2020届二轮复习（文）专题五第3讲第1课时　圆锥曲线中的取值、范围、证明问题课件（26张）

2020届二轮复习（文）专题五第3讲第1课时　圆锥曲线中的取值、范围、证明问题课件（26张）

第3讲　圆锥曲线的综合问题 第1课时　圆锥曲线中的取值、范围、证明问题 总纲目录 考点二　范围问题 考点三　证明问题 考点一　最值问题 考点一　最值问题 (2019浙江,21,15分)如图,已知点 F (1,0)为抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点.过点 F 的 直线交抛物线于 A , B 两点,点 C 在抛物线上,使得△ ABC 的重心 G 在 x 轴上,直线 AC 交 x 轴于点 Q ,且 Q 在点 F 的右侧.记△ AFG ,△ CQG 的面积分别为 S 1 , S 2 . (1)求 p 的值及抛物线的准线方程; (2)求   的最小值及此时点 G 的坐标.   解析 　本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知 识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转 化与化归的思想方法. (1)由题意得   =1,即 p =2. 所以,抛物线的准线方程为 x =-1. (2)设 A ( x A , y A ), B ( x B , y B ), C ( x C , y C ),重心 G ( x G , y G ).令 y A =2 t , t ≠ 0,则 x A = t 2 .由于直线 AB 过 F ,故直线 AB 方程为 x =   y +1,代入 y 2 =4 x ,得 y 2 -   y -4=0,故2 ty B =-4,即 y B =-   , 所以 B   .又由于 x G =   ( x A + x B + x C ), y G =   ( y A + y B + y C )及重心 G 在 x 轴上,故2 t -   + y C =0, 得 C   , G   . 所以,直线 AC 方程为 y -2 t =2 t ( x - t 2 ),得 Q ( t 2 -1,0). 由于 Q 在焦点 F 的右侧,故 t 2 >2. 从而   =   =   =   =2-   . 令 m = t 2 -2,则 m >0,   =2-   =2-   ≥ 2-   =1+   . 当 m =   时,   取得最小值1+   ,此时 G (2,0). 思路分析     (1)根据抛物线定义知   =1,得到准线方程 x =-1.(2)要求   的最小 值,需要将   用基本量表示出来,从点的关系出发,设 A ( x A , y A ),合理选择参数 t 表 示 A ( t 2 ,2 t ), t ≠ 0,由直线 AB 过 F 得到 AB 方程,求出 B 点坐标,再由△ ABC 的重心 G 在 x 轴上,求出 C 点和 G 点坐标,进而求出 Q 点坐标,然后就可以表示出   ,进而 求出其最小值. 总结提升 最值问题的2种基本解法 几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解 决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等 在选择题、填空题中经常考查) 代数法 建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数,通过求解函数的最值解决 (普通方法、基本不等式方法、导数方法等) 考点二　范围问题 (2019课标全国Ⅱ,20,12分)已知 F 1 , F 2 是椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的两个焦点, P 为 C 上的点, O 为坐标原点. (1)若△ POF 2 为等边三角形,求 C 的离心率; (2)如果存在点 P ,使得 PF 1 ⊥ PF 2 ,且△ F 1 PF 2 的面积等于16,求 b 的值和 a 的取值 范围. 解析　 本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思 想和逻辑思维能力与运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. (1)连接 PF 1 .由△ POF 2 为等边三角形可知在△ F 1 PF 2 中,∠ F 1 PF 2 =90 ° ,| PF 2 |= c ,| PF 1 |=   c ,于是2 a =| PF 1 |+| PF 2 |=(   +1) c ,故 C 的离心率 e =   =   -1. (2)由题意可知,满足条件的点 P ( x , y )存在,当且仅当   | y |·2 c =16,   ·   =-1,   +   =1, 即 c | y |=16,① x 2 + y 2 = c 2 ,②   +   =1.③ 由②③及 a 2 = b 2 + c 2 得 y 2 =   , 又由①知 y 2 =   ,故 b =4. 由②③得 x 2 =   ( c 2 - b 2 ),所以 c 2 ≥ b 2 , 从而 a 2 = b 2 + c 2 ≥ 2 b 2 =32,故 a ≥ 4   . 当 b =4, a ≥ 4   时,存在满足条件的点 P . 所以 b =4, a 的取值范围为[4   ,+ ∞ ). 思路分析    第(1)问中由平面几何知识可知△ PF 1 F 2 是∠ F 1 PF 2 =90 ° 的直角三 角形,且| PF 2 |= c ,| PF 1 |=   c ,再利用椭圆的定义找出 a 与 c 的等量关系,进而求离 心率. 第(2)问中设出 P 点坐标,利用   =16, PF 1 ⊥ PF 2 以及   +   =1得到方程①② ③,消元化简可求 b 的值和 a 的取值范围. 一题多解    (2)设| PF 1 |= r 1 ,| PF 2 |= r 2 , 由椭圆的定义可得 r 1 + r 2 =2 a ,   =   r 1 r 2 =16,∴ r 1 r 2 =32. 又 PF 1 ⊥ PF 2 ,∴   +   =4 c 2 , ( r 1 + r 2 ) 2 =   +   +2 r 1 r 2 =4 c 2 +64=4 a 2 , ∴4 a 2 -4 c 2 =64,∴ b =4, 又   +   ≥ 2 r 1 r 2 , ∴4 c 2 ≥ 2 × 32, ∴ c ≥ 4,∴ a 2 = b 2 + c 2 =16+ c 2 ≥ 32, ∴ b 的值为4, a 的取值范围为[4   ,+ ∞ ). 