2018-2019学年河南省八市高二下学期第二次质量检测数学（理)试题 解析版

2018-2019学年河南省八市高二下学期第二次质量检测数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 河南省八市2018-2019学年高二下学期第二次质量检测数学（理)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（　　）‎ ‎①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．‎ A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 演绎推理的三段论的知识，选出正确的大前提、小前提和结论，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：‎ 大前提：一切奇数都不能被2整除，‎ 小前提：2019是奇数，‎ 结论：2019不能被2整除；‎ ‎∴正确的排列顺序是②③①．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查演绎推理的三段论知识的理解和运用，属于基础题.‎ ‎2．下面是关于复数的四个命题：，的共轭复数为的虚部为1，其中真命题为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，，，的虚部为1；即命题正确，故选C．‎ 考点：1．复数的运算；2．复数的概念；3．命题真假的判定．‎ ‎3．用反证法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为（　　）‎ A．都能被3整除 B．都不能被3整除 C．不都能被3整除 D．不能被3整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的步骤和命题的否定，直接对“中至少有一个能被3整除”的进行否定即可.‎ ‎【详解】‎ 因为“至少有n个”的否定为“至多有n-1个”.‎ ‎“中至少有一个能被3整除”的否定是：“都不能被3整除”，‎ 故应假设都不能被3整除.‎ 故本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立. 反证法的适用范围是：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少.‎ ‎4．满足条件的正整数的个数是（　　）‎ A．10 B．9 C．4 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合数的计算公式化简不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解得 由题意，可取的值是6，7，8，9，共四个 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查组合数的计算公式，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎5．下面使用类比推理正确的是（　　）‎ A．直线，则，类推出：向量，则 B．同一平面内，直线，若，则．类推出：空间中，直线，若，则 C．实数，若方程有实数根，则．类推出：复数，若方程有实数根，则 D．以点为圆心，为半径的圆的方程为．类推出：以点为球心，为半径的球的方程为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：依据类比推理的思维模式可知答案D是使用类比推理所得正确结论的，所以应选D.‎ 考点：推理及类比推理的运用．‎ ‎6．一质点在直线上以速度运动，从时刻到时质点运动的路程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据速度的积分为位移，对分段函数的两段解析式分别进行积分，再根据位移和路程的对应关系，求得质点运动的路程.‎ ‎【详解】‎ 解：该质点从时刻到时质点运动的路程：‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定积分的计算，考查定积分在物理上的应用，属于基础题.‎ ‎7．的展开式中，的系数为 A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.‎ 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.‎ ‎【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.‎ ‎8．已知复数，且，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数代入，化简后可知对应的点在圆上.设过点的切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，表示的集合意义是与点连线的斜率，由此求得斜率的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：∵复数，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 设圆的切线，则，‎ 化为，解得．‎ ‎∴的最大值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.‎ ‎9．已知函数的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ 的导函数的图象如图所示．当时，函数的零点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出原函数大致图像，根据图像判断出当时，函数零点的个数.‎ ‎【详解】‎ 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：‎ 因为，‎ 所以函数的零点的个数为4个．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10．将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子中，恰有两个小球放入同一个盒子的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得基本事件的总数为，然后计算出恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数，根据古典概型概率计算公式计算出所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 解：将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子中，‎ 基本事件总数，‎ 恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数，‎ ‎∴恰有两个小球放入同一个盒子的概率．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分步计算原理，考查古典概型概率计算，属于基础题.‎ ‎11．已知函数在定义域上是单调增函数，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由于函数在定义域(−∞,+∞)上是单调增函数，‎ ‎2a⩾e−a,解得.排除A，D，‎ 当a=2时,x=1可得ex−2x2=e−2；‎ ‎2a+lnx=4>e−2，显然不成立。排除B.‎ 本题选择C选项.‎ ‎12．若实数满足，则的最小值为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题目所给方程，转化为点是曲线上的点，是直线上的点，而题目所求表示为 的最小值，利用平移求切线的方法，结合点到直线的距离公式，求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴点是曲线上的点，是直线上的点，‎ ‎∴‎ 要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时．‎ ‎∵，‎ 由得，；由得．‎ ‎∴当时，取得极小值．‎ 由，可得 （负值舍去）‎ ‎∴点到直线的距离为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两条曲线间最小距离的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，综合性较强，属于难题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设，则的大小顺序是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用差比较法先比较的大小，然后比较的大小，由此判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，∴，‎ ‎，‎ 而，，‎ ‎，∴，‎ ‎∴，故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查差比较法比较数的大小，属于基础题.