新疆哈密市第十五中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

新疆哈密市第十五中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

哈密市第十五中学2019—2020学年第一学期期末考试 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集的运算，求得，再根据集合交集的运算，即可求得.‎ ‎【详解】由题意，全集，集合，可得，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设直线的方程为，又因为该直线过点，所以，即，的方程为；故选D．‎ 考点：两直线的位置关系．‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由程序框图得，；故选C．‎ 考点：程序框图．‎ ‎4.要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移单位 B. 向右平移单位 C. 向右平移单位 D. 向左平移单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据平移的性质，2x2x ，根据平移法则“左加右减”可知向右平移 个单位．‎ 解答：解：∵y=sin2xy=sin(2x)‎ 故选C ‎5.已知实数、满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.‎ ‎【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 目标函数可化为，当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，‎ 又由，解得，‎ 代入目标函数，可得目标函数的最大值为.‎ 故选：B.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于中档试题．‎ ‎6.已知，，，则a, b, c的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A.‎ 考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.‎ ‎7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：若，，则或，故A错误；若，，则的关系不确定，故B错误；若，，则或相交，故C错误；故选D．‎ 考点：空间中线面的位置关系．‎ ‎8.设为所在平面内一点，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的三角形法则，进行化简，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，如图所示，‎ 因为，所以，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答总熟记平面向量的三角形法则进行化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与化简能力，属于基础题.‎ ‎9.若的对边分别为，且，,,则（ ）‎ A. 5 B. ‎25 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 在中，，，可得，解得．‎ 由余弦定理可得：．‎ ‎10.已知函数的图像如图所示，则函数的解析式是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析： 由图象可得周期，所以可得，排除A，B，又因为图象过代入可得C 考点：三角函数的图象和性质 ‎11.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的性质及在区间上单调递增,结合不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】偶函数在区间上单调递增 则在区间上单调递减 若满足 则 化简可得 解不等式可得即 故选:A ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质及简单应用,根据函数单调性解不等式,属于基础题.‎ ‎12.给出下列四个命题：‎ ‎①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；‎ ‎②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；‎ ‎③一组数据，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则样本的标准差为2；‎ ‎④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，，，，则.‎ 其中真命题为（ ）‎ A. ①②④ B. ②④ C. ②③④ D. ③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用概率统计中的系统抽样、平均数、众数、中位数及线性回归直线方程的概念及应用，对选项逐项判定，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，对于①中，的公差为，‎ 所以，即样本中另一位同学的编号为20，所以不正确；‎ 对于②中，数据1，2，3，3，4，5的平均数为，‎ 众数为3，中位数为，所以数据的平均数、众数和中位数是相同的，所以是正确.‎ 对于③中，数据，0，1，2，3的平均数为，解得，‎ 所以方差为，‎ 所以标准差为，所以不正确；‎ 对于④中，因为，所以，根据回归直线方程必过样本中心点，‎ 即，解答，所以是正确的.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，着重考查了系统抽样、平均数、众数、中位数的概念与计算，以及线性回归方程的应用，属于中档试题.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果．‎ ‎【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，‎ ‎∴圆锥的高是，‎ ‎∴几何体的体积是，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.‎ ‎14.若两个向量与的夹角为，则称向量“”为向量的“外积”，其长度为.若已知，，，则 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】 ‎ 故答案为3.‎ ‎【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，‎ ‎15.已知函数且的图象恒过点. 若点在直线上， 则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据指数函数恒过定点可知，函数恒过定点（令，此时得到），该点在直线上，所以，所以，因为，所以（当且仅当即，也就是时，等号成立），故，所以的最小值为.‎ 考点：1.指数函数的图象与性质；2.基本不等式.‎ ‎16.已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】令，则化为，即直线恒过；根据题意，画出的图象与直线；由图象，可知当直线介于直线与之间时，关于的方程（且）有个不同的根；又因为,,所以．‎ 考点：函数的性质、直线与曲线的位置关系．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知向量，设 ‎（1）求函数的增区间；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）增区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量的数量积的运算公式和三角函数恒等变换，得到，再结合三角函数的性质，即可求解.