2018-2019学年河南省信阳市高二上学期期末考试数学试题（理） 解析版

2018-2019学年河南省信阳市高二上学期期末考试数学试题（理） 解析版

绝密★启用前 河南省信阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题（理)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是无理数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据特称命题“”的否定为“”.‎ ‎【详解】‎ 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，答案为B ‎【点睛】‎ 本小题考查了特称命题的否定，注意与否命题区别，属于基础题.‎ ‎2．已知空间向量，，，且，则实数的值为( )‎ A．5 B．-5 C．5或-5 D．-10或10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，建立方程组，即可求得z的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以存在，使得，‎ 又因为，而，‎ 则，解得或，所以答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，属于中档题，具体如下：设（），则 存在唯一的，使得，即；.‎ ‎3．设，，，且，则下列不等式成立的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 给选取适当的值即可判断A、B、D项不正确，而利用对应函数的单调性即可证明C选项正确.‎ ‎【详解】‎ A选项：令，则，但，不正确；‎ B选项：令，则，但，不正确；‎ C选项：因为在R上为增函数，，所以，正确；‎ D选项：令，则，但，不正确；‎ 答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查大小比较问题，常用的方法有：（1）利用不等式的性质；（2）特殊值法；（3）作差法；（4）作商法；（5）中间值法；（6）单调性法.‎ ‎4．下列抛物线中，原点到其焦点距离最小的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将每一项转化为标准的抛物线方程，然后分别求出值，再对应求出原点到其焦点的距离，最后各项进行比较，即可得出距离最小的选项.‎ ‎【详解】‎ A选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；‎ B选项：因为，即，则，得，则原点到焦点的距离为；‎ C选项：因为，得，则原点到焦点的距离为； D选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；‎ 因为，所以答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查抛物线的标准方程以及P值的几何意义，属于基础题.‎ ‎5．设公差不为零的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则的值为( )‎ A．-3 B．3 C．8 D．-24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式，前项和公式以及等比中项的性质建立关于和的方程组，即可求出和，然后利用前项和公式求出.‎ ‎【详解】‎ 设的公差为，因为，成等比数列，‎ 所以，而，解得，‎ 所以，答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 等差（等比）数列基本量求解问题主要的方法：（1）方程组法：根据题目的条件，结合通项公式、求和公式，将问题转化为关于首项和公差（公比）的方程组，然后求解.‎ ‎（2）性质法：灵活运用通项公式、求和公式以及相关性质公式，如等差数列的性质、若，则等，求解数列基本量问题.‎ ‎6．已知点的坐标满足条件点，则的最小值为( )‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点坐标得到点满足的参数方程，从而得到点所在的直线方程，因此将求最小值问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B（1，0）到直线距离最小，从而求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，则点满足的参数方程为（为参数），消去参数得到普通方程为：，则问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离，如图：‎ 由图可知当点与B点重合时到直线的距离最小，而B点为（1，0），B到的距离为，‎ 所以， 答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化。这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.‎ ‎7．设，则“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出两个条件“”与“”的范围和，然后判断集合和的关系，即可判断充分条件和必要条件.‎ ‎【详解】‎ 因为，解得，设，‎ 因为，解得或，‎ 令{|或}，‎ 因为，所以“”是“”的充分不必要条件，答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查充分条件和必要条件的判断以及不等式的求解，属于中档题.而充分条件和必要条件的判断常用的方法有：（1）定义法：分别判断命题“若，则”，“若，则”的真假，即可得到充分条件和必要条件的判断.‎ ‎（2）集合关系法：分别解出两个条件与的范围和，然后根据集合集合和的关系，即可得到充分条件和必要条件的判断.‎ ‎8．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由渐近线与直线平行可知其斜率相等，可以得到，再由条件“双曲线的一个焦点在直线上”可以求得一个焦点坐标，从而得到c的值，再结合的关系式，即可求出，从而得到双曲线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的渐近线为，‎ 其中一条渐近线与直线平行，则有，所以，‎ 又因为双曲线的焦点在轴上，而其中一个焦点在直线上，则直线与轴焦点为双曲线焦点，即，‎ 又因为，得，则，‎ 所以双曲线方程为，答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查双曲线方程的求解，同时涉及到渐近线、焦点的应用，以及直线平行的性质运用，属于中档题.圆锥曲线方程的求解，一般都是利用题目的条件，从代数角度或者几何角度建立参数的关系式，从而联立方程组求得曲线方程，一定要注意焦点的位置，避免写错曲线方程.‎ ‎9．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）‎ A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设中的方位角画出，在中利用正弦定理可求出的长，在中利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求的大小（即灯塔的方位角）.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 在中，，由正弦定理有，.‎ 在中，余弦定理有，‎ 因，，，‎ 由正弦定理有，，故或者.‎ 因，故为锐角，所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.‎ ‎10．直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC中点E，通过证明四边形MNEB为平行四边形，从而得到BM//NE，将求BM与AN所成的角转化为求或其补角.接着通过设，然后利用AN，AE，BM所在的直角三角形求出其长度，而NE=BM，进而得到AN，AE和NE的长度，再由其满足勾股定理，得到，即BM与AN所成的角为.