专题14 计数原理、随机变量及其分布列（高考押题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破

专题14 计数原理、随机变量及其分布列（高考押题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破

专题14 计数原理、随机变量及其分布列（高考押题）‎ ‎2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 ‎1．将2名老师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．6种 B．10种 C．12种 D．24种 ‎【答案】C　先将老师、学生平均分2组，分的方法有种，然后，进行全排列有A种方法，故不同安排方案有·A＝12(种)．‎ ‎2．二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C　因为(x＋1)n的展开式中x2的系数为C，所以C＝15，即C＝15，亦即n2－n＝30，解得n＝6(n＝－5舍去)．‎ ‎3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(　　)‎ A．232 B．252 C．472 D．484‎ ‎【答案】C　分两种情况：‎ ‎①不取红色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(种)．‎ ‎②取红色卡片1张，有不同的取法CC＝264(种)．‎ 所以不同的取法有208＋264＝472(种)，故选C.‎ ‎4．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．212 B．211 C．210 D．29‎ ‎5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎【答案】C　由题意知比赛局数至少为3局，至多为5局．当局数为3局时，情况为甲或乙连赢3局，共2种；当局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有C＝3(种)情况，同理，若乙赢，也有3种情况，共有3＋3＝6(种)情况；当局数为5局时，前4局，甲、乙各赢2局，最后1局胜出的人赢，共有2C＝12(种)情况．综上可知，‎ 共有2＋6＋12＝20(种)情况．‎ ‎6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)‎ A．6 B．18 C．20 D．24‎ ‎【答案】B　(元素优先法)首先排A，A可在第2，4，5三个名次上，有A种排法，排好A后，C，D，E全排列，有A种名次排法，即这五位学生的名次排列种数为A·A＝18(种)．‎ ‎7．展开式中的常数项为(　　)‎ A．80 B．－80 C．40 D．－40‎ ‎【答案】C　二项展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)5－r·(－1)r·2r·x－3r＝C·(－1)r·2r·x10－5r.因为10－5r＝0，所以r＝2，所以常数项为T3＝C·22＝40，选C.‎ ‎8．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－3 C．－2 D．－1‎ ‎【答案】D　由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·xr，所以当r＝2时，(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为C，当r＝1时，x2的系数为C·a，所以C＋C·a＝5，解得a＝－1，故选D.‎ ‎9．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)‎ A．16 B．18 C．24 D．32‎ ‎10．将5件不同的奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是(　　)‎ A．150 B．210 C．240 D．300‎ ‎【答案】A　将5件不同的奖品分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种．‎ 分成1，1，3时，有C·A＝60(种)分法；‎ 分成2，2，1时，有·A＝90(种)分法．‎ 所以共有60＋90＝150(种)分法．‎ ‎11．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有(　　)‎ A．240种 B．192种 C．120种 D．96种 解析　分三步：先排甲，有一种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边各有4‎ 种方法；再排其余4人，有A种方法，故共有2×4×A＝192(种)．故选B.‎ 答案　B ‎12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一，则不同的安排方法有(　　)‎ A．36种 B．30种 C．24种 D．6种 ‎13．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为(　　)‎ A．72 B．108 C．180 D．216‎ 解析　设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：‎ ‎①从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分别分配到其他三个社团中，有CA种方法，这时共有CCA种参加方法．‎ ‎②从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参加方法．‎ 综合①②，共有CCA＋CA＝180种参加方法．‎ 答案　C ‎14．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有(　　)‎ A．24种 B．18种 C．48种 D．36种 解析　若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有CCC＝12种；若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名分别来自两个年级，有CCC＝12种．所以共有24种乘车方式，选A.‎ 答案　A ‎15．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3‎ 次的概率为(　　)‎ A．0.85 B．0.819 2 C．0.8 D．0.75‎ 解析　P＝C0.83·0.2＋C0.84＝0.819 2，故选B.‎ 答案　B ‎16．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c)＝P(ξ1.75，则p的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，‎ 则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈，故应选C.‎ 答案　C ‎18．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　两次击中的概率P1＝C0.62(1－0.6)＝，三次击中的概率P2＝0.63＝，∴至少两次击中目标的概率P＝P1＋P2＝.‎ 答案　A ‎19．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－Cx0(1－x)3＝，得x＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.‎ 答案　C ‎20．设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1

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