浙江专用2020高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线专题强化训练
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
专题强化训练
1．(2018·高考浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－，0)，(，0) B．(－2，0)，(2，0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0，2)
解析：选B.由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.
2．已知圆M：(x－1)2＋y2＝，椭圆C：＋y2＝1，若直线l与椭圆交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
解析：选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有2条；
当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
由＋y＝1，＋y＝1，
两式相减，整理得：＝－·，
则kAB＝－，kMP＝，kMP·kAB＝－1，
kMP·kAB＝－·＝－1，解得x0＝，
由<，可得P在椭圆内部，
则这样的P点有2个，即直线AB斜率存在时，也有2条．
综上可得，所示直线l有4条．故选C.
3．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)和圆x2＋y2＝(＋c)2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．(，) B．(0，)
C．(，) D．(，)
解析：选A.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⇒
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⇒
0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C.因为e＝ ＝，所以＝，＝＝，设|AF|＝m，|OA|＝2m，由面积关系得·m·2m＝4，所以m＝2，由勾股定理，得c＝＝2，又＝，所以a＝4，故选C.
6．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB＝120°，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C．3 D．2
解析：选D.依题意，作图如图所示：
因为OA⊥FA，∠AMO＝60°，OM＝OA，
所以△AMO为等边三角形，
所以OA＝OM＝a，
在直角三角形OAF中，OF＝c，
所以该双曲线的离心率e＝＝＝＝2，
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故选D.
7．(2019·杭州高三模拟)已知双曲线C：－＝1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝且＝5，则双曲线C的离心率为( )
A. B．2 C. D．3
解析：选A.由图知△APQ是等边三角形，设PQ中点是H，圆的半径为r，则AH⊥PQ，AH＝r，PQ＝r，因为＝5，所以OP＝r，PH＝r，即OH＝r＋r＝r，所以tan ∠HOA＝＝，即＝，＝＝，从而得e＝＝，故选A.
8.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A.由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.因为点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，所以 ＝＝.
9．(2019·温州高考模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝8|OF|(O为坐标原点)，则＝________．
解析：由题意，|AF|＝4p，设|BF|＝x，由抛物线的定义，可得＝，解得x＝p，
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所以＝7，故答案为7.
答案：7
10．(2019·浙江名校协作体高三期末考试)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ＋μ，λμ＝(λ，μ∈R)，则双曲线的离心率e的值是________．
解析：由题意可知，双曲线的渐近线为y＝±x，右焦点为F(c，0)，则点A，B，P的坐标分别为，，，所以，，的坐标为，，，又＝λ＋μ，则＝λ＋μ，
即，又λμ＝，解得λ＝，μ＝，所以＝－⇒＝e⇒e＝.
答案：
11.(2019·台州市高考一模)如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝4，则||＝________．
解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则DF＝p＝2，由抛物线的定义可知FB＝BB1，AF＝AA1，
因为＝4，所以＝＝，
所以FB＝BB1＝.
所以FC＝4FB＝6，
所以cos ∠DFC＝＝，
所以cos ∠A1AC＝＝＝，解得AF＝3，
所以AB＝AF＋BF＝3＋＝.
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答案：
12．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__________．
解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．
答案：(2，8)
13.(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，过双曲线－＝1(a，b>0)左焦点F1的直线交双曲线左支于A，B两点，C是双曲线右支上一点，且A，C在x轴的异侧，若满足|OA|＝|OF1|＝|OC|，|CF1|＝2|BF1|，则双曲线的离心率为________．
解析：取双曲线的右焦点F2，连接CF2，延长交双曲线于D，连接AF2，DF1，
由|OA|＝|OF1|＝|OC|＝|OF2|＝c，
可得四边形F1AF2C为矩形，
设|CF1|＝2|BF1|＝2m，
由对称性可得|DF2|＝m，
|AF1|＝，
即有|CF2|＝，
由双曲线的定义可得2a＝|CF1|－|CF2|＝2m－，①
在直角三角形DCF1中，
|DC|＝m＋，|CF1|＝2m，|DF1|＝2a＋m，
可得(2a＋m)2＝(2m)2＋(m＋)2，②
由①②可得3m＝4a，即m＝，
代入①可得，2a＝－，
化简可得c2＝a2，
即有e＝＝.
