数学文卷·2019届福建省莆田第九中学高二上学期第二次月考（12月）试题（解析版）x

数学文卷·2019届福建省莆田第九中学高二上学期第二次月考（12月）试题（解析版）x

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 福建省莆田第九中学2017-2018学年高二上学期第二次月考(12月)‎ 数学(文)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）‎ ‎1. 平行线和的距离是（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵两条直线保持平行 ‎∴m=8‎ 平行线和的距离即平行线和的距离=2‎ 故选：B 点睛：求两平行直线间距离时，注意把直线化成一般式，同时保证一次项系数相同.‎ ‎2. 数列中，已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：，则：‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎3. 下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：‎ ‎，，，.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4. 在等差数列中，若为方程的两根，则（ ）‎ A. 10 B. 15 C. 20 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】由韦达定理可得：，‎ 结合等差数列的性质可知：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 已知命题，有成立，则为（ ）‎ A. ，有成立 B. ，有成立 C. ，有成立 D. ，有成立 ‎【答案】C ‎【解析】特称命题的否定为全称命题，则：‎ 若命题，有成立，‎ 则为，有成立.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6. 在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则（ ）‎ A. 33 B. 72 C. 84 D. 189‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，由于，，化简得，解得，，故选C.‎ 考点：等比数列的性质 ‎7. 设是曲线（为参数，）上任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，曲线C是以为圆心，为半径的圆，目标函数表示圆上的点与坐标原点之间连线的斜率，如图所示，观察可得：的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8. 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，‎ 则,所以，‎ 结合等比数列求和公式有：，解得n=4，‎ 即这个等比数列的项数为8.‎ 本题选择C选项.‎ ‎9. 两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：，结合求解方程组可得：，‎ 则双曲线中：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10. 已知函数的图象如图所示，其中为函数的导函数，则的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合题中所给函数的性质列表考查函数的性质如下：‎ 单调递增 单调递减 单调递增 结合题中的选项，只有B选项符合函数的单调性，‎ 本题选择B选项.‎ ‎11. 设函数的导函数，则数列 的前项和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查导数的运算,数列求和及转化思想.‎ 则 ‎ 所以数列的前n项和为为 故选A ‎12. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是“阶聚合”点集。现有四个命题：‎ ‎①若，则存在正数，使得是“阶聚合”点集；‎ ‎②若，则是“阶聚合”点集；‎ ‎③若，则是“2阶聚合”点集；‎ ‎④若是“阶聚合”点集，则的取值范围是.‎ 其中正确命题的序号为（ ）‎ A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于①：M={(x,y)|y=2x}，则点集为，(tx,ty)∈M，①正确；‎ 对于②：∵M={(x,y)|y=x2}，取(2,4)，而点(1,2)∉M，②错误；‎ 对于③：取为集合M上的一点，则点，③错误；‎ 对于④：∵x2+y2⩽1，根据题意，得∴t2(x2+y2)⩽1恒成立，‎ 则即 ‎∵t∈(0,+∞)，∴t∈(0,1].④正确；‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：此类问题一定要抓住题设中的定义与基础知识的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13. 已知函数的图像在点的处的切线过点，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意可得：，则，且，‎ 据此可得切线方程为：，‎ 切线过点，则：，‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.‎ ‎14. 已知函数，则_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 令有：，‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ ‎15. 将曲线按伸缩变换公式变换后得到曲线，则曲线上的点 到直线的距离最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】伸缩变换即：，则伸缩变换之后曲线，‎ 设曲线上点的坐标为：，结合点到直线距离公式有：‎ ‎，‎ 结合三角函数的性质可得，当时，距离取得最小值.‎ ‎16. 下列命题：‎ ‎①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；‎ ‎②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；‎ ‎③“若，则”的逆命题.‎ 其中真命题是________________.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】“四边相等的四边形是正方形”的否命题为“正方形的四条边相等”，该命题为真命题，‎ 命题“梯形不是平行四边形”是真命题，则其逆否命题是真命题；‎ ‎“若，则”的逆命题是“若，则”‎ 当时，该命题为假命题.‎ 综上可得，真命题是①②.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17. 已知 ‎（Ⅰ）当时，判断是的什么条件；‎ ‎（Ⅱ）若“非”是“非”的充分不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】(Ⅰ)充分不必要条件；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)首先确定命题p,q，据此可知当时是的充分不必要条件；‎ ‎(Ⅱ)由题意可得关于实数m的不等式组：，求解不等式组可得实数的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)‎ 则当m=4时，q:‎ 当时是的充分不必要条件 ‎(Ⅱ)“非”是“非”的充分不必要条件，‎ 是的充分不必要条件.‎ ‎，‎ 实数的取值范围为.‎ ‎18. 设命题；命题：关于的不等式的解集是空集，‎ 若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 求解不等式可得：.或.满足题意时，有且只有一个为真，据此分类讨论可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ 由得即，.‎ ‎.‎ 由关于的不等式的解集是空集，得，‎ 或.或.‎ 为真，为假，‎ 有且只有一个为真，‎ 若为真，为假，则且，；‎ 若为假，为真，则或，同时或，‎ 或.‎ 的取值范围是.‎ ‎19. 如图所示，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且，‎ ‎（1）求证：点的坐标为；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求面积的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)1.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理即可证得点坐标是；‎ ‎(2)结合(1)的结论可证得，利用平面向量垂直的充要条件即可证得；‎ ‎(3)由题意可得△AOB的面积表达式：，则当时，取最小值1.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，直线方程为代入得，是此方程的两根 ‎①即点坐标是 ‎（2）证明： ，则；‎ ‎（3）由方程①得，又 当时，取最小值1.‎ ‎20. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，‎ ‎，公比为，且，。‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）设数列满足，求的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）有已知条件得，解出，，即得与（Ⅱ）由，，裂项相消法求和........................‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列公差为，‎ 由题目列出各方程：‎ 即，‎ 即，‎ 得，解出，，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于b的方程：，解方程可得椭圆的方程为.‎ ‎(2) 联立直线与椭圆的方程有：结合韦达定理，，据此计算可得： ，所以，为定值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为的焦点在轴上且长轴长为4，‎ 故可设椭圆的方程为 因为点在椭圆上，所以 解得.‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，由已知，直线的方程是，‎ 由消去得，‎ 设，则是方程的两个根，‎ 所以有，，所以：‎ 所以，为定值.‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎22. 已知椭圆的离心率为，且过点 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与圆相切于点，且与椭圆只有一个公共点.‎ ‎①求证：；‎ ‎②当为何值时，取得最大值？并求出最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)①.证明见解析；②.答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)椭圆的离心率为，又椭圆过已知点，即，再加上，联立可求得；（2）直线与圆及椭圆都相切，因此可以把直线方程与椭圆方程(或圆方程)联立方程组，此方程组只有一解，由此可得到题中参数的关系式，当然直线与圆相切，可利用圆心到直线的距离等于圆的半径来列式，得到的两个等式中消去参数即可证得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，这里设，由①中的方程(组)可求得，最终把用表示，，利用不等式知识就可求得最大值.‎ 试题解析：(1)椭圆E的方程为4分 ‎（2）①因为直线与圆C:相切于A,得,‎ 即① 5分 又因为与椭圆E只有一个公共点B，‎ 由得,且此方程有唯一解.‎ 则即 ‎②由①②,得8分 ‎②设，由得 由韦达定理,‎ ‎∵点在椭圆上,∴‎ ‎∴10分 在直角三角形OAB中,‎ ‎∴12分 考点：椭圆的标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆相切.‎ ‎ ‎