2017-2018学年河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试题 解析版

2017-2018学年河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试题 解析版

豫南九校2017-2018学年上期期末联考 高二数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若，则（ ）‎ A. 1009 B. C. 0 D. 2018‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是常数，所以根据求导法则易知，故选C.‎ ‎2. 在各项均为正数的等比数列中，若，，则（ ）‎ A. 12 B. C. D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质得，‎ ‎∴，‎ ‎∴。选B。‎ ‎3. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）‎ A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交但不垂直 ‎【答案】B ‎【解析】因为，，，，所以,,可得，所以，线与的位置关系是平行，故选B．‎ ‎4. 若，则“”的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. 且 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎∴，当且仅当 时取等号.‎ 故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C。‎ ‎5. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的渐近线为 ，抛物线的焦点为，所以抛物线的焦点到渐近线距离为，故选C．‎ ‎6. 下列说法正确的是（ ）‎ A. “函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 B. 在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 C. 若命题为假命题，则都是假命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数为奇函数，函数的定义域为时，才成立，故选项A错误；因为是在三角形中，所以“”是“”成立的充要条件，故选项B错误；若命题为假命题，则至少有一个为假命题，故选项C错误；故选D．‎ ‎7. 已知数列的前项和，则 的通项公式（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，得，，当时，，所以，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故选B．‎ ‎8. 已知实数满足不等式组，则函数的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，‎ 由得。‎ 平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点C时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值。‎ 由，解得，故点C的坐标为（1,2）。‎ ‎∴。选D。‎ ‎9. 在中，角的对边分别为 若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.‎ ‎10. 函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）‎ A. 7 B. 4 C. 0 D. -4‎ ‎【答案】A ‎【解析】，因为函数的图像在点处的切线方程是，所以，‎ ‎，故选A．‎ ‎11. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图所示,设分别为和的中点，‎ 则夹角为和夹角或其补角 ‎(因异面直线所成角为，‎ 可知，‎ ‎；‎ 作中点Q，则为直角三角形；‎ ‎∵，‎ 中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 在中,；‎ 在中，由余弦定理得 又异面直线所成角的范围是，‎ ‎∴与所成角的余弦值为 故选C.‎ 点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.‎ ‎12. 已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆心到直线的距离为 ，可得解得，因为直线，可化为 ，由 可得 ，所以过定点，故；设的中点为，则 ,即，化简可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 到圆心的距离为 ，所以的取值范围为，所以的取值范围为，故选D．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 函数的导函数是奇函数，则实数__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意是奇函数，所以 ，故答案为．‎ ‎14. 已知椭圆的半焦距为，且满足，则该椭圆的离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即，解得。‎ 又，‎ ‎∴。‎ ‎∴椭圆的离心率e的取值范围是。‎ 答案：‎ ‎15. 已知，，，点为延长线上一点，，连结，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取中点中点，由题意，,中，，，又，所以 ，‎ 故答案为.‎ ‎16. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （1）关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知，求函数的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）要使关于的不等式的解集非空，只需，解不等式可得结果；（2），利用基本不等式可求得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）设．则关于的不等式的解集不是空集 在R上能成立，即解得 或．（或由的解集非空得亦可得）‎ ‎（2）解：，‎ 当且仅当，解得x=1或而 即时，上式等号成立，故当时，．‎ ‎18. 等差数列中，，，其前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，其前项和为为，求证：.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）等差数列中，根据，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）先求出，，根据裂项相消法求解即可.‎ 试题解析：（1）因为，‎ ‎，即，得，，‎ 所以．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎ ． ‎ ‎..................‎ ‎19. 四棱锥中，，，， ，‎ 为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设为的中点，连接，首先证明，由此可得，再证明，可得，由线面垂直判定定理可得面，最后由面面垂直判定定理可得结果；（2）设为的中点,连接，先证得，通过证明面面求出与面改成角的大小，故而得出结论.‎ 试题解析：（1）设为的中点，连接为的中点，，‎ 则， ‎ 又，，从而，‎ ‎ 面 ，‎ 面 面，面面 .‎ ‎（2）设为的中点,连接,则平行且等于 ,‎ ‎∥，∥,不难得出面（ ）,‎ 面面,在面射影为，的大小为与面改成角的大小,设，则， ,即与改成角的余弦值为.‎ ‎20. 的内角的对边分别为，其中，且，延长线段到点，使得，.‎ ‎（1）求证：是直角；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意结合正弦定理求得即可；‎ ‎(2)设利用题意结合正弦定理可得的值为.‎ 试题解析：‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）因为 由正弦定理，得，‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即是直角.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 在中，因为，‎ 所以，所以.‎ 在中，，即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，整理得，‎ 所以，即.‎ ‎21. 椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的角平分线所在直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】设椭圆E的方程为 ‎22. 已知抛物线的焦点为抛物线上存在一点到焦点的距离等于3.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线相交于两点（两点在轴上方），点关于轴的对称点为，且，求的外接圆的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）抛物线的准线方程为，所以点 到焦点的距离为．,解得,从而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为． ‎ 将代入并整理得，设，，，根据韦达定理以及平面向量数量积公式可得，求得直线与的中垂线方程，联立可得圆心坐标，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得圆的半径，从而可得外接圆的方程.‎ 试题解析：（1）抛物线的准线方程为，‎ 所以点 到焦点的距离为． ‎ 解得．‎ 所以抛物线的方程为． ‎ ‎（2）设直线的方程为． ‎ 将代入并整理得， ‎ 由，解得． ‎ 设，，，‎ 则，，‎ 因为 因为，所以．‎ 即，又，解得． ‎ 所以直线的方程为．设的中点为,‎ 则，， ‎ 所以直线的中垂线方程为．‎ 因为的中垂线方程为，‎ 所以△的外接圆圆心坐标为． ‎ 因为圆心到直线的距离为，‎ 且，‎ 所以圆的半径． ‎ 所以△的外接圆的方程为． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