数学理卷·2018届云南省临沧一中高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届云南省临沧一中高三上学期期末考试（2018

‎2017—2018学年度临沧市第一中学上学期高三期末考(理数) ‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1. 若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=( )‎ ‎（A）1+2i （B）12i （C） （D）‎ ‎2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎3. 若样本数据，，，的标准差为16，则数据，，，的标准差为（ ）‎ ‎ （A） （B）4 （C） （D）‎ ‎4. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ ‎ （A），， （B），，‎ ‎ （C），， （D），，‎ ‎5. 记方程①：，方程②：，方程③：，其中，， 是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）‎ A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 ‎6. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知函数f(x)＝asin(x＋α)＋bcos(x＋β)，且f(8)＝m,设从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为t，s，共可得到lg t－lg s的不同值的个数是m,则f(2 018)的值为( )‎ A.－15 B.-16 C.-17 D.－18‎ ‎8.已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎10. 已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,其准线与双曲线-x2=1相交于M,N两点,若△MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p= ( )‎ ‎ A.2 B. C.3 D.6‎ ‎11. 若函数f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减，则m的取值范围是( )‎ A.[-,] B.[- ,] C.[-, ] D.[-,]‎ ‎12．已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 只有有限个正整数使得 B. 只有有限个正整数使得 C. 数列是递增数列 D. 数列是递减数列 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ．‎ ‎14.已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 .‎ ‎15.在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．‎ ‎16.设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）‎ ‎ ①；②；③；④；⑤.‎ 三、简答题（选做题10分，其他题12分，共70分）‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.‎ ‎(1)证:‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ ‎18.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．‎ ‎（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，‎ ‎，，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎20.如图,椭圆C1:(a＞b＞0)的离心率为,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于b.C2与y轴的交点为M，过点P(0,1)作直线l与C2相交于点A，B,直线MA，MB分别与C1相交于D、E.‎ ‎(1)求证: ·为定值;‎ ‎(2)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ＞0),求λ的取值范围.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；‎ ‎ （Ⅱ）记，求函数在上的最大值D；‎ ‎ （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.‎ 选做题：请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(1)求，的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积.‎ ‎23．已知函数， .‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在，也存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎2017—2018学年度临沧市第一中学上学期高三期末考(理数) 参考答案 ‎ 一、选择题 BAACB BDABA BD ‎5. 【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根 ‎10.【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线y2=2px的准线为x=- ,代入双曲线方程-x2=1解得 y=±,由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形,∴∠FMN=,‎ ‎ ∴tan∠FMN= =1,∴p2=3+,即p=2,故选A.‎ ‎11. 【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用.由f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减知,f′(x)= - + sin2x+m(cosx+sinx)≤0在(-∞,+∞)上恒成立,令t=sinx+cosx,‎ t∈[-,].则sin2x=t2-1,即t2+mt-1≤0对t∈[-,]恒成立,构造函数g(t)= t2+mt-1,则g(t)的图象开口向上，从而函数g(t)在区间[-,]上的最大值只能为端点值,故只需 ‎∴-≤m≤,故选B.‎ ‎12．【解析】根据题意可设数列，所以 ‎=，因为所以所以是以为首项， 为公比的等比数列，故，所以AB不正确，又公比为，其绝对值小于1，所以递减，所以排除C， =，易知数列为递增数列，故递减， 递减，故选D 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. ‎ ‎【解析】由题意得：母线与轴的夹角为 ‎14. ‎ ‎15.‎ ‎【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为 ‎16.【答案】①③④⑤‎ 三、简答题（选做题10分，其他题12分，共70分）‎ ‎17. 解:(1)证明:由 及正弦定理得: ‎ ‎, ‎ 即 ‎ 整理得:,所以,又 ‎ 所以 ‎ ‎(2) 由(1)及可得,又 ‎ 所以, ‎ 所以三角形ABC的面积 ‎ ‎18.（1）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为 ‎；输出y的值为3的概率为 （2）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：‎ ‎ ‎ ‎ 输出y的值为1的频率 ‎ 输出y的值为2的频率 ‎ 输出y的值为3的频率 ‎ ‎ ‎ 输出y的值为1的频率 ‎ 输出y的值为2的频率 ‎ 输出y的值为3的频率 ‎ 甲 ‎ ‎ ‎1051‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎696‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎353‎ ‎2100‎ ‎ 乙 ‎ ‎ ‎1027‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎376‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎697‎ ‎2100‎ ‎ 乙 ‎ ‎ ‎1027‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎376‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎697‎ ‎2100‎ ‎ 甲 ‎ ‎ ‎1051‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎696‎ ‎2100‎ ‎ ‎ ‎353‎ ‎2100‎ 比较频率趋势与概率，可得甲同学所编程序符合算法要求的可能性大．‎ ‎（3）‎ ‎19. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，‎ 解：（1）因为平面平面，，‎ 所以平面，所以，‎ 又因为，所以平面；‎ ‎20. 解:(1)由题设得b=2,(b＞0),∴b=2,又e= =,∴c2=a2=a2-4,解得a2=9.因此椭圆C1和方程为+ =1.由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).‎ 设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.‎ 由消去y得x2+kx-1=0,∴,①‎ ‎∴ =(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)‎ ‎=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,‎ ‎∴将①代入上式得·=-1-k2+k2+1=0(定值).‎ ‎(2)由(1)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由解得或,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),‎ ‎ ∴S1=|MA|·|MB|= ·|k1||k2|.‎ ‎ 由解得或,∴D(,),‎ 同理可得E(,),‎ ‎ ∴S2=|MD|·|ME|= ··,‎ ‎ ∴λ2= = (4+9k12)(4+9k22)= (16+81k12k22+36k12+36k22)‎ ‎= (97+ 36k12+ )≥,又λ＞0,∴λ≥ 故λ的取值范围是[,+∞)‎ ‎21. 【答案】（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）； （Ⅲ）1.‎ 解析：（Ⅰ），.‎ ‎，.‎ ‎22.解：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ ‎23．【答案】(1) ;(2) .‎ 解：（Ⅰ）由题意可得 因为，由图象可得不等式的解为，‎ 所以不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ）因为存在，也存在，使得成立，‎ 所以，‎ 又，当且仅当时等号成立.‎ 由（Ⅰ）知， ，所以，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围为． ‎