‎ ‎（2）由（1）知，根据因为，求得 ‎，进而求得的值.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 令，解得 所以函数的增区间为.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 因为，‎ 可得，‎ 解得，因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，以三角恒等变换的应用，同时熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎18.设为等差数列，为数列的前项和，已知，.‎ ‎（１）求数列的通项公式；‎ ‎（２）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，根据，，列出方程组，求得，，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，结合等比数列和等差数列的前n项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，则 因为，，可得，即，解得，，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差、等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19.从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；‎ ‎（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.‎ ‎【答案】(1)；(2)0.7；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(1)利用频率分布直方图中小矩形的高的实际意义进行求解；（2)利用频率来估计概率；（3）先利用分层抽样得到各层抽得的人数，列举出所有基本事件和满足要求的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解．‎ 试题解析：（1）因为样本中家庭月均用水量在上的频率为，‎ 在上的频率为，‎ 所以， ‎ ‎（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个，‎ 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨概率是.‎ 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7 ‎ ‎（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6‎ 吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，‎ 则在上应抽取人，记为， ‎ 在上应抽取人，记为， ‎ 在上应抽取人，记为 ‎ 设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，‎ 则所有基本事件有：‎ ‎，共21种. ‎ 事件包含的基本事件有：，‎ 共12种.‎ 所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为 ‎ 考点：1.频率分布直方图；2.分层抽样；3.古典概型．‎ ‎20.如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，点为的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)连接交于，连接．利用几何关系可证得 ‎，结合线面平行的判断定理则有直线平面．‎ ‎(2)利用线面垂直的定义有，结合可证得平面，则，由几何关系有，则平面，利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面．‎ 试题解析：‎ ‎（）连接交于，连接．‎ 因为矩形的对角线互相平分，‎ 所以在矩形中，‎ 是中点，‎ 所以在中，‎ 是中位线，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（）因为平面，平面，‎ 所以；‎ 在矩形中有，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以；‎ 由已知，三角形是等腰直角三角形，是斜边的中点，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎21.已知函数且.‎ ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）判断的奇偶性并予以证明；‎ ‎（3）求满足的的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）为奇函数；证明见解析（3）当时，的解集是.当时，的解集是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的解析式有意义，得到不等式组，即可求解函数的定义域；‎ ‎（2）根据函数奇偶性的定义，即可判定函数的奇偶性，得到结论；‎ ‎（3）由，得到，根据对数函数的单调性，分类讨论，即可求解.‎ 详解】（1）由题意，函数，‎ 根据对数函数的性质，可得函数满足，解得，‎ 所以的定义域为.‎ ‎（2）由（1）知的定义域为，关于原点对称，‎ 且，‎ 即，所以函数为奇函数.‎ ‎（3）由，即，‎ 当时，在定义域是增函数，，解得；‎ 当时，在定义域内是减函数，所以，解得，‎ 综上可得：当时，的解集是；‎ 当时，的解集是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用，以及函数的奇偶性的判定证明，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及熟练应用对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎22.已知圆经过点，，且圆心在直线上.‎ ‎（1)求圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程.‎ ‎（3）若直线与圆相切，且与，轴的正半轴分别相交于，两点，求的面积最小时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1)由题意，可得的垂直平分线方程为，联立方程组求得圆心，进而求得圆的方程；‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设斜率为，得到直线方程，利用圆心到直线的距离和圆的垂径定理，求得，得出直线的方程；当直线的斜率不存在时，验证直线的方程为，满足题意，即可得到结论；‎ ‎（3）设直线l的方程为，根据与圆 相切，利用三角形的面积，结合基本不等式，求得的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】（1)由题意，可得的中点坐标为，，直线的斜率为，‎ 可得的垂直平分线方程为，‎ 联立方程组，解答，即圆心坐标为，‎ 所以半径为 ，所以圆的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设斜率为，‎ 因为直线过点，所以直线的方程为，即，‎ 则圆心到直线的距离，‎ 由垂径定理，，解得，‎ 则直线的方程为，‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意，‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎（3）设直线l的方程为：，‎ 因为与轴的正半轴分别相交于两点，‎ 所以，且，‎ 又与圆相切，则点到直线的距离等于圆的半径2，‎ 即，①，‎ 又由 ②‎ 将①代入②得，‎ 当且仅当时取等号，所以当时，的面积最小，‎ 此时，‎ 所以直线的方程为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