2019-2020学年山西省长治市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省长治市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省长治市第二中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由A与B，求出两集合的并集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，集合，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据初等函数的奇偶性和单调性的定义对各个选项逐一进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ A.函数在区间上是减函数，不满足条件；‎ B.函数既是奇函数又在区间上是增函数，满足条件；‎ C.是偶函数，不满足条件；‎ D.是非奇非偶函数，不满足条件；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题.‎ ‎3．函数（且）的图象恒过定点（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得，可求得，则即为定点．‎ ‎【详解】‎ 令，得，此时，‎ 所以函数图象恒过定点，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的单调性与特殊点，令指数部分等于0是解题的关键，属于基础题．‎ ‎4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据二次函数的性质，开口向上，根据对称轴右侧递增列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，开口向上，其对称轴，‎ ‎∵在上是增函数，‎ ‎∴，即实数的取值范围为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的单调性问题，注意开口方向和对称轴，属于基础题．‎ ‎5．已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（ ）‎ A. B.1 C. D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由偶函数的定义域关于原点对称求出的值，由偶函数的定义，求出的值后求的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数是定义在的偶函数，‎ ‎∴，解得，‎ 由得，即，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了偶函数定义的应用，利用奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称，这是容易忽视的地方，属于中档题.‎ ‎6．下列说法正确的是（ ）‎ A.函数的图象与直线最多有一个交点.‎ B.分段函数是由两个或几个函数组成的.‎ C.函数的单调减区间是.‎ D.若，则且.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的概念可判断A正确；根据分段函数的定义可判断B错误；运用反比例函数的单调性即可判断C错误；当，时，根据对数的概念可判断D错误.‎ ‎【详解】‎ A.由函数的概念可知，自变量与相应的函数值是一一对应的，故正确；‎ B.分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故错误；‎ C.由反比例函数的性质可得，在上递减，在上递减，其单调减区间是和，故错误；‎ D：当，时，等式显然不成立，故错误；‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的基本概念，分段函数的定义，函数的单调性，对数的运算法则，属于基础题.‎ ‎7．设,,，则,,的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过指数函数的单调性可得，通过对数函数的单调性可得，‎ ‎，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎，，即，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数的运算法则、对数的运算法则与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8．已知集合,，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数的值域可得集合，解指数函数的不等式可得集合，再进行交集运算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 由，即，解得，即，‎ ‎∴，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的值域，指数类型不等式的解法，集合间交集的运算，属于基础题.‎ ‎9．函数的增区间为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可．‎ ‎【详解】‎ 由，解得：或，‎ 而的对称轴是，开口向上，‎ 故在递增，在递减，‎ 由递增，根据复合函数同增异减的原则，得在递增，‎ 即函数的增区间为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数的单调性，注意函数的定义域以及“同增异减”原则是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10．函数的图象大致是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】采用排除法，根据函数的奇偶性可排除C；当时，可排除A；通过判断得出，故函数在内不可能单调递增，可排除B，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数定义域为，定义域关于原点对称，‎ ‎，‎ ‎∴函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除选项C；‎ 当时，，可排除选项A；‎ ‎，‎ 又∵，，‎ ‎∴，即可得，故函数在内不可能单调递增，‎ 可排除选项B；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性和奇偶性识别函数的图象，得到该函数在内不可能单调递增是解题的关键，属于中档题．‎ ‎11．已知函数是定义在R上的减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先应保证和时对应的函数单调递减，其次应保证左端函数的最小值不小于右端函数的最大值，列出不等式组解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由于函数，若函数在R上是减函数，‎ 则，解得，‎ 实数的取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数单调性的意义，是解答的关键，属于中档题.‎ ‎12．设函数在区间上的最大值为,最小值为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，设，判断为奇函数，可得的最值之和为0，即可得到的值，代入即可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 设，‎ 由于，‎ 可得为奇函数，‎ 设的最大值为A，最小值为B，可得，‎ 则，，可得，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最值的求法，注意构造函数，运用函数的奇偶性的性质，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．