四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

‎2020届高三毕业班第三次大联考 数学试题（文史类）‎ 注意事项：‎ ‎1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎2．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质，求得，再利用集合交集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据对数函数的性质，正确求得集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，化简复数，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，复数，‎ 所以复数对应的点位于第四象限.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意将函数的图象向左平移个单位长度得到：‎ 故选 ‎4.已知等比数列满足，则的值为（ ）‎ A. 9 B. 32 C. 64 D. 128‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个等式列出方程组求解出首项和公差得到通项公式，然后求解的值.‎ ‎【详解】因为，所以，解得：，所以，则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，难度较易.‎ ‎5.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选 ‎6.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（ ）‎ A. 28 B. 56 C. 84 D. 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得： ‎ 执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 满足判断条件，退出循环，输出的值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7.设为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为非零向量,“存在负数,使得”,则向量共线且方向相反,可得，即充分性成立；‎ 反之不成立,非零向量的夹角为钝角时,满足,而”，即必要性不成立；‎ 综上可得“存在负数,使得”是“”的”的充分不必要条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8.已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数，得到函数为偶函数，且当时，函数为单调递增函数，把不等式转化为，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，且关于原点对称，‎ 又由，所以函数为偶函数，‎ 当时，函数为单调递增函数，‎ 因为不等式，即，‎ 则满足，即，即，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质应用，其中解答中根据函数的解析式，利用函数的奇偶性的定义和初等函数的单调性，得到函数的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知动点满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的平面区域，分别计算的坐标，求得的长，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，‎ 由方程组，解得，此时，‎ 过原点与直线垂直的直线方程为，‎ 联立方程组，解得，此时，‎ 过过原点与直线垂直的直线方程为，‎ 联立方程组，解得，此时点不在不等式组所表示的平面区域内，‎ 又由，所以当点为点重合时，此时取得最小值，最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎10.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于，，且，‎ 故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除， 故选B．‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 ‎11.已知是边长为2的等边三角形，为的中点，且，则（　　）‎ A. B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，且与的夹角为，由向量的运算法则可得，利用数量积的公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设，则，且与的夹角为，‎ 又由向量的运算法则可得 所以 ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的运算法则和向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的三角形法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把对于，转化为函数在上的最小值不小于在上的最大值，分别利用导数求得函数单调性与最值，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，对于，‎ 可得在上的最小值不小于在上的最大值，‎ 由，则，‎ 可得当时，，单调递减，当时，，单调递减，‎ 又由，即在区间上的最大值为4，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，，函数单调递减，即在单调递减，‎ 又由，所以在为正，在上为负，‎ 所以在为单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上的最大值为，所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，其中利用导数研究不等式恒成立问题时，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知向量满足.若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据向量的共线条件，求得，得到，再利用向量模的计算公式，即可求解.‎ 详解】由题意，向量满足，‎ 因，所以，解得，即，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的共线条件和向量的模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数式与对数式的互化公式，得到，即可求得的值，得到答案.‎ ‎【详解】由对数式与指数式的互化，因为，可得，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.在中，角的对边分别为，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的基本关系式，求得，再由正弦定理，即可求解得值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，在中，因为，所以，‎ 又由正弦定理可得，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式求得的值，再利用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16.函数的图象如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，结合函数图象可得有两个根，且一个在上，一个在上，设，①当有一个根为1时，由，求得的值，检验符合题；②当没有根为1时，由，求得的范围，综合可得结论.‎ ‎【详解】根据函数的图象，设，‎ 关于的方程有三个不同的实数解，‎ 即为有两个根，且一个在上，一个在上，‎ 设，‎ ‎①当有一个根为1时，，此时另一个根为，符合题意；②当没有根为1时，则，解得，‎ 综上可得，的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎【答案】(1) (2) 极大值为 极小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，得到，且，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程；‎ ‎（2）由（1）知，利用导数求得函数的单调性，进而求得函数的极值.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则， ‎ 所以，且，‎ 所以切线方程为，即. ‎ ‎（2）由（1）知，‎ 令，则或；令，则 ‎ 所以函数在单调递增，在单调递减，在单调递增,‎ 所以函数在处取得极大值，且极大值为，‎ 函数在处取得极小值，且极小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)求在区间上的最小值.‎ ‎【答案】（I）,;（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据二倍角公式及两角和与差的正弦公式，将函数化简为，再根据正弦函数的单调性即可求得；（II）由，可得，根据正弦函数的单调性即可求得最小值.‎ ‎【详解】（I）.‎ 由得，，则的单调递增区间为，.‎ ‎（II）∵，∴，当，时，.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中的倍角公式、两角和与差的正弦、函数的性质等基础知识，考查转化能力和基本计算能力.其中的解题关键是把所给函数转化为的形式，然后再运用整体的思想解题.‎ ‎19.已知等差数列前项和为，，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据等差数列的通项及前n项和列出方程组，求出首项公差即可（2）利用裂项相消法求出前项和.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ 解得，.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，裂项求和，属于中档题.‎ ‎20.锐角内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求的周长的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和题设条件，整理得，得到，即可求解角的大小；‎ ‎ (2)由正弦定理，得到，得到周长，利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，因为，‎ 由正弦定理可得：，‎ 又由，‎ 代入整理得，‎ 又由，则，所以，即，‎ 又因为，所以.‎ ‎(2)因为,且由正弦定理，可得，‎ 即 所以周长 ‎，‎ 即 ‎ 又因为锐角三角形，且，‎ 所以，解得，‎ 所以，则有 即 ，‎ 即的周长取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，其中为自然对数的底数，求证：函数有2个不同的零点；‎ ‎（3）若对任意的恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1) 在单调递增，在单调递减. (2)证明见解析； (3)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，根据导数值的符号，即可求得函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）的结论，求得函数的极大值，再结合实数与的关系，即可作出证明；‎ ‎（3）设，求得，利用，求得函数在时单调递增，进而分和讨论，即可求解，得到结论.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，可得，‎ 当时，,在单调递增；‎ 当时，令，则，令，则，‎ 所以在单调递增，在单调递减. ‎ ‎（2）由（1）可知，当时，函数的最大值为：‎ ‎，‎ 因为，所以，因此有，‎ 因为，所以，因此当时，函数有唯一零点；‎ 因为，所以，，‎ 故函数在时，必有唯一的零点，因此函数有2个不同的零点； ‎ ‎（3）设，，‎ ‎，因为，所以函数在时单调递增，‎ 即 当时，即，时，，函数在时单调递增，因此有，即当时，恒成立； ‎ 当时，所以存在，使得，‎ 即当时，函数单调递减，所以此时，‎ 显然对于当时，不恒成立， ‎ 综上所述，，所以实数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点与不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由题意可得C的普通方程，极坐标方程为.‎ ‎（2）由题意可得，，△OMN为直角三角形，则.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由参数方程，得普通方程，‎ 所以极坐标方程，即.‎ ‎（2）直线与曲线的交点为，得，‎ 又直线与曲线的交点为，得，‎ 且，所以.‎ ‎23.已知.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）当时，不等式即，零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎（2）原问题即恒成立，由绝对值三角不等式可得，原问题转化为，求解不等式可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 得；得；得，‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，‎ 又因为，‎ 要使原不等式恒成立，则只需，‎ 当时，无解；当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎ ‎