2013届一轮复习 平面向量的概念及其线性运算

2013届一轮复习 平面向量的概念及其线性运算

‎2013届一轮复习 平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 ‎1、(2011山东高考,理12)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( ) A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上 D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎2、设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论中正确的是( ) A.a0=b0‎ B.a0·b0=1 C.|a0|+|b0|=2‎ D.|a0+b0|=2 ‎3、设P是△ABC所在平面内的一点, + =2,则( ) A. + =0 B. +=0 C. +=0 D. ++=0 ‎4、如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( ) ‎ ‎ A. + + =0 B. -+ =0 C. + -=0 D. -- =0 ‎5、已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,那么( ) A. =‎ B. =2 C. =3‎ D.2= ‎6、“两个向量相等”是“两个向量共线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎7、如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个命题: ‎ ‎ A. +=2 B. =2+2 C. ·=· D. (·) = (·)‎ 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). ‎8、对于非零向量a,b,“a∥b”是“a+b=‎0”‎成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9、若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) A. =+‎ B.= - C.=- +‎ D.=- - 二、填空题 ‎10、已知AD是△ABC的中线, =λ+μ (λ,μ∈R),那么λ+μ= . ‎11、把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是 . ‎12、在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ= . ‎13、已知e1,e2是一对不共线的非零向量,若a=e1+λe2,b=-2λe1-e2,且a与b共线,则λ= . 三、解答题 ‎14、在水流速度为‎4km/h的河中,如果要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶,‎ ‎15、G是△ABC的重心,求证: ++=0. ‎16、已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与c共线？ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 D 解析:∵C,D调和分割点A,B, ‎∴=λ, =μ,且+=2,(*) 不妨设A(0,0),B(1,0),则C(λ,0),D(μ,0), 对A,若C为AB的中点,则=,即λ=,将其代入(*)式,得=0,这是无意义的,故A错误; 对B,若D为AB的中点,则μ=,同理得=0,故B错误; 对C,要使C,D同时在线段AB上,则0<λ<1且0<μ<1,∴>1, >1.∴+>2,这与+=2矛盾;故C错误;显然D正确.‎ ‎2、 C 解析:因为是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1.‎ ‎3、B 解析:因为+=2,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B.‎ ‎4、 A 解析:∵=,∴+=+= =, 得++=0,故选A. 或++=++= +=0. ‎5、 A 解析:∵=+,=+且=-, 又∵2++=0, ‎∴2++++=0, 即=.‎ ‎6、 A 解析:若两个向量共线,则两个向量的方向相同或相反.‎ ‎7、ABD 解析:A:+=+==2, B:2+2=++=+=+=; C:∵| |>| |,且cos∠CAD>cos∠BAD,‎ ‎∴·=·错误； D正确.‎ ‎8、 B 解析:由a+b=0,可得a=-b,即得a∥b,但a∥b,不一定有a=-b,所以“a∥b”是“a＋b=‎0”‎成立的必要不充分条件.‎ ‎9、 B 二、填空题 ‎10、1 解析:=+=+ ‎=+ (-)=+.‎ ‎11、 圆 解析:以共同的始点为圆心,以1为半径的圆.‎ ‎12、  解析: =+=-=- ‎=- (-)= +, ‎∴λ=.‎ ‎13、 ± 解析:∵a∥b,∴a=kb, e1+λe2=-2kλe1-ke2. λ=±.‎ 三、解答题 ‎14、 解:如图所示,设表示水流速度,表示船的行驶速度,表示船的实际行驶速度,连结BC,作AD∥BC,且AD=BC,则为所求的船的航速, +=. ‎ ‎ ‎∵||=4,| |=12,tan∠ACB==,‎ ‎∴∠ACB=30°=∠CAD,| |=||=8,∠BAD=120°. 故船的航行速度的大小为‎8km/h,方向与水流速度所成的角为120°.‎ ‎15、 证明:以向量,为邻边作平行四边形GBEC,则+==2, 又由G为△ABC的重心知=2, ‎∴++=-2+2=0.‎ ‎16、 解:d=λa+μb=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) ‎=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, ‎∵向量d与c共线, ‎∴d=kc(k∈R). ‎(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2, 得λ=-2μ. 故存在这样的实数λ,μ,只要λ=-2μ,就能使向量d与c共线.‎