‎ ‎14．由曲线，直线所围成的封闭图形的面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出曲线和直线的图像，求得交点的纵坐标，然后根据定积分求得封闭图形的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：‎ 由，得，或，‎ 所以根据积分的几何意义可知所求的几何面积：‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定积分的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_____种．‎ ‎【答案】192‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有种站法，再取一人站左侧有种站法，余下三人站右侧，有种站法考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是.故答案为.‎ 考点：排列、组合的实际应用.‎ ‎【方法点晴】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素优先法．由于甲必须站中央，故先安排甲，两边一边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以即可得到所有的站法总数，计数时要先安排乙丙两人，再安排甲左边的第三人，最后余下三人，在甲右侧是一个全排列.‎ ‎16．函数的定义域和值域均为，的导数为，且 ‎，则的范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用的导数判断出在上为增函数，由得.构造函数，利用的导数判断出在上为减函数，由得.综上所述可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，设 则，‎ 又由，则，则函数在上为增函数，‎ 则，即，变形可得，‎ 设 则，‎ 又由，则，则函数在上为减函数，‎ 则，即，变形可得，‎ 综合可得：，即的范围是；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查构造函数法求表达式的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数，且为纯虚数．‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若，求复数的模．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先计算得到，再根据纯虚数的概念得到b的值和复数z.(2)直接把复数z代入计算求w和|w|.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是纯虚数 ‎∴，且 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查纯虚数的概念和复数的运算，考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.‎ ‎18．已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值;‎ ‎(2) 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求得r的值，可得展开式中含的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.‎ 详解：（I）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为， ‎ ‎,, ‎ ‎ ‎ 得或（舍去）. ‎ ‎(II)的通项公式为：‎ ‎，令8﹣5k=3，求得k=1，‎ 故展开式中含的项为．‎ 又由知第5项的二项式系数最大，此时 .‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎19．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．‎ ‎（1）求出；‎ ‎（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【答案】⑴；⑵；⑶‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相邻项规律求；（2）根据相邻项确定，再利用叠加法求的表达式；（3）先利用裂项相消法求不等式左边的和，再证不等式.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）∵，，，，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）∵，， ，‎ 由上式规律得出．‎ ‎∴，，‎ ‎，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又时，也适合，∴，‎ ‎（3） 当时，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查叠加法求通项以及裂项相消法求和，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎20．已知，（其中）．‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）试比较与的大小，并用数学归纳法给出证明过程．‎ ‎【答案】(1)；；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）采用赋值法，令，右边==左边=，也采用赋值法，令；（2）根据（1）得到，等于比较与的大小，首先赋几个特殊值，采用不完全归纳法，得到答案，然后再用数学归纳法证明.‎ 试题解析：（1）取，则； 2分 取，，4分 ‎（2）要比较与的大小，即比较与的大小.‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，； 6分 猜想：当时，，下面用数学归纳法证明： 7分 由上述过程可知，时结论成立；‎ 假设当时结论成立，即 两边同乘以3得：‎ 时，，，‎ ‎，即时结论也成立.‎ 当时，成立. 11分 综上所述，当或时，；‎ 当时，. 12分 考点：1.二项式定理中的赋值法；2.数学归纳法；3.不完全归纳法.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）若函数在处有极值为10，求的值；‎ ‎（2）对任意，在区间单调增，求的最小值；‎ ‎（3）若，且过点能作的三条切线，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据列方程组，解方程组求得的值.（2）依题意得对，当恒成立，构造函数，利用一次函数的单调性求得.再构造函数，根据二次函数的对称轴得，由此求得的最小值.（3）当时，，设出切点的坐标，利用导数求得切线的斜率列方程并化简，构造函数记，根据过点，能作的三条切线可知有三个零点，利用的导数求得的极大值和极小值，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），依题意：‎ ‎①，②‎ 由①②解得：，或；‎ 经检验当时无极值点，‎ 当时函数在处有极小值，故，‎ ‎（2）对，当恒成立 记，‎ ‎∴‎ 又设，‎ 当时，‎ ‎，∴的最小值为，‎ ‎（3）：当时，，‎ 设切点为，则切线斜率为，‎ ‎∴，‎ 记，‎ 过点能作三条切线等价于有三个零点 正 负 正 增 减 增 令，即，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知极值点求参数，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究切线问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）当时，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设，证明：．（参考数据：）‎ ‎【答案】（1）单调增区间是，；‎ ‎（2）时，；时，==；时，==.‎ ‎（3）证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由可解得的单调增区间；（2），由此对进行分类讨论，能求出的最小值；（3）令，从而得到，由此能证明结论. ‎ ‎(1)当时，，‎ 或。函数的单调增区间为 ‎ ‎(2) ，‎ 当，单调递增，‎ 当，单调递减， 单调递增，‎ 当，单调递减， ‎ ‎（3）令=—，，‎ ‎，单调递减，，，‎ ‎∴ ，‎ ‎==……=  （）‎ 点睛：导数法解决函数的单调性问题 ‎(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式直接得到单调递增(或递减)区间．‎ ‎(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是不恒等于的参数的范围．‎