2019届二轮复习椭圆提分秘籍学案（全国通用）

2019届二轮复习椭圆提分秘籍学案（全国通用）

题型一　椭圆的定义及标准方程 ‎1　利用定义求轨迹 例1如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎【答案】A 巩固1已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ ‎2　利用待定系数法求椭圆方程 例2　(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为 ．‎ ‎(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为 ．‎ ‎【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，‎ 又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.‎ 若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．‎ ‎∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3.‎ 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.学 ‎ ‎【答案】　(1)＋y2＝1或＋＝1 (2)＋＝1 ‎ 巩固2过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．‎ ‎3　利用定义解决“焦点三角形”问题 例3　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝ .‎ ‎【解析】　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，‎ 则 ‎∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，‎ 又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.‎ ‎【答案】3‎ 引申探究 ‎1．在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．‎ ‎【解析】　由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，‎ 所以a－c＝1，解得a＝5，‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ ‎2．在例3中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3”，结果如何？‎ 点评　(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．学/ ‎ ‎(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．‎ ‎(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．‎ 巩固3设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．15‎ 题型二　椭圆的几何性质 例4：(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．2 ‎(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，‎ 又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A 点评　(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ‎①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．‎ ‎②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．‎ ‎(2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．‎ 巩固4（1）（2018全国新课标Ⅱ文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，‎ 且，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）（2018全国新课标Ⅱ理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，‎ 点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）‎ A. B． C． D．‎ 题型三　直线与椭圆 ‎1　直线与椭圆的位置关系 例5　若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)‎ A．m>1 B．m>0‎ C．01)上两点A，B满足=2，则当m= ‎ 时，点B横坐标的绝对值最大．‎ ‎【解析】‎ 方法一：设，，‎ 当直线斜率不存在时，，.学 ‎ 当直线斜率存在时，设为.联立 得，，‎ ‎，.‎ ‎∵，∴，解得，.‎ ‎∴（当且仅当时取“”）.‎ ‎，，得，‎ ‎∴当时，点横坐标最大.‎ ‎【答案】 学 ]‎ 巩固6已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；‎ 例7已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以运用点差法，学 ‎ 所以直线AB的斜率为k＝，‎ 设直线方程为y＝(x－3)，‎ 联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，‎ 所以x1＋x2＝＝2，‎ 又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.‎ ‎【答案】　D 学 ]‎ 点评 ‎ (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ‎＝ (k为直线斜率)．‎ ‎(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．‎ 巩固7已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．‎ 例8已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)求实数λ的值．‎ ‎ ‎ ‎(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．‎ 若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；‎ 当AB所在直线l的斜率k存在时，‎ 设l的方程为y＝k(x－1)．‎ 由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①‎ ‎①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.‎ ‎∵ ‎∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝.‎ 将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，解得x＝.‎ 又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，‎ 即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，‎ ‎∴λ＝.‎ 巩固8（2018全国新课标Ⅲ文）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的 中点为．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．‎ 答案与解析 ‎【答案】D　‎ 巩固2【解析】方法一　椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.‎ 由椭圆的定义知，2a＝ ‎＋，‎ 解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 方法二　∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，‎ ‎∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.‎ 设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ ‎∵c2＝16，且c2＝a2－b2，‎ 故a2－b2＝16.①‎ 又点(，－)在所求椭圆上，‎ ‎∴＋＝1，即＋＝1.②‎ 由①②得b2＝4，a2＝20，‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.学 . ‎ ‎【答案】　＋＝1‎ ‎【答案】　D 巩固4（1）【解析】在中，，，‎ 设，则，，‎ 又由椭圆定义可知 则离心率，故选D．‎ ‎【答案】D ‎（2）【解析】因为为等腰三角形，，所以，‎ 由斜率为得，，，，‎ 由正弦定理得，，‎ ‎，，故选D．‎ ‎【答案】D 巩固6【解析】由已知得b＝4，且＝，即＝，∴＝，‎ 解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.‎ 将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，学 ‎ 消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，‎ ‎∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.‎ 巩固7【解析】由已知得b＝4，且＝，‎ 即＝，∴＝，‎ 解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1. ‎ 椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，‎ 巩固8【解析】（1）设直线方程为，设,,‎ 联立消得，‎ 则，得…①， ]‎ 且，，‎ ‎∵，∴ 且.且…②.‎ 由①②得，∴或.学 / 学 ]‎ ‎∵，∴ .‎