故答案为.
答案：
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14．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，
又O为线段F1F的中点，
所以F1Q∥OM，
所以F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，
|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，
所以a＝＝c，故e＝＝.
答案：
15.(2019·温州模拟)已知直线l：y＝－x＋3与椭圆C：mx2＋ny2＝1(n>m>0)有且只有一个公共点P(2，1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l′：y＝－x＋b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．
解：(1)联立直线l：y＝－x＋3与椭圆C：mx2＋ny2＝1(n>m>0)，
可得(m＋n)x2－6nx＋9n－1＝0，
由题意可得Δ＝36n2－4(m＋n)(9n－1)＝0，即为9mn＝m＋n，
又P在椭圆上，可得4m＋n＝1，
解方程可得m＝，n＝，
即有椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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联立直线y＝b－x和椭圆方程，可得3x2－4bx＋2b2－6＝0，
判别式Δ＝16b2－12(2b2－6)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝2b－(x1＋x2)＝，y1y2＝(b－x1)·(b－x2)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝，
由PA⊥PB，即为·＝(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)
＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2－(y1＋y2)＋1
＝－2·＋－＋5＝0，
解得b＝3或，代入判别式，则b＝成立．
故b为.
16.(2019·浙江金华十校高考模拟)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1，0)，P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，|PF|＝.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．
解：(1)当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，
所以|PF|＝＝，
又c＝1，a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1.
椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b′，显然k≠0，
联立椭圆方程得：(2k2＋1)x2＋4kb′x＋2(b′2－1)＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根与系数的关系得：
由·＝0⇒(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0得：3b′2－1＋4kb′＝0，④
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点C，
所以线段PQ的中垂线AB方程为：
y－＝－，
令y＝0可得：A；令x＝0可得
B，则A为BC中点，
故＝＝2＝＝2，
由④式得：k＝，则xA＝＝，
＝2＝＝，得b′2＝3.
所以b′＝，k＝－或b′＝－，k＝.
经检验，满足条件①②③，
故直线PQ的方程为：y＝x－，y＝－x＋.
17.(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是线段AB上的点，直线y＝x＋m(m≥0)交椭圆C于M，N两点．若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．
解：(1)因为点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：＋＝1上，
所以a＝2，b＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2＋mx＋m2－1＝0，
则Δ＝2－m2>0，x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
|MN|＝|x1－x2|＝.
①当MN为斜边时， ＝，解得m＝0，满足Δ>0，
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此时以MN为直径的圆方程为x2＋y2＝.
点A(－2，0)，B(0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB上存在点P，此时直线MN的方程y＝x，满足题意．
②当MN为直角边时，两平行直线AB与MN的距离
d＝|m－1|，
所以d2＋|MN|2＝|m－1|2＋(10－5m2)＝10，
即21m2＋8m－4＝0，
解得m＝或m＝－(舍)，又Δ>0，所以m＝.
过点A作直线MN：y＝x＋的垂线，可得垂足坐标为，垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，所以直线MN的方程y＝x＋，符合题意．
综上所述，直线MN的方程为y＝x或y＝x＋.
18．(2019·杭州市高考数学二模)设抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)上的点M(x0，4)到焦点F的距离|MF|＝x0.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线Γ相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′与抛物线Γ相交于C，D两点，若·＝0，求直线l的方程．
解：(1)因为|MF|＝x0＋＝x0，所以x0＝2p.
即M(2p，4)．
把M(2p，4)代入抛物线方程得4p2＝16，解得p＝2.
所以抛物线Γ的方程为y2＝4x.
(2)易知直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为
y＝k(x－1)，
联立方程组，
消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝.
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设AB的中点为P，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.
所以直线l′的方程为y－＝－，
即x＝－ky＋＋3.
联立方程组，
消元得：y2＋4ky－4＝0.
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3＋y4＝－4k，y3y4＝－4.
所以x3＋x4＝，
所以CD的中点Q.
所以|CD|＝＝，|PQ|＝，
因为·＝0，所以AC⊥AD.所以|AQ|＝|CD|.
因为AB⊥CD，所以|AP|2＋|PQ|2＝|AQ|2，
即|AB|2＋|PQ|2＝|CD|2，
所以＋＝，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
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