安徽省合肥市九中2018-2019学年高二第一次月考数学试卷 Word版含答案

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安徽省合肥市九中2018-2019学年高二第一次月考数学试卷 Word版含答案

合肥九中2018 - 2019学年第一学期高二第一次月考 数学试卷 ‎(考试时间120分钟 满分150分) ‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一.选择题:(共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.)‎ ‎1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括( )‎ A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 ‎ C.两个圆台、一个圆锥 D.一个圆柱、两个圆锥 ‎2.圆锥的高扩大到原来的4倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积(   )‎ A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的2倍 C.不变 D.缩小到原来的 ‎3. 下列命题正确的有(   )‎ ‎①若△ABC在平面α外,它的三条边所在直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;②若三条平行线a,b,c都与直线l相交,则这四条直线共面;③三条直线两两相交,则这三条直线共面.‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是BB1、BC的中点.则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为(   )‎ ‎6.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.‎ 其中正确命题的序号是: ( )‎ A、①② B、②③ C、③④ D、①④‎ ‎7. 长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为( )‎ A. B.56π C.14π D.64π ‎8.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图,则在原正方体中(  )‎ A.AB∥CD B.AB∥平面CD C.CD∥GH D.AB∥GH ‎9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(   )‎ A.7     B.6     C.5     D.3‎ ‎10.如图所示,正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条棱SA,SC作截面SAC,则截面的面积为(  )‎ A.a2 B.a2‎ C.a2 D.a2‎ ‎11.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是(    ) ‎ A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎12.已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2,若其中一个圆的半径为2,则另一个圆的半径为(   )‎ A.3 B.4 C. D. 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13.已知圆锥的底面半径为1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长为    . ‎ ‎14.一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是 .‎ ‎15.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).‎ ‎ ‎ ‎16.如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).‎ ‎①当时,S为四边形 ‎②当时,S为等腰梯形 ‎③当时,S与的交点R满足 ‎④当时,S为六边形 ‎⑤当时,S的面积为 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ‎ ‎17.(本题满分10分)如图,已知点E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.‎ ‎18.(本题满分12分)已知正方体,是底对角线的交点.求证:‎ ‎(1);(2).‎ ‎19.(本题满分12分)如图,在四棱锥中,‎ ‎ 底面 是的中点.‎ 证明(1);(2)证明面平面;‎ ‎20.(本题满分12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,如图.‎ ‎(1)求证:MN∥面BB1C1C;‎ ‎(2)求MN的长.‎ ‎21.(本题满分12分)如图1,在边长为1的等边三角形中,分别是上的点,,是的中点,与交于点,沿折起,得到如图2所示的三棱锥,其中.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若为上的中点,为中点,求异面直线与所成角的余弦值 ‎22. (本题满分12分)如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,,,,为上一点,且.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求四棱锥的体积.‎ 合肥九中2018 - 2019学年第一学期高二第一次月考 数学试卷 ‎(考试时间120分钟 满分150分) 命题人:周福远 ‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一.选择题:(共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.)‎ ‎1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括( D )‎ A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 ‎ C.两个圆台、一个圆锥 D.一个圆柱、两个圆锥 ‎2. 圆锥的高扩大到原来的4倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积( C )‎ A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的2倍 C.不变 D.缩小到原来的 ‎3. 下列命题正确的有( C )‎ ‎①若△ABC在平面α外,它的三条边所在直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;②若三条平行线a,b,c都与直线l相交,则这四条直线共面;③三条直线两两相交,则这三条直线共面.‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为(D )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是BB1、BC的中点.则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( A )‎ ‎6.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.‎ 其中正确命题的序号是: ( A )‎ A、①② B、②③ C、③④ D、①④‎ ‎ ‎ ‎7. 长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为( C )‎ A. B.56π C.14π D.64π ‎8.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图,则在原正方体中( C )‎ A.AB∥CD B.AB∥平面CD C.CD∥GH D.AB∥GH ‎9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(A  )‎ A.7     B.6     C.5     D.3‎ ‎10.