某班级共有50名同学，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的10名，则体育和文艺都不爱好的有____名.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】根据图即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵爱好体育的25名，爱好文艺的24名，而10名同学同时爱好体育和文艺，‎ ‎∴只爱好体育的同学有人，只爱好文艺的同学有人，‎ 则则体育和文艺都不爱好的有人，‎ 故答案为：11.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合关系的应用，利用图是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎14．函数的定义域是____ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，对数的真数大于0，联立不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义需满足，解得且，‎ 即函数的定义域为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查具体函数的定义域及其求法，是基础的计算题．‎ ‎15．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数是幂函数，‎ ‎∴，解得或，‎ 又∵该函数是偶函数，‎ 当时，函数是奇函数，‎ 当时，函数是偶函数，‎ 即的值是1，‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．‎ ‎16．已知函数是奇函数，当时，，若不等式 且对任意的恒成立，则实数的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出在的解析式，不等式且对任意的恒成立，转化为在上恒成立，分为和讨论即可．‎ ‎【详解】‎ 函数是奇函数，当时，，‎ ‎∴，‎ 设，则，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵不等式且对任意的恒成立，‎ ‎∴且对任意的恒成立，‎ ‎∴，即，‎ 当时，，而，故时不合题意；‎ 当时，令，‎ 当时，函数单调递增，‎ ‎∴，即 ‎∴，‎ ‎，解得，此时，‎ 综上所述的取值范围为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）.‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】（1）根据指数的运算性质计算即可；（2）根据对数的运算法则结合即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂以及对数的化简和求值，解题时要注意公式的灵活运用，属于基础题 ‎18．已知集合，, 全集为.‎ ‎（1）设，求.‎ ‎（2）若 ,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】（1）将代入得到集合，解不等式得集合，求出，再求即可；（2）由题意得，根据集合的包含关系列出不等式组解出即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 又 ‎ ‎∴或 ‎∴‎ ‎（2）若,则 ‎ ‎∴，∴，∴‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交、并、补混合运算，由集合的包含关系求参数的范围，属于基础题.‎ ‎19．已知函数（为常数，且），在区间上有最大值3，最小值，求的值.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】先将看作一个整体，求出其范围，再对分为和两种情况进行讨论确定函数取最小值和最大值的情况，列出方程组求解．‎ ‎【详解】‎ 解：设，∴ ‎ 当时，有，∴ ‎ 当时，有，∴‎ 所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的最值以及应用，考查了二次函数和指数函数的性质，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.‎ ‎20．已知函数为奇函数，且.‎ ‎（1）求函数的解析式.‎ ‎（2）判断函数在的单调性并证明.‎ ‎【答案】(1) ； (2) 在上单调递增，证明见解析 ‎【解析】（1）首先根据奇函数的性质可得，根据可得的值，进而得函数解析式；（2）利用函数单调性的定义即可证明.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵为奇函数，的定义域为，‎ 对于定义域内的每一个，‎ 都有，‎ ‎∴‎ 又，∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）在上单调递增. ‎ 证明如下：任取，且 ‎∵，∴，‎ 又，∴，∴，∴‎ 所以在上单调递增 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过函数的奇偶性求函数的解析式，函数单调性的定义及其证明，属于中档题．‎ ‎21．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，根据图象：‎ ‎（1）请将函数的图象补充完整并写出该函数的增区间（不用证明）.‎ ‎（2）求函数的解析式.‎ ‎（3）若函数，求函数的最小值.‎ ‎【答案】(1)图见解析，增区间为；(2)；(3) ‎ ‎【解析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增区间；（2）令，则，根据条件可得 ‎，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式；（3）先求出抛物线对称轴，然后分当时，当时，当时三种情况，根据二次函数的增减性解答．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）如图：‎ 函数的增区间为. ‎ ‎（2）当时，，‎ 又∵是上的偶函数，∴，‎ ‎∴‎ ‎（3）∵，∴，∴‎ 对称轴.‎ 当，即时，， ‎ 当，即时，， ‎ 当，即时， ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性并证明.‎ ‎（2）证明：.‎ ‎（3）证明：，其中.‎ ‎【答案】(1) 是一个奇函数，证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析；‎ ‎【解析】（1）求出函数的定义域为，判断和的关系即可；（2）分别计算，，根据对数运算性质化简得出结论；（3）化简通项公式，利用裂项法求和，然后分析，即可证明结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）是一个奇函数，‎ 证明如下：的定义域为，对于定义域内的每一个，‎ 都有，‎ 所以是奇函数.‎ ‎（2）‎ 又 ‎∴.‎ ‎（3） ‎ ‎∴‎ ‎∵，易知函数单调递减，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的应用，数列求和，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题.‎