错点睛】由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．‎ ‎6. 【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线 的距离为，则圆C的方程为__________.‎ ‎【答案】‎ 考点：直线与圆位置关系 ‎【名师点睛】求圆的方程有两种方法：‎ ‎(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．‎ ‎(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．‎ ‎7. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为 .‎ ‎【答案】‎ 考点：直线与圆 ‎【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系：在求圆的方程时常常用到. ‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【2018重庆市第一中学模拟】若圆有且仅有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的圆心为，半径，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为，故圆心到直线的距离为，即，解得.‎ ‎2．【2018重庆第一中学模拟】直线与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】圆的圆心为 半径为3，直线恒过点A，而,所以点A在圆的内部，所以直线与圆相交.‎ 故选A ‎3. 【2018河北衡水第一中学模拟】圆与圆的公切线的条数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎ 4．【2018四川（大教育联盟）】若无论实数取何值时，直线与圆都相交，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵x2+y2﹣2x﹣2y+b=0表示圆，∴＞0，即b＜2．‎ ‎∵直线ax+y+a+1=0过定点（﹣1，﹣1）．‎ ‎∴点（﹣1，﹣1）在圆x2+y2﹣2x﹣2y+b=0内部，∴6+b＜0，解得b＜﹣6．‎ ‎∴b的范围是（﹣∞，﹣6）．故选C．‎ ‎5．【2018吉林舒兰第一高级中模拟】直线与圆相切，则实数等于 ‎( )‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】圆的方程（x-1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径，所以或 故选D ‎6．【2018海南海口市第一中学模拟】设直线与圆相交于A、B两点，若,则圆的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7．【2018重庆市第一中学模拟2】在平面直角坐标系中，点，直线： 与直线： 的交点为圆的圆心，设圆的半径为1．‎ ‎（1）过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线交圆于， 两点，求弦的长．‎ ‎ ‎ ‎8．【2018黑龙江佳木斯市第一中学模拟】圆经过、两点，但圆不过原点，且它在轴上截得的弦长等于6，求圆的方程．‎ ‎【解析】线段的中垂线的方程： ，‎ 设，‎ ‎∴解得（舍）或．‎ ‎9．已知圆过两点， ，且圆心在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线过点且与圆有两个不同的交点， ，若直线的斜率大于0，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（I）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）‎ R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25‎ ‎∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=25‎ ‎（II）设直线的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，‎ 则d=‎ 由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0‎ ‎∴k＜0或k＞‎ 又因为k＞0‎ ‎∴k的取值范围是（，+∞）‎ ‎（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0‎ ‎∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2‎ ‎∵k=2＞‎ 故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.‎ ‎10．【2018陕西黄陵中学模拟】已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.‎ ‎(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；‎ ‎(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．‎ 解得a＝或a＝ (舍去)．‎ 综上所述，a＝.‎ ‎11.已知点在圆上，点在圆上，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、圆的方程及圆的几何性质；2、两点间的距离公式及最值问题.‎ ‎12. 已知圆与直线相切.‎ ‎（1）若直线与圆交于两点，求；‎ ‎（2）设圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【解析】解：（1）由题意知，圆心到直线的距离，‎ 所以圆.‎ 又圆心到直线的距离，‎ 所以.‎ ‎（2）易知,设，则直线，‎ ‎ ‎ ‎13. 【2018吉林舒兰市第一高级中学模拟2】已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆心为的圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆总有公共点，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由于的中点为， ，‎ 则线段的垂直平分线方程为，‎