数学卷·2018届河北省承德实验中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河北省承德实验中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省承德实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列各数中，最小的数是（　　）‎ A．75 B．11111（2） C．210（6） D．85（9）‎ ‎3．已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（　　）‎ A．27 B．11 C．109 D．36‎ ‎4．如图所示程序框图中，输出S=（　　）‎ A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66‎ ‎5．如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（　　）‎ A．X=2，S甲2＜S乙2 B．X=2，S甲2＞S乙2‎ C．X=6，S甲2＜S乙2 D．X=6，2，S甲2＞S乙2‎ ‎6．已知变量x，y的值如表所示；如果y与x线性相关且回归直线方程为，则实数=（　　） ‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎7．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎8．某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是（　　）‎ A．CC B．C﹣C C．CC﹣CC D．CC+CC ‎9．用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（　　）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ ‎10．某人投篮一次投进的概率为，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为（6，）的二项分布，记为ξ～B（6，），计算 P（ξ=2）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（　　）‎ A． B． C． D．不确定 ‎12．送快递的人可能在早上6：30﹣7：30之间把快递送到张老师家里，张老师离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，则张老师离开家前能得到快递的概率为（　　）‎ A．12.5% B．50% C．75% D．87.5%‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽取20人进行评教，某男生被抽取的机率是　　．‎ ‎14．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为　　．‎ ‎15．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有　　人．‎ ‎16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是　　（写出所有正确结论的编号）．‎ ‎①P（B）=；‎ ‎②P（B|A1）=；‎ ‎③事件B与事件A1相互独立；‎ ‎④A1，A2，A3是两两互斥的事件；‎ ‎⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17小题10分，其余每题12分，共6小题，共70分）‎ ‎17．某网站针对2015年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下 观众年龄 支持A 支持B 支持C ‎20岁以下 ‎100‎ ‎200‎ ‎600‎ ‎20岁以上（含20岁）‎ ‎100‎ ‎100‎ ‎400‎ ‎（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．‎ ‎（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取5人作为一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．‎ ‎18．某产品的广告费用支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：‎ x/百万元 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y/百万元 ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）求y与x之间的回归直线方程；（参考数据：22+42+52+62+82=145，2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380）‎ ‎（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为=x+．‎ ‎19．2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．‎ ‎20．一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：‎ 类别 A B C 数量 ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ 同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展．‎ ‎（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；‎ ‎（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎21．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．‎ ‎（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；‎ ‎（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎22．今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如表：‎ 日期 ‎2月13日 ‎2月14日 ‎2月15日 ‎2月16日 ‎2月17日 天气 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销售量 上午 ‎42‎ ‎47‎ ‎58‎ ‎60‎ ‎63‎ 下午 ‎55‎ ‎56‎ ‎62‎ ‎65‎ ‎67‎ 由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天．‎ ‎（1）以十位位数字为茎，个位数字为叶．画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数 ‎（2）假如明年庙会5天中每天下雨的概率为，且每天下雨与否相互独立，其它条件不变．试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；‎ ‎（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则成为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省承德实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】赋值语句．‎ ‎【分析】要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把b的值赋给中间变量c，再把a的值赋给变量b，把c的值赋给变量a．‎ ‎【解答】解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=17，再把a的值赋给变量b，这样b=8，‎ 把c的值赋给变量a，这样a=17．‎ 故选B ‎　‎ ‎2．下列各数中，最小的数是（　　）‎ A．75 B．11111（2） C．210（6） D．85（9）‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】欲找四个中最小的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．‎ ‎【解答】解：对于B，11111（2）=24+23+22+21+20=31．‎ 对于C，210（6）=2×62+1×6=78；‎ 对于D，85（9）=8×9+5=77；‎ 故11111（2）最小，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（　　）‎ A．27 B．11 C．109 D．36‎ ‎【考点】中国古代数学瑰宝．‎ ‎【分析】秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，进而得出．‎ ‎【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，‎ ‎∴v0=1，‎ v1=1×3+0=3，‎ v2=3×3+2=11，‎ v3=11×3+3=36．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．如图所示程序框图中，输出S=（　　）‎ A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；‎ 第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；‎ 第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；‎ ‎…‎ 直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，‎ S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（　　）‎ A．