2017-2018学年河北省邯郸市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年河北省邯郸市高二上学期期末数学理试题（解析版）

邯郸市2017～2018学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. “”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由得或，所以“”是“”的 充分而不必要条件. 故选A.‎ ‎2. 曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，‎ 当时，，故选B.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎3. 已知为等比数列，且，，则（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,‎ ‎,故选C.‎ ‎4. 双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的一个焦点到渐进线为的距离，故选B.‎ ‎5. 在正方体中分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设正方体的棱长为2，取CD中点G,连接 ，则 所以为异面直线与所成角，且，又在 中， ，，‎ 由余弦定理.‎ 异面直线与所成角的余弦值为. 故选D.‎ ‎6. 已知，且，，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，又，由不等式的可加性可得. 故选D.‎ ‎7. 在中，三内角所对边的长分别为，已知，，，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】在中,由正弦定理 ，得，‎ 所以或. 故选C.‎ ‎8. 下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“，则”的逆否命题是真命题 B. 命题“，均有”的否定为“，使得”‎ C. 命题“”的否定是“”‎ D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“，均有”的否定为“，使得”. 故选B.‎ ‎9. 在平面直角坐标系中，已知定点，，直线与直线的斜率之积为4，则动点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设动点P（x,y）,由题得 ，整理得. 故选D.‎ ‎10. 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，‎ ‎ ‎ 所以数列的前项和为.故选C.‎ ‎11. 已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】物线与双曲线共焦点，由双曲线的定义，得，可得 ，由，得 故解得 故选A.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12. 已知函数有两个零点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由=0得 ，‎ 令 则 恒成立，单调递增，又，‎ 在 处取最小值，‎ 解得 或故选C.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】约束条件对应的区域为三角形ABC区域，由 ，由得 ，当经过点C时，截距最小，取最大，为.‎ ‎14. 已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ，因为AB过抛物线的焦点，‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 所以抛物线的方程为 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎15. 已知，，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 ，，且,‎ ‎ 即,‎ 或, ，,‎ ‎ .故的最小值为2.‎ ‎16. 已知数列其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得数列如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 在锐角中，内角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值和的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件,然后求角C的值;‎ ‎ (Ⅱ)利用余弦定理和求c和的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，‎ 由正弦定理，得，则.‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，，∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）由，得.‎ 根据余弦定理，得 ，∴.‎ ‎∴ .‎ ‎18. 已知数列的前项和为，，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，，得,即，可得是首项为1，公差为的等差数列，，可得数列是首项为，公差为的等差数列，.可得数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得,利用错位相减法求和即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题设，得，，两式相减得 ‎. ∵，∴.‎ 由题设，，可得，由，知 数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为的等差数列，.‎ 令，则，∴.‎ 数列偶数项构成的数列是首项为，公差为的等差数列，.‎ 令，则，∴.∴.‎ ‎（Ⅱ）令.‎ ‎ . ①‎ ‎ . ②‎ ‎①-②，得 ，‎ 即 ，‎ ‎ .‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，且，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）通过证明平面内的直线BC平面,证明平面平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作的平行线为轴正方向，建立空间直角坐标系.用向量法求解即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵平面，∴.又，，‎ ‎∴.故平面.又平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作的平行线为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 不防设，又∵，，，‎ ‎∴.连接，又，∴,∴，∴平面.‎ ‎∴，‎ ‎，，.‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，可取.‎ ‎∵为平面的法向量，∴.‎ 又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.‎ 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎20. 某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高为，储粮仓的体积为.‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式；（圆周率用表示）‎ ‎（Ⅱ）求为何值时，储粮仓的体积最大.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题圆锥和圆柱的底面半径， 可得储粮仓的体积，.‎ ‎（Ⅱ）利用导数求（Ⅰ）中的函数最值即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵圆锥和圆柱的底面半径， ∴.‎ ‎∴，即，.‎ ‎（Ⅱ），令 ，‎ 解得，.又，∴（舍去）.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 故当时，储粮仓的体积最大.‎ 点晴：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出f(x)的解析式并指明定义域.‎ ‎21. 已知椭圆经过点，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题，可解得椭圆的方程是.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 联立消去，得.结合韦达定理可得的中点坐标（，.由直线与直线垂直，，整理得.再由，可得解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，解得.故椭圆的方程是.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 联立，消去，得.‎ 则有，.‎ ‎ .‎ 设的中点为，则，.‎ ‎∵直线与直线垂直，∴，整理得.∴.‎ 又∵‎ ‎ ，‎ ‎∴ ，解得或.‎ ‎∵与矛盾，∴.∵，∴.‎ 故直线的方程为或.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎22. 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在区间内为增函数，在区间内为减函数（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）结合，对.分和两种情况讨论求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，若，‎ 则，，又∵是单调递减的，‎ ‎∴当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎∴在区间内为增函数，在区间内为减函数.‎ ‎（Ⅱ），.‎ 当时，在上，，故函数在上单调递减，.‎ 当时，在上，，解得.‎ 又在上单调递减，‎ ‎∴在上，函数在上单调递增，与任意，‎ 恒有成立矛盾.‎ 综上，实数的取值范围为.‎