内蒙古赤峰市2020届高三上学期期末考试理科数学试题

内蒙古赤峰市2020届高三上学期期末考试理科数学试题

‎2020年赤峰市高三期末考试试卷 理科数学 一、选择题 ‎1.已知集合,,则集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,根据补集定义和交集定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集运算和交集运算,解题关键是掌握补集定义和交集定义,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎2.若复数为纯虚数,i是虚数单位,则实数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简,因为复数为纯虚数,则实部为且虚部不为联立方程,即可求得答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ 复数为纯虚数 实部为且虚部不为 可得 解得: ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查根据复数为纯虚数求参数,解题关键是掌握复数代数形式的乘除运算和复数的纯虚数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎3.下表是某城市在2019年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据表,已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该表,则下列结论错误的是( )‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 最高温 ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎21‎ 最低温 ‎1‎ ‎7‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎10‎ A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加 C. 月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月 D. 1至4月温差(最高温减最低温)相对于7至10月,波动性更大 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,逐项分析,即可求得答案.‎ ‎【详解】对于A,由题意可知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为正相关,故A正确;‎ 对于B,由表中数据,每月最高温与最低温的平均值依次为:‎ 在前个月不是逐月增加,故B错误;‎ 对于C,由表中数据,月温差依次为:;月温差的最大值出现在月,故 C正确;‎ 对于D,由C的结论,分析可得月至月的月温差相对于月至月,波动性更大, 故D正确.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题的解题关键是掌握正负相关的定义和掌握统计学的基本概念,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎4.设函数,则下列结论正确的是( )‎ A. 的最小正周期为 B. 的一个零点为 C. 在上单调递增 D. 图象关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 将,化简为,根据余弦图像,逐项判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】 ‎ 对于A,,可得 ‎ 根据余弦函数最小正周期计算公式可得: ‎ 可得:,故A错误;‎ 对于B, ‎ ‎ ‎ 根据余弦函数图像可得零点为:‎ 可得:,‎ 当时,,故B正确;‎ 对于C,‎ 根据余弦函数图像可得增区间为: ‎ ‎ ,则不是增区间,故C错误;‎ 对于D, ‎ 根据余弦函数图像可得其对称轴为:‎ ‎ ,则直线不是对称轴,故D错误;‎ 故选: B.‎ ‎【点睛】本题的解题关键是掌握余弦图像的基础知识,掌握整体代入求单调区间的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎5.函数的图象大致是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数,判断函数的奇偶性和单调性,结合图像,即可求得答案.‎ ‎【详解】函数 函数定义域为:‎ ‎ ‎ 函数定义域为的奇函数.‎ 当时, ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ 此时函数是减函数 当时,‎ 由,可得 ‎ ‎ 综上所述,函数是定义域为的奇函数.‎ 当时,函数是减函数 当时 ‎ 只有C图像符合题意.‎ 故选: C.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数解析求解函数图像,解题关键是掌握奇偶性的定义和根据导数求函数单调性的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎6.设、、表示三个不同的平面,表示三条不同的直线,则的一个充分条件是( )‎ A. , B. ,‎ C. ,,, D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件的定义,逐项检验,即可求得答案.‎ ‎【详解】对于A, 由,,不能推出,故A错误;‎ 对于B, 由,,不能推出,故B错误;‎ 对于C, 由一个平面内的一条直线垂直另一个平面的相交直线,则两个平面垂直.由,无法判断是否相交,故由,,,,不能推出,故C错误;‎ 对于D, 根据一个平面内的一条直线垂直另一个平面,则这两个平面垂直,由, ,则中存在垂直平面的直线,可以推出,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了求一个命题的充分条件,‎ 解题关键是掌握充分条件的定义和判断面面垂直的方法,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎7.已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则 A. ＜ B. π＜3 C. ＞ D. π＞3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】对于A：函数y=xe是（0，+∞）上的增函数，A错；‎ 对于B：π3e﹣2＜3πe﹣2⇔3e﹣3＜πe﹣3，而函数y=xe﹣3是（0，+∞）上的减函数，B错；‎ 对于C：，而函数y=logex是（0，+∞）上的 增函数，C错，‎ 对于D：，D正确；‎ 故答案为：D．