总结提升 范围问题的解题策略 解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻找 不等关系,其方法有: (1)利用判别式来构造不等式,从而确定所求范围; (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个 参数之间建立相等关系; (3)利用隐含的不等关系,从而求出所求范围; (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围; (5)利用函数值域的求法,确定所求范围; (6)利用已知,将条件转化为几个不等关系,从而求出参数的范围. (2019济南学习质量评估)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)过点 M   ,左焦点为 F (-1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 y = kx +2与椭圆 C 有两个不同的交点 P , Q ,点 N (0,-2),记直线 NP , NQ 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,求 k 1 · k 2 的取值范围. 解析 　(1)因为椭圆 C 的左焦点为 F (-1,0),所以 c =1. 因为椭圆 C 过点 M   ,所以   +   =1,又 a 2 = b 2 + c 2 , 所以 a 2 =4, b 2 =3,所以椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 联立得   得(3+4 k 2 ) x 2 +16 kx +4=0. 由 Δ =(16 k ) 2 -4 × 4(3+4 k 2 )>0 ⇒ k 2 ∈   . x 1 + x 2 =   , x 1 · x 2 =   , y 1 + y 2 = k ( x 1 + x 2 )+4=   , y 1 y 2 = k 2 x 1 x 2 +2 k ( x 1 + x 2 )+4=   , 所以 k 1 · k 2 =   ·   =   = k 2 +12, 因为 k 2 ∈   ,所以 k 2 +12∈   , 所以 k 1 · k 2 的取值范围是   . 考点三　证明问题 (2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线 C : y 2 =2 x ,点 A (2,0), B (-2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M , N 两点. (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; (2)证明:∠ ABM =∠ ABN . 解析 　(1)当 l 与 x 轴垂直时, l 的方程为 x =2,可得 M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线 BM 的方程为 y =   x +1或 y =-   x -1. (2)证明:当 l 与 x 轴垂直时, AB 为 MN 的垂直平分线,所以∠ ABM =∠ ABN . 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y = k ( x -2)( k ≠ 0), M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ),则 x 1 >0, x 2 >0. 由   得 ky 2 -2 y -4 k =0, 可知 y 1 + y 2 =   , y 1 y 2 =-4. 直线 BM , BN 的斜率之和为 k BM + k BN =   +   =   .① 将 x 1 =   +2, x 2 =   +2及 y 1 + y 2 , y 1 y 2 的表达式代入①式分子,可得 x 2 y 1 + x 1 y 2 +2( y 1 + y 2 )=   =   =0. 所以 k BM + k BN =0,可知 BM , BN 的倾斜角互补,所以∠ ABM =∠ ABN . 综上,∠ ABM =∠ ABN . 总结提升 几何证明问题的解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元 素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行 或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). (2)解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位 置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等 进行证明. (2019合肥第一次质检)设椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 过点 F 1 的直线交椭圆 E 于 A , B 两点.若椭圆 E 的离心率为   ,△ ABF 2 的周长为4   . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于 C , D 两点,设弦 AB , CD 的中点分别为 M , N ,证明: O , M , N 三点共线. 解析 　(1)由题意知,4 a =4   , a =   . 又 e =   ,∴ c =   , b =   ,∴椭圆 E 的方程为   +   =1. (2)证明:当直线 AB , CD 的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点 M , N 在 x 轴上, 则 O , M , N 三点共线; 当直线 AB , CD 的斜率存在时,设其斜率为 k ,且设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( x 0 , y 0 ), 则   两式相减,得   +   -   =0, ∴   =-   ,   =-   , ∴   ·   =-   ,   ·   =-   ,即 k · k OM =-   , ∴ k OM =-   . 同理可得 k ON =-   ,∴ k OM = k ON ,∴ O , M , N 三点共线.