X=2，S甲2＜S乙2 B．X=2，S甲2＞S乙2‎ C．X=6，S甲2＜S乙2 D．X=6，2，S甲2＞S乙2‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小．‎ ‎【解答】解：∵两个小组的平均成绩相同，‎ ‎∴80+X+72+74+74+63=81+83+70+65+66，‎ 解得：X=2，‎ 由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，‎ ‎∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得S甲2＜S乙2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知变量x，y的值如表所示；如果y与x线性相关且回归直线方程为，则实数=（　　） ‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】首先，根据所给数据得到样本中心点为（3，5），然后，将该点代入直线方程，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：根据表格可以得到 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴样本中心点为（3，5）代入方程得 ‎5=3b+，‎ ‎∴b=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．‎ ‎【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；‎ 对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；‎ 对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；‎ 对于D，x=170cm时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是（　　）‎ A．CC B．C﹣C C．CC﹣CC D．CC+CC ‎【考点】组合及组合数公式．‎ ‎【分析】根据题意，利用分类方法来解排列数，用所有的从60人选5个减去不合题意的，可知选项B正确，两个班长中选一个，余下的59人中选4个，减去重复的情况知C正确，当有一个班长参加和当有两个班长参加得到结果是选项D，而A的计算公式有重复的情况，综合可得答案 ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于B：运用的排除法，先在所有的从60人选5个，有C605种情况，再排除其中不合题意即没有班干部的C585种情况，即有C﹣C种情况，B正确；‎ 对于C：运用的排除法，先两个班长中选1个，余下的59人中选4个，有C21C594种情况，再排除其中有2个班长参加的C22C583种情况，‎ 即有C21C594﹣C22C583种情况，可知C正确，则A错误；‎ 对于D：运用的分类加法原理，当有一个班长参加时，有C21C584种情况，当有2个班长参加时，有C22C583种情况，共有C21C584+C22C583种情况，D正确：‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（　　）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样法按等距离的规则，故可转化成一个等差数列，公差为8，第16项为125的等差数列，求首项，然后根据通项公式求出即可．‎ ‎【解答】解：由系统抽样知按等距离的规则可看成公差为8，第16项为125的等差数列，求首项 a16=a1+15×8=125‎ ‎∴a1=5‎ 第一组确定的号码是5．‎ 故答案为：B ‎　‎ ‎10．某人投篮一次投进的概率为，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为（6，）的二项分布，记为ξ～B（6，），计算 P（ξ=2）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．‎ ‎【分析】由二项分布概率公式可知：随机变量ξ服从ξ～B（n，p）的二项分布，P（ξ=k）=pk（1﹣p）1﹣k，则投进的次数ξ服从ξ～B（6，），P（ξ=2）=•（）2•（）4==．‎ ‎【解答】解：由题意可知：随机变量ξ服从ξ～B（n，p）的二项分布，‎ 由二项分布概率公式：P（ξ=k）=pk（1﹣p）1﹣k，‎ 由投进的次数ξ服从ξ～B（6，），‎ ‎∴P（ξ=2）=•（）2•（）4==，‎ ‎∴P（ξ=2）=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（　　）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】先求出他们都不能译出的概率，用1减去此值，即得该密码被破译的概率．‎ ‎【解答】解：他们不能译出的概率分别为1﹣、1﹣、1﹣，‎ 则他们都不能译出的概率为 （1﹣）（1﹣）（1﹣）=，‎ 故则该密码被破译的概率是 1﹣=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．送快递的人可能在早上6：30﹣7：30之间把快递送到张老师家里，张老师离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，则张老师离开家前能得到快递的概率为（　　）‎ A．12.5% B．50% C．75% D．87.5%‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据题意，设送快递人到达的时间为X，张老师离家去工作的时间为Y；则（X，Y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：设送快递人到达的时间为X，张老师离家去工作的时间为Y，‎ 以横坐标表示快递送到时间，以纵坐标表示张老师离家时间，建立平面直角坐标系，张老师在离开家前能得到快递的事件构成区域是下图：‎ ‎ 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．‎ 根据题意，只要点落到阴影部分，就表示张老师在离开家前能得到快递，即事件A发生，‎ 所以P（A）===87.5%．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽取20人进行评教，某男生被抽取的机率是　　．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】由已知中，抽样的方法为随机数表法，则每个个体被抽中的概率是相等的，将整体容量100及样本容量20代入即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由于共有100名学生，抽取20人 故每一名学生被抽中的概率 P==‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为　2　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】根据（1+x）4的展开式通项公式，分析（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项是如何构成的，从而求出结果．‎ ‎【解答】解：（1﹣）（1+x）4的展开式中，‎ 设（1+x）4的通项公式为Tr+1=•xr，（r=0，1，2，3，4）．‎ 则（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为﹣=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有　8　人．‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．‎ ‎【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N．‎ ‎∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，‎ ‎∵P=0.34，‎ ‎∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，‎ ‎∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是　②④　（写出所有正确结论的编号）．‎ ‎①P（B）=；‎ ‎②P（B|A1）=；‎ ‎③事件B与事件A1相互独立；‎ ‎④A1，A2，A3是两两互斥的事件；‎ ‎⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．‎ ‎【考点】互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），对照五个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．‎ ‎【解答】解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P（A1）==，P（A2）==，P（A3）=；‎ P（B|A1）===，由此知，②正确；‎ P（B|A2）=，P（B|A3）=；‎ 而P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=×+×+×=．‎ 由此知①③⑤不正确；‎ A1，A2，A3是两两互斥的事件，由此知④正确；‎ 对照四个命题知②④正确；‎ 故正确的结论为：②④‎ 故答案为：②④‎ ‎　‎ 三、解答题（第17小题10分，其余每题12分，共6小题，共70分）‎ ‎17．