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,过的直线交双曲线右支于两点,且,若,则该双曲线离心率( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,,可得与的关系,由双曲线的定义可得 ‎,解得|,然后利用,推出的关系,可得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设为双曲线右支上一点,‎ 由,,‎ 在直角三角形中 ‎ ‎ 由双曲线的定义可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得: ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎ 在中根据勾股定理: ‎ 解得: ‎ ‎ ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎9.设抛物线C:()焦点为F,点M在C上,且,若以MF为直径的圆过点 ‎,则C的方程为( )‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线:(),可得其焦点坐标为:,准线为,设,故点到准线的距离为:,根据抛物线定义可得:,画出图形,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】设以MF为直径的圆的圆心为 画出几何图形:‎ ‎ 抛物线:()‎ 其焦点坐标为:,准线为 设,故点到准线的距离为:‎ 根据抛物线定义可得:‎ ‎ ‎ 根据中点坐标公式可得:的中点为: ‎ 以MF为直径的圆过点,根据几何关系可得:‎ ‎ ‎ ‎ 代入 可得:,即: ‎ 解得:或 的方程为:或 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎10.“猜想”是指对于每一个正整数,若为偶数,则让它变成;若为奇数,则让它变成.如此循环,最终都会变成,若数字按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对数字按照若为偶数,则让它变成;若为奇数,则让它变成.如此循环,最终都会变成,进行计算,即可求得变换次数为偶数的频率.‎ ‎【详解】①当,第次运算为:,第次运算为:,运算次数为;‎ ‎②当,第次运算:,第次运算为:,‎ 第次运算为:,第次运算为:, ‎ 第次运算为:,运算次数为;‎ ‎③当,第次运算为:,第次运算为:,‎ 第次运算为:,第次运算为:,‎ 第次运算为:,第次运算为:,‎ 第次运算为:,第次运算为:,运算次数为;‎ ‎④当,第次运算为:,第次运算为:,‎ 第次运算为:,第次运算为:, ‎ 第次运算为:,第次运算为:,‎ 第次运算为:,第次运算为:, ‎ 第次运算为:,第次运算为:,‎ 根据③可知当,还需要次运算,运算次数为;‎ ‎⑤当,根据②可知当,还需要次运算,运算次数为;‎ 故数字按照以上的规则进行变换,变换次数为偶数的为次 ‎ 变换次数为偶数的频率为:.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据运算规律求频率问题,解题关键是掌握在求解运算规律问题时,应在运算中寻找规律,减少运算步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎11.在三棱锥中,与均为边长为的等边三角形,四点在球的球面上,当三棱锥的体积最大时,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与均为边长为的等边三角形,四点在球的球面上,当三棱锥的体积最大时,即面与面垂直,画出图像,求出此时的三棱锥外接球的半径,即可求得答案.‎ ‎【详解】当三棱锥的体积最大时,即面与面垂直 画出立体图像:‎ 设外接圆圆心为,外接圆圆心为,外接球的半径为,‎ 取中点为 ‎ 等边三角形 ‎ ‎ 又 面面垂直 ‎ 面 ‎ 面 ‎ ‎ ‎ 与均为边长为的等边三角形 ‎ 可得与外接圆半径为: ‎ 即 则 ‎ 又 面,面 ‎ 四边形是正方形,‎ ‎ ‎ 在中有: ‎ 解得: ‎ 故外接球的半径为 ‎ 球的表面积公式为: ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎12.设曲线:()上一点,曲线:上一点,当时,对于任意、,都有恒成立,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为在曲线:上,可得,解得:, 在曲线:上,可得,解得:, 结合已知可得:,通过构造函数,求其最值,即可求得答案.‎ ‎【详解】在曲线:上 ‎ ,解得: ‎ ‎ 在曲线:上 ‎ ,解得: ‎ 根据曲线和曲线图像可知:,可得 ‎ ‎ ‎ ,可得 令 则 ‎ ‎ 当,‎ ‎ 在上是单调增函数,‎ 即 要保证恒成立 只需保证,即 的最小值为:.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了根据构造函数求解不等式恒成立问题,解题关键是掌握对数函数和指数函数的基础知识,和通过构造函数求解不等式恒成立的解法,考查了分析能力和转化能力,属于难题.‎ 二、填空题 ‎13.设,,是单位向量,,,,的夹角为,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,,是单位向量,,,,的夹角为,根据向量数量积公式可得: ,,,求的值,即可求得答案.‎ ‎【详解】 ,,是单位向量 ‎ ‎ ‎ 又 ,,,的夹角为 根据向量数量积公式可得: ,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了求向量的模长,解题关键是掌握向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎14.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请名同学,每人随机写下一个都小于的正实数对,再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是那么可以估计______.‎ ‎【答案】（或写成3.2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由试验结果知对之间的均匀随机数,对应区域的面积为,两个数能与构成钝角三角形三边的数对,满足且都小,,面积为,由几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等,即可求得答案.