【数学】2020届一轮复习人教B版 导数的运算及其几何意义学案
考查角度4 导数的运算及其几何意义
分类透析一 导数的计算
例1 (1)f(x)=x(2018+ln x),若f'(x0)=2019,则x0等于( ).
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
(2)已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)= .
解析 (1)f'(x)=2018+ln x+x×=2019+ln x,
故由f'(x0)=2019,得2019+ln x0=2019,
则ln x0=0,解得x0=1.
(2)∵f'(x)=2x+2f'(1),∴f'(1)=2+2f'(1),
解得f'(1)=-2.
∴f'(x)=2x-4,∴f'(0)=-4.
答案 (1)B (2)-4
方法技巧 导数计算的原则和方法:
求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.
分类透析二 求切线方程
例2 曲线f(x)=在x=0处的切线方程为 .
解析 因为f'(x)==,
所以曲线f(x)在x=0处的切线的斜率为k=f'(0)=-2,
又f(0)=-1,则所求的切线方程为y+1=-2x,即2x+y+1=0.
答案 2x+y+1=0
方法技巧 (1)求曲线切线方程的步骤:
①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;
②由点斜式方程求得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).
(2)求曲线的切线方程需注意两点:
①当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,切线方程为x=x0;
②当切点坐标不知道时,应先设出切点坐标,再求解.
分类透析三 求参数的值
例3 (1)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b= .
(2)设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a= .
解析 (1)由题意知,y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a,
则解得k=2,a=-1,b=3,
∴2a+b=1.
(2)∵y'=,∴y'=-1.
由条件知=-1,∴a=-1.
答案 (1)1 (2)-1
方法技巧 处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出以下方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
1.(2018年全国Ⅰ卷,文6改编)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
解析 ∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,
又f(1)=a+2,
∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),
又点(2,7)在切线上,可得a=1.
答案 1
2.(2018年全国Ⅱ卷,文13改编)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 .
解析 ∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,
∴设切点为(x0,y0).
又∵f'(x)=1+ln x,
∴直线l的方程为y+1=(1+ln x0)x.
∴由解得x0=1,y0=0.
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
答案 x-y-1=0
3.(2016年全国Ⅲ卷,文16改编)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是 .
解析 当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-ln x+3x,
所以f'(x)=-+3,则切线斜率为f'(1)=2,
所以切线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.
答案 y=2x+1
4.(2016年全国Ⅱ卷,文12改编)若直线y=x+2是曲线y=ln x+a的切线,则a为 .
解析 因为y=ln x+a,所以y'=,
设切点坐标为(x0,y0),则有=1,解得x0=1,
所以y0=3,把(1,3)代入y=ln x+a,则a=3.
答案 3
1.(2018江西景德镇模拟)若函数f(x)=f'(1)x3-2x2+3,则f'(1)的值为( ).
A.0 B.-1
C.1 D.2
解析 ∵f'(x)=3f'(1)x2-4x,
∴f'(1)=3f'(1)-4,∴f'(1)=2.
答案 D
2.(2018年四川名校一模)已知函数f(x)的图象如图,f'(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( ).
A.0
0)上一动点P(x0,f(x0))处的切线斜率的最小值为( ).
A. B.3 C.2 D.6
解析 f'(x)=3x2+,k=f'(x)=3x2+≥2,当且仅当3x2=,即x4=,x=时,等号成立,故kmin=2.
答案 C
8.(2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习)已知函数f(x)=ex在点(0,f(0))处的切线为l,动点(a,b)在直线l上,则2a+2-b的最小值是( ).
A.4 B.2 C.2 D.
解析 由题意得f'(x)=ex,f(0)=e0=1,
∴k=f'(0)=e0=1,
∴切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0,
∴a-b+1=0,∴a-b=-1,
∴2a+2-b≥2=2=2=(当且仅当a=-,b=时取等号),故选D.
答案 D
9.(山西省2018届高三诊断性模拟考试)若曲线y=的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为( ).
A. B. C.或 D.或
解析 由题意可设切点坐标为(x0,),
由y==,得y'=,
则切线斜率k=,
故切线方程为y-=(x-x0),
又切线过点(8,3),所以3-=(8-x0),
整理得x0-6+8=0,
解得=4或2,
所以切线斜率k=或k=.
答案 C
10.(2018河北调研)如图所示的是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是( ).
A.
B.
C.(1,2)
D.(2,3)
解析 由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得00,∴函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是.故选B.
答案 B
11.(西南名校联盟2018届适应性月考卷)设过曲线f(x)=ex+x+2a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在过曲线g(x)=(1-2x)-2sin x上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为( ).
A.[-1,1] B.[-2,2] C.[-1,2] D.[-2,1]
解析 设y=f(x)的切点为(x1,y1),y=g(x)的切点为(x2,y2),
由题意知f'(x)=ex+1,g'(x)=-a-2cos x.
由题意知对任意x1∈R,存在x2使得(+1)(-a-2cos x2)=-1,
∴a+2cos x2=对任意x1∈R均有解x2,
故a-2≤≤a+2对任意x1∈R恒成立,
又∈(0,1),∴a-2≤0且2+a≥1,∴-1≤a≤2.
答案 C
12.(2018年北京市石景山区高三统一测试)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同根,则k的取值范围是 .
解析 作出函数f(x)的图象,如图所示:
方程f(x)=k有两个不同根,
即y=k和f(x)=的图象有两个交点,
由图可得k的取值范围是(0,1).
答案 (0,1)
13.(2018 年陕西省高三教学质量检测试题)已知函数f(x)=2ln x和直线l:2x-y+6=0,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为 .
解析 设直线y=2x+m与函数f(x)的图象相切于点P(x0,y0)(x0>0).
∵f'(x)=,
∴f'(x0)==2,解得x0=1,∴P(1,0).
∴点P到直线2x-y+6=0的距离d==,
即点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值为.
答案
14.(2018海南检测)已知f(x)为奇函数,当x≤0时,f(x)=-x2-3x,则曲线y=f(x)在点(1,-2)处的切线方程为 .
解析 由题意知,当x>0时,则-x<0,
因为函数f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2-3(-x)]=x2-3x,
所以当x>0时,f'(x)=2x-3,
所以f'(1)=2×1-3=-1,
即切线的斜率为k=-1,
所以在点(1,-2)处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),
即x+y+1=0.
答案 x+y+1=0
15.(广东省惠州市2018届高三模拟考试)曲线C:f(x)=sin x+ex+2在x=0处的切线方程为 .
解析 ∵f'(x)=cos x+ex,∴f'(0)=2.
∴曲线C在x=0处的切线的斜率为k=f'(0)=2.
∵f(0)=3,
∴曲线C在x=0处的切线方程为y=2x+3.
答案 y=2x+3
16.(2017—2018学年河北省衡水中学上学期高三年级九模考试)若两曲线y=x2-1与y=aln x-1(a≠0)存在公切线,则正实数a的取值范围是 .
解析 设两个切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),两个切线方程分别为y-(-1)=2x1(x-x1),y-(aln x2-1)=(x-x2),
化简得y=2x1x-1-,y=x+aln x2-a-1,
由两条切线为同一条,可得
则a=-4(ln x2-1),
令g(x)=4x2-4x2ln x(x>0),
则g'(x)=4x(1-2ln x),
由g'(x)>0解得0.
所以g(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,则g(x)max=g()=2e,当x→0时,g(x)→0.
所以a的取值范围是(0,2e].
答案 (0,2e]