某网站针对2015年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下 观众年龄 支持A 支持B 支持C ‎20岁以下 ‎100‎ ‎200‎ ‎600‎ ‎20岁以上（含20岁）‎ ‎100‎ ‎100‎ ‎400‎ ‎（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．‎ ‎（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取5人作为一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．‎ ‎【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．‎ ‎（2）计算出这5人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，‎ ‎∴==，‎ 解得n=45；‎ ‎（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的5人中，‎ 年龄在20岁以下的有3人，分别记为1，2，3，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，‎ 则这5人中任意选取2人，共有10种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），‎ 其中恰好有1人在20岁以下的事件有：‎ ‎（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）共6种．‎ 故恰有1人在20岁以下的概率P==．‎ ‎　‎ ‎18．某产品的广告费用支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：‎ x/百万元 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y/百万元 ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）求y与x之间的回归直线方程；（参考数据：22+42+52+62+82=145，2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380）‎ ‎（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为=x+．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，代入回归方程即可；‎ ‎（2）把x=10代入回归方程计算．‎ ‎【解答】解：（1）==5， ==50．‎ ‎=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，‎ ‎=22+42+52+62+82=145．‎ ‎∴==6.5， =50﹣6.5×5=17.5，‎ 所以回归直线方程为=6.5x+17.5．‎ ‎（2）当x=10时， =6.5×10+17.5=82.5．‎ 答：当广告费用支出为1千万元时，销售额约是82.5百万元．‎ ‎　‎ ‎19．2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，由此能求出众数的估计值，设中位数的估计值为x，由频率分布直方图得10×0.005+0.010×10+0.020×10+（x﹣110）×0.030=0.5，由此能求出中位数的估计值．‎ ‎（2）从图中知，成绩在[80，90）的人数为2人，成绩在[90，100）的人数为4人，由此利用列举法能求出从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，成绩在[80，90）中至少有一人的概率．‎ ‎【解答】解：（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，‎ 即众数的估计值为115．…‎ 设中位数的估计值为x，‎ 则10×0.005+0.010×10+0.020×10+（x﹣110）×0.030=0.5，解得x=115．‎ ‎∴中位数的估计值为115…‎ ‎（2）从图中知，成绩在[80，90）的人数为m1=0.005×10×40=2（人），‎ 成绩在[90，100）的人数为m2=0.010×10×40=4（人），‎ 设成绩在[80，90）的学生记为a，b，成绩在[90，100）的学生记为c，d，e，f．‎ 则从成绩在[80，100）内的学生中任取2人组成的基本事件有：‎ ‎（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）（c，d）‎ ‎（c，e）（c，f）（d，e）（d，f）（e，f）共15种．‎ 其中成绩在[80，90）的学生至少有一人的基本事件有：‎ ‎（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）共9种．‎ 所以成绩在[80，90）的学生至少有一人的概率为…‎ ‎　‎ ‎20．一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：‎ 类别 A B C 数量 ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ 同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展．‎ ‎（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；‎ ‎（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可．‎ ‎（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴其分布列为：‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎21．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．‎ ‎（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；‎ ‎（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．‎ ‎（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ ‎∵试验发生包含的事件是3×5=15，‎ 函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，‎ 要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，‎ 当且仅当a＞0且，即2b≤a 若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；‎ ‎∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5‎ ‎∴所求事件的概率为．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，‎ 函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，‎ 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 构成所求事件的区域为三角形部分 由得交点坐标为，‎ ‎∴所求事件的概率为．‎ ‎　‎ ‎22．今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如表：‎ 日期 ‎2月13日 ‎2月14日 ‎2月15日 ‎2月16日 ‎2月17日 天气 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销售量 上午 ‎42‎ ‎47‎ ‎58‎ ‎60‎ ‎63‎ 下午 ‎55‎ ‎56‎ ‎62‎ ‎65‎ ‎67‎ 由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天．‎ ‎（1）以十位位数字为茎，个位数字为叶．画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数 ‎（2）假如明年庙会5天中每天下雨的概率为，且每天下雨与否相互独立，其它条件不变．试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；‎ ‎（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则成为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗？‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）根据表中10个销售数据，可得茎叶图，从而求出这组数据的中位数；‎ ‎（2）设明年花市期间下雨天数为X，则X～B（5，），估计明年花市可能有2天为下雨天，3天为非雨天，即可得出结论；‎ ‎（3）利润大于1200元时x的取值为575或600，求出相应的概率，即可得出结论 ‎【解答】解：（1）茎叶图如图所示，所有的数据为42，47，55，56，58，60，62，93，65，67，中位数=（58+60）=59‎ ‎（2）设明年花市期间下雨天数为X，则X～B（5，），‎ ‎∴E（X）=5×=2，‎ ‎∴估计明年花市可能有2天为下雨天，4天为非雨天，‎ ‎∴估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数2×100+3×125=575件；‎ ‎（3）设民俗庙会获得利润为y元销售的件数为x，则y=4x﹣1000，‎ 由于y＞1200，‎ 得4x﹣1000＞1200，得x＞550，‎ ‎∴利润大于1200元时x的取值为575或600，‎ 由（2），P（x=575）+P（x=600）=C52（）2（）3+C51（）1（）4=+＞0.6‎ ‎∴在（2）条件下，认为“值得投资”．‎ ‎　‎