‎ ‎【详解】 由试验结果知对之间的均匀随机数,对应区域的面积为,两个数能与构成钝角三角形三边的数对,满足且都小,,面积为 又几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等,‎ ‎ 统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数 ‎ ‎ ‎ ‎ 解题 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了用概率的方法估计圆周率,解题关键是掌握几何型概率计算公式,考查了分析能力和转化能力,属于中档题.‎ ‎15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”‎ ‎，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．‎1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．‎ ‎【答案】 (1). 12 (2). 90‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题目分析，可设这个足球有正五边形皮子x块，则根据题意可得等量关系式：正六边形的块数×3=正五边形的块数×5，由此可以解出正五边形个数，根据两条边组成一条棱，因此可求棱的条数．‎ ‎【详解】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；‎ 每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，‎ 另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.‎ 所以设这个足球有x块正五边形，一共有5x条边，其中白皮三条边和黑皮相连，‎ 又足球表面中的正六边形的面为20个，‎ 根据题意可得方程：，‎ 解得，‎ 该足球表面中的正五边形的面为12个；‎ 因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱，‎ 所以每条棱由两条边组成，‎ 该足球表面的棱为：条.‎ 故答案为：12；90.‎ ‎【点睛】本题考查列方程解含有未知数的应用题，考查想象能力与转化能力，属于中等题.‎ ‎16.已知等差数列中,首项,公差,若成等比数列,且 ‎,,,则数列的通项公式是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】 等差数列,首项,公差,成等比数列,‎ 且,,‎ ‎ ,‎ 即,‎ 整理可得,即 ‎ 解得:或(舍去)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又等比数列的公比为 整理可得:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了求数列的通项公式,解题关键是掌握求数列通项的解题方法,灵活使用等差数列和等比数列的通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.的内角所对的边分别为且满足.‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）若角,,求的周长.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题设及正弦定理得:‎ 即,结合,即可求得答案;‎ ‎（2）由已知及余弦定理得:,由（1）,即可求得,进而求得的周长.‎ ‎【详解】（1）由题设及正弦定理得:‎ ‎,‎ 整理得,‎ 即,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 由正弦定理得.‎ ‎（2）由已知及余弦定理得:①‎ ‎ 由（1）,即②‎ 将②代入①可得: ‎ ‎,‎ ‎,‎ 的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查了根据正弦定理和余弦定理解三角形,‎ 解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎18.如图,在四棱锥中,平面,是平行四边形,,交于点是上一点.‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）已知二面角的余弦值为,若为的中点,求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将求证,转换为求证平面,即可求得答案;‎ ‎（2）连,在中,所以平面分别以,,为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,求得与平面法向量的夹角的余弦值,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1） 平面,‎ ‎ ,‎ 又四边形为菱形,‎ ‎,又,‎ 平面,平面PBD,‎ ‎.‎ ‎（2）连,在中,如图:‎ 平面 分别以,,为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设,则,,,,.‎ 由（1）知,平面的一个法向量为,‎ 设平面的一个法向量为,‎ ‎ ,即,‎ 令,则,‎ 二面角的余弦值为,‎ ‎,‎ ‎,‎ 设与平面所成角为,‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线垂直和用向量法求线面角,‎ 解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的方法和用向量法求线面角的解法,考查了计算能力和空间想象能力,属于中档题.‎ ‎19.在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组,在某一个社区设计了一个调查:在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成人按10000人计算,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国APP”的概率均为(某人在某一时刻打开“学习强国”的概率,),并且是否打开进行学习是彼此相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位:min),得到下面的频数表,以样本中100名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间.