专题03 函数的图像与性质-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题03 函数的图像与性质-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题03 函数的图像与性质 ‎2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点 ‎1．(2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x|在－2,2]的图象大致为(　　)‎ 答案　D ‎2．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)等于(　　)‎ A．－2B．－1C．0D．2‎ 答案　D 解析　当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.‎ ‎3．(2016·上海)设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均为增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是(　　)‎ A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 答案　D ‎4．(2016·北京)设函数f(x)＝ ‎(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；‎ ‎(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(1)2　(2)(－∞，－1)‎ 解析　(1)当a＝0时，f(x)＝ 若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．‎ 由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0.‎ 所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增；‎ 在(－1,0]上单调递减，所以f(x)最大值为f(－1)＝2.‎ 若x＞0，f(x)＝－2x单调递减，所以f(x)＜f(0)＝0.‎ 所以f(x)的最大值为2.‎ ‎(2)f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图．‎ 由(1)知，当a≥－1时，f(x)取得最大值2.‎ 当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值，且－2a＞2.‎ 所以a＜－1.‎ ‎5．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的(　　)‎ 答案　B ‎6．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)等于(　　)‎ A．1B.C．－1D．－ 答案　C 解析　由f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，‎ 因为4－1，且x≠0}．‎ 令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝－1＝，‎ 当－10；‎ 当x>0时，g′(x)<0.‎ ‎∴f(x)在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B符合．‎ 方法二　本题也可取特值，用排除法求解：‎ f(2)＝<0，排除A.‎ f＝＝<0，排除C，D，选B.‎ ‎8．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．‎ 答案　(－2,0)∪(0,2)‎ 易错起源1、函数的性质及应用 例1、(1)已知函数f(x)为奇函数，且在0,2]上单调递增，若f(log2m)，又a<0，所以a<－.‎ 二次函数f′(x)的图象的对称轴为x＝；‎ 三次函数g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，‎ 所以g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2，‎ 令g′(x)>0，得x<或x>，‎ 令g′(x)<0，得，‎ 所以选项B的图象是错误的，故选B.‎ ‎【变式探究】(1)函数f(x)＝cosx (－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)‎ ‎(2)已知三次函数f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的导函数为f′(x)，则函数f(x)与f′(x)的图象可能是(　　)‎ 答案　(1)D　(2)B ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法．‎ ‎(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．‎ ‎2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．‎ 易错起源3、基本初等函数的图象和性质 例3、(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎(2)若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)‎ 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.‎ ‎(2)方法一　由题意作出y＝f(x)的图象如图．‎ 显然当a>1或－1f(－a)．‎ 故选C.‎ 方法二　对a分类讨论：‎ 当a>0时，∴a>1.‎ 当a<0时，∴0<－a<1，‎ ‎∴－1b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)方法一　分a>1,01时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；‎ 当01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．‎ ‎(2)构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减．因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数，由此可知函数y＝g(x)是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．‎ ‎(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．‎ ‎2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．‎ ‎1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex 答案　D 解析　令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而A、B、C依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.‎ ‎2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)‎ A．f(x)＝x B．f(x)＝x3‎ C．f(x)＝()x D．f(x)＝3x 答案　D ‎3．函数f(x)＝x＋cosx的大致图象是(　　)‎ 答案　B 解析　∵f(x)＝x＋cosx，∴f(－x)＝－x＋cosx，‎ ‎∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，‎ 故函数f(x)是非奇非偶函数，排除A、C；‎ 当x＝时，x＋cosx＝＝x，‎ 即f(x)的图象与直线y＝x的交点中有一个点的横坐标为，排除D.故选B.‎ ‎4．已知函数f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B. C. D. 答案　C 解析　要使函数f(x)的值域为R，‎ 需使　所以 所以－1≤a<，故选C.‎ ‎5．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝‎ x－1，则f，f，f的大小关系是(　　)‎ A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f D．f>f>f 答案　A ‎6．已知符号函数sgnx＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)‎ A．sgng(x)]＝sgn x B．sgng(x)]＝－sgn x C．sgng(x)]＝sgnf(x)]‎ D．sgng(x)]＝－sgnf(x)]‎ 答案　B 解析　因为a>1，所以当x>0时，x0，sgng(x)]＝1＝－sgnx；当x＝0时，g(x)＝0，sgng(x)]＝0＝－sgnx也成立．故B正确．‎ ‎7．设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈3，＋∞)，x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－3] B．－3,0)‎ C．(－∞，3] D．(0,3]‎ 答案　C 解析　由题意分析可知条件等价于f(x)在3，＋∞)上单调递增，又因为f(x)＝x|x－a|，所以当a≤0时，结论显然成立，当a>0时，f(x)＝所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(‎ a，＋∞)上单调递增，所以0恒成立的函数的序号是________．‎ 答案　②④‎ 解析　由题意知，满足条件的函数图象形状为：‎ 故符合图象形状的函数为y＝log2x，y＝.‎ ‎10．已知f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由题意得解得≤a<3.‎ ‎11．能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是________．‎ ‎①f(x)＝ex＋e－x； ②f(x)＝ln；‎ ‎③f(x)＝tan； ④f(x)＝4x3＋x.‎ 答案　②③④‎ 解析　由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图象不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不是“和谐函数”；②中，f(0)＝ln＝ln1＝0，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln为“和谐函数”；③中，f(0)＝tan0＝0，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tan为“和谐函数”；④中，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．‎ ‎12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．‎ ‎(1)求F(x)的表达式；‎ ‎(2)当x∈－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．‎ 解　(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，‎ ‎∴b＝a＋1，‎ ‎∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.‎ ‎∵f(x)≥0恒成立，‎ ‎∴ 即 ‎∴a＝1，从而b＝2，‎ ‎∴f(x)＝x2＋2x＋1，‎ ‎∴F(x)＝ ‎(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.‎ ‎∵g(x)在－2,2]上是单调函数，‎ ‎∴≤－2或≥2，‎ 解得k≤－2或k≥6.‎ ‎∴k的取值范围是(－∞，－2]∪6，＋∞)．‎