如图所示,正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条棱SA,SC作截面SAC,则截面的面积为( C )‎ A.a2 B.a2‎ ‎11.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( D ) ‎ A.BD∥平面CB1D1‎ B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1‎ D.异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎12.已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2,若其中一个圆的半径为2,则另一个圆的半径为( B )‎ ‎(A)3 (B)4 (C) (D) 解析:‎ 如图设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,‎ 则OO1EO2为矩形,‎ AE=AB=,O1A=2,‎ 所以O1E==3,‎ 所以AO2==4,选B.‎ 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13.已知圆锥的底面半径为1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长为    . ‎ 解析:设母线长为x,根据题意得2πx÷2=2π×1,‎ 解得x=2.‎ 答案:2‎ ‎14、一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是 .‎ ‎15. ‎ 如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).‎ 解析:由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.‎ 答案:B1D1⊥A1C1‎ ‎16.如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___①②③⑤______(写出所有正确命题的编号)。‎ ‎①当时,S为四边形 ‎②当时,S为等腰梯形 ‎③当时,S与的交点R满足 ‎④当时,S为六边形 ‎⑤当时,S的面积为 三、解答题(本大题共6个大题,17-18每题10分,19-22每题12分,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ‎ ‎17.(本题满分10分)如图,已知点E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.‎ 证明 ∵点E,F,G,H分别为所在棱的中点,连接BC1,GF,如图.‎ ‎∴GF是△BCC1的中位线,∴GF∥BC1.‎ ‎∵BE∥C1H,且BE=C1H,‎ ‎∴四边形EBC1H是平行四边形.‎ ‎∴EH∥BC1,∴GF∥EH.‎ ‎∴E,F,G,H四点共面.‎ ‎∵GF≠EH,故EF与HG必相交.‎ 设EF∩HG=I.‎ ‎∵I∈GH,GH⊂平面CC1D1D,‎ ‎∴I∈平面CC1D1D.‎ 同理可证I∈平面ABCD.‎ ‎∴点I在交线DC上.即EF,HG,DC三线共点.‎ ‎18、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:‎ ‎(1)C1O∥面AB1D1;‎ ‎(2)面OC1D∥面AB1D1.‎ 解:(1)由题意:几何体ABCD﹣A1B1C1D1是正方体,O是底ABCD对角线的交点,‎ ‎∴B1D1∥BD,‎ 连接A1C1交于O1,连接AO1,‎ C1O1‎ ‎∴C1O1AO是平行四边形.‎ ‎∴AO1∥C1O.‎ ‎∵AO1⊂面AB1D1;‎ ‎∴C1O∥面AB1D1;‎ 得证.‎ ‎(2).∵B1D1∥BD,即OD∥B1D1,‎ OD⊂面OC1D,‎ ‎∴OD∥面AB1D1.‎ 由(1)可得C1O∥面AB1D1;‎ OD∩C1O=O,‎ 所以:面OC1D∥面AB1D1.‎ ‎19.(本题满分12分)如图,在四棱锥中,‎ ‎ 底面 是的中点.‎ 证明;(2)证明面平面;‎ 解析:(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD ‎∴PA⊥CD又AC⊥CD,ACPA=A ‎∴CD⊥平面PAC,又AE平面PAC ‎∴CD⊥AE ‎ ‎(2)证明:∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD ‎∴PA⊥AB又AD⊥AB,ADPA=A ‎∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD ‎∴AB⊥PD由PA=AB=BC,∠ABC=60o则△ABC是正三角形 ‎∴AC=AB∴PA=AC ‎∵E是PC中点∴AE⊥PC由(1)知AE⊥CD,又CDPC=C ‎∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD又AB⊥PD,ABAE=A ‎∴PD⊥平面ABE ‎ 从而面平面 ‎20. (本题满分12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,如图.‎ ‎(1)求证:MN∥面BB1C1C;‎ ‎(2)求MN的长.‎ 解 (1)证明:作NP⊥AB于P,连接MP.NP∥BC,‎ ‎∴==,‎ ‎∴MP∥AA1∥BB1,‎ ‎∴面MPN∥面BB1C1C.‎ MN⊂面MPN,‎ ‎∴MN∥面BB1C1C.‎ ‎(2)===,NP=a,‎ 同理MP=a.‎ 又MP∥BB1,‎ ‎∴MP⊥面ABCD,MP⊥PN.‎ 在Rt△MPN中MN==a.‎ ‎21、如图1,在边长为1的等边三角形中,分别是,上的点,,是的中点,与交于点,沿折起,得到如图2所示的三棱锥,其中.‎ ‎(1)求证:平面平面 ‎(2)若为,上的中点,为中点,求异面直线与所成角的余弦值 证明:(1)如题图1,在等边三角形中,,‎ 如题图2,平面,‎ 平面 ··········2分 同理可证平面 ‎,‎ 平面平面 平面 ·········4分 ‎(2)连 是的中位线 异面直线与所成角即为·····6分 ‎,‎ 又· ······8‎ ‎22、如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.‎ ‎(1)证明:BC⊥平面POM;‎ ‎(2)若MP⊥AP,求四棱锥PABMO的体积.‎ 解:(1)证明:如图,因四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,AM,则AO⊥OB.因∠BAD=,‎ 故OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,‎ 又因BM=,且∠OBM=,在△OBM中,‎ OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM ‎=12+2-2×1××cos=.‎ 所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.‎ 又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,OP都垂直,‎ 所以BC⊥平面POM.‎ ‎(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2×cos=.‎ 设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.‎ 由△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.‎ 在△ABM中,‎ AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=‎ ‎22+2-2×2××cos=.‎ 由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则 PA2+PM2=AM 2,即a2+3+a2+=,得a=,a=-(舍去),即PO=.‎ 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.‎ 所以四棱锥P-ABMO的体积 VP-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.‎
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