‎ 学习时长/min 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（1）试估计的值;‎ ‎（2）设表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数.‎ ‎①求的数学期望和方差;‎ ‎②若随机变量满足,可认为.假设当时,表示社区处于最佳的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数).‎ 附:若则,,.‎ ‎【答案】（1）（2）①,②(min)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:‎ ‎,即可求得答案;‎ ‎（2）根据题意,,根据,,即可求得的数学期望和方差.,当时,,,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:‎ ‎(min),‎ 而调查总时长为150(min),故.‎ ‎（2）①根据题意,.‎ 故,‎ ‎.‎ ‎②,‎ 当时,,,‎ ‎.‎ 故.‎ ‎ 估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为(min).‎ ‎【点睛】本题考查了根据频率估计概率,求数据的期望和方差,解题关键是掌握统计学的基础知识和掌握期望,方差的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆:()经过点和.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）过的直线交椭圆于两点,若分别为的最大值和最小值,求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆:的右顶点为,得,又椭圆:过点,则,解得,即可求得答案.‎ ‎（2）当直线MN斜率存在时,设MN的方程为,,,‎ 由消掉得,根据韦达定理,结合已知条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1） 由椭圆:的右顶点为,‎ ‎ ,‎ 又 椭圆:过点,‎ ‎ ,解得 ‎ 椭圆的标准方程为:.‎ ‎（2）当直线MN斜率存在时,‎ 设MN的方程为,,,‎ 由消掉得,‎ 即,‎ ‎ 在椭圆内部,,‎ 根据韦达定理可得:‎ ‎ ‎ ‎③,‎ 将①②代入③得:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 即,‎ 又是两个根,,‎ 当直线MN斜率不存在时,联立得,‎ 不妨设,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 可知.‎ 综上所述:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的标准方程和椭圆中的最值问题,解题关键是掌握椭圆的基础知识和在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎21.已知函数,为常数,当时,有三个极值点,,(其中).‎ ‎（1）求实数的取值范围;‎ ‎（2）求证:.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数函数的定义域为,由,得,令,得是一个根,要使在上有三个极值点,,,则有三个解,结合已知,即可求得答案;‎ ‎（2）由(1)知,是方程在内的个解, ,令,,,即,要证.只要证,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）函数函数的定义域为,‎ 由,得,‎ 令,得是一个根,要使在上有三个极值点,,,‎ 则有三个解,所以在必有个解,.‎ ‎ ,‎ 令,则,‎ 由,得,‎ 由,得,‎ ‎ 在上单调递减,上单调递增,‎ ‎,当时,,,‎ 为了满足题意,必有,‎ 的取值范围为.‎ ‎（2）由(1)知,是方程在内的个解,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 令,,‎ 则,即,‎ 要证.‎ 只要证 ‎ ,‎ ‎,‎ 结合函数的图像知,‎ 两点,连线的斜率比两点,连线的斜率小,‎ 即只要证:,即:,().‎ 令(),‎ ‎ ,‎ ‎ 在单调递减,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了根据指定区间上的零点个数取参数范围和根据导数证明不等式,解题关键是掌握极点的求法和将不等式成立问题转化为函数的最值问题的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在直线为轴建立直角坐标系，曲线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点，，为直线上任意一点，点在射线上运动，且．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求点轨迹围成的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与平面直角坐标之间的关系即可求解.‎ ‎（2）由（1）知，，则可求直线的极坐标方程为，在极坐标系中，设，，则，点在直线上，代入与Q点关系即可得到Q的轨迹方程，化简并转化为直角坐标方程可得轨迹为圆，求圆面积即可.‎ ‎【详解】（1）∵，∴．‎ 由得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 则直线的直角坐标方程为，‎ 极坐标方程为．‎ 在极坐标系中，设，，则．‎ ‎∵点在直线上，∴，‎ ‎∴，‎ 即，即．‎ ‎∴点轨迹的直角坐标方程为，‎ 即，‎ ‎∴点的轨迹为半径为的圆，圆的面积为．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，求轨迹方程问题，考察转化与化归思想，属于中等题.‎ ‎23.设函数,,存在实数,使得成立.‎ ‎（1）求不等式的解集:‎ ‎（2）若,,且满足,求证:.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为函数,,存在实数,使得成立,所以,解得,即可求解;‎ ‎（2）由(1)知,,,,即;,根据均值不等式,即可求证:.‎ ‎【详解】（1） 函数,,存在实数,使得成立 ‎ ,‎ 又 ,‎ ‎ ,‎ 等价于:‎ 或或.‎ 解得或或,‎ 不等式的解集为:.‎ ‎（2）由（1）知,‎ ‎ ,,‎ ‎,即:,‎ ‎.‎ 当且仅当时等号成立,即,时等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查了求解带有绝对值的不等式和根据均值不等式证明不等式,解题关键是掌握带有绝对值不等式的解法和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