数学理卷·2017届河北省石家庄市高三毕业班第二次模拟（2017

数学理卷·2017届河北省石家庄市高三毕业班第二次模拟（2017

‎2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.函数与的定义域分别为、，则（ ）‎ A． B． C．D．‎ ‎2.若，则复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3.已知向量，，则“”是“”成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知角（）终边上一点的坐标为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知，其中为自然对数的底数，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7.如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）‎ A．, B．, ‎ C．, D．, ‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎10.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）‎ ‎11.如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎14.已知函数（，）的图象如图所示，则的值为 ．‎ ‎15.双曲线（，）上一点关于一条渐进线的对称点恰为右焦点，则该双曲线的标准方程为 ．‎ ‎16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，其面积取最大值时 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求证：对任意的，.‎ ‎18.在如图所示的多面体中，为直角梯形，，，四边形为等腰梯形，，已知，，．　‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.‎ ‎（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为，求四天中至少有两天降雨的概率；‎ ‎（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小（单位：毫米）与其出售的快餐份数成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：‎ 降雨量（毫米）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 快餐数（份）‎ ‎50‎ ‎85‎ ‎115‎ ‎140‎ ‎160‎ 试建立关于的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）‎ 附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎20.已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎21.设函数，其中为自然对数的底数，其图象与轴交于，两点，且．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明：（为函数的导函数）．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），为上一点，以为边作等边三角形，且、、三点按逆时针方向排列.‎ ‎（Ⅰ）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线：，经过伸缩变换得到曲线，试判断点的轨迹与曲线是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数、满足，求的最小值.‎ ‎2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）当时，‎ ‎ ‎ ‎①-②得， ‎ 所以， ‎ 当时，，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）因为，. ‎ 因此.‎ 所以，对任意，． ‎ ‎18.（Ⅰ）证明：取中点，连接，，，可知，‎ ‎∴，‎ 又， ∴平面， ‎ ‎∴， 又，‎ ‎，∴平面，平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）如图，作，则平面，故以为原点，分别以 的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得 ，，，，所以 ， ，．‎ 设 为平面EAC的法向量，则 ‎ 即 不妨设，‎ 可得，‎ 所以， ‎ 直线CF与平面EAC所成角的正弦值为．　 ‎ ‎19.解：（Ⅰ）四天均不降雨的概率，‎ 四天中恰有一天降雨的概率，‎ 所以四天中至少有两天降雨的概率.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，，‎ ‎ ‎ 所以，关于的回归方程为：． ‎ 将降雨量代入回归方程得：. ‎ 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．　‎ ‎20.解：（Ⅰ）设，由题意可知，，的中点，，‎ 因为，，．‎ 在⊙C中，因为，∴，‎ 所以，即（），‎ 所以点的轨迹的方程为：（）．‎ ‎（Ⅱ） 设直线MN的方程为，，，直线BN的方程为 ‎，‎ ‎，可得， ‎ ‎，则点A，所以直线AM的方程为，‎ ‎，，可得，‎ 直线BN的方程为，‎ 联立可得，‎ 所以点，，，‎ ‎∴与直线MN相切．‎ ‎21.解：（Ⅰ）．‎ 若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．所以，令，则． ‎ 当时，，是单调减函数；时，，是单调增函数；‎ 于是当时，取得极小值． ‎ 因为函数的图象与轴交于两点，(x1＜x2)，‎ 所以，即．‎ 此时，存在；（或寻找f（0））‎ 存在，‎ 又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围．‎ ‎（Ⅱ）因为 两式相减得． ‎ 记，则，‎ 设，则，所以是单调减函数，‎ 则有，而，所以．‎ 又是单调增函数，且，‎ 所以．‎ ‎22.解：（Ⅰ）设点的坐标为，‎ 则由题意可得点的坐标为，‎ 再由点的横坐标等于，，‎ 可得，‎ 可得，‎ 故当点在上运动时点的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ)曲线：，‎ ‎，即，代入，即，‎ 联立点的轨迹方程，消去得，‎ 有交点，坐标分别为．‎ ‎23.解：（Ⅰ）函数 它的图象如图所示：‎ 函数的图象与直线的交点为、，‎ 故函数的图象和直线围成的封闭图形的面积．　‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎， ‎ 当且仅当，‎ 可得时等号成立，‎ 的最小值是