‎ ‎【详解】‎ 如图 取BC中点E，连接AE和EN，MN，‎ 因为M，N分别为，中点，所以，且，‎ 因为，且，所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，得，‎ 则BM与AN所成的角为或其补角，‎ 因为该为直三棱柱，则侧棱与地面均垂直，又，，设，‎ 则，，‎ ‎，所以.‎ 在中，；‎ 在中，；‎ 在中，，所以；‎ 因为，所以，所以BM与AN所成的角为，答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查异面直线所成角的求解问题，主要有两种方法：（1）定义法：利用异面直线所成角的定义，在空间上恰当选取一点，过该点分别作异面直线的平行直线，从而将异面直线所成角转化为平面角，再结合解三角形的相关定理进行求解.（2）向量法：i.建立空间直角坐标系；ii.求出相关点的坐标；iii.分别求出两条异面直线的方向向量；iv.若异面直线所成角为，则利用公式.‎ ‎11．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则取得最大值时，内角的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将正弦定理平方处理，即可将恒等式转化为，再代入余弦定理，从而将转化为，再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的A值.‎ ‎【详解】‎ 由，根据正弦定理，，‎ 可得，再由，得，‎ 所以，‎ 所以当时，取得最大值，答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理以及余弦定理的综合运用，运用了函数的思想，通过构造与问题相关的函数，从而讨论最值的情况，属于难题.‎ ‎12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心、重心，当轴时，椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，‎ 设点，，则，‎ 因为为的重心，所以，‎ 因为轴，所以点横坐标也为，，‎ 因为为的角平分线，‎ 则有，‎ 又因为，所以可得，‎ 又由角平分线的性质可得，，而 所以得，‎ 所以，，‎ 所以，即，‎ 因为 即，解得，所以答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：‎ ‎（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.‎ ‎（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知空间四边形中，，，，点在上，，点在上，，则等于__________．（用，，表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量加法和减法的三角形法则，以及向量线性运算的运算律即可用表示 ‎【详解】‎ 因为 ‎ ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 主要考查向量的线性运算法则以及运算律，属于基础题.‎ ‎14．若，点、、三点共线，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三点共线得，利用其坐标表示，建立的关系式，从而得到 ‎，然后代入式子，即可运用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，又因为三点共线，所以，‎ 所以，而，即，所以化简得，，‎ 因为，‎ 当且仅当即时，等号成立，故答案为11.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了向量共线的坐标表示以及基本不等式的应用，要注意基本不等式的适用条件以及等号成立的条件，属于中档题.‎ ‎15．右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。‎ ‎【答案】：2米 ‎【解析】‎ 试题分析：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，‎ 得m=-2，∴，代入B得，故水面宽为m．‎ 考点：抛物线的应用 ‎16．已知数列满足，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合数列的递推关系首先求得数列的通项公式，然后分组求和求解数列的前n项和即可.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 由题意可得：，‎ 即：，整理可得：，‎ 令，则，由题意可得：，‎ 且，，‎ 故，即，，‎ ‎，，据此可知：‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设：方程表示椭圆，：对任意实数恒成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出命题为真命题时的取值范围，再根据为真命题，为假命题可知一真一假，从而分两种情况求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若方程表示椭圆，则 且 ‎∴真则且 若对任意实数恒成立 当时，恒成立 当时，则 ‎ ‎∴真则 ‎∵是真命题，是假命题∴、一真一假 若真假，则 若假真，则 或 故实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查已知复合命题真假求参数范围问题，同时也考查了椭圆标准方程以及一元二次不等式恒成立问题.‎ ‎ 1.已知复合命题真假求参数范围问题求解步骤：‎ ‎（1）分别求出每个简单命题为真命题时的参数范围；‎ ‎（2）根据复合命题真假得到其等价条件，然后分类讨论，求出参数范围. ‎ ‎2.一元二次不等式恒成立问题：（1）对任意实数恒成立的条件是 ；（2）对任意实数恒成立的条件是.同时要注意二次项系数含参的情况下，不要遗漏参数为零的情况.‎ ‎18．在中，设，，是内角，，的对边，若 .‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若为中点，，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先可以通过二倍角公式对其进行化简，再通过解三角形的正弦公式化简得，最后与解三角形的余弦公式进行联立得出结果；‎ ‎（2）可通过余弦定理以及计算出的值，再通过计算出面积。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得 由正弦定理得 ‎ 即，由余弦定理得 ‎ 所以 ；‎ ‎（2）由题意，， ‎ 即 所以，故 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形，需要对题目所给条件和解三角形的正弦、余弦、面积公式进行综合运用。‎ ‎19．已知数列的前项和为，，且，，是等差数列的前三项.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）记，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用与的关系将式子转化得，再根据条件求出，从而证明为等比数列，求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.‎ ‎（2）利用错位相减法即可求和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵当时，‎ 两式相减得，即.‎ 又，，成等差数列 ‎∴ ‎ 数列是首项为2公比为2的等比数列 ‎∴数列的通项公式为.‎ 则，‎ ‎∴数列是首项为1，，公差为2的等差数列，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 两式相减得 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∴数列的前项和 ‎【点睛】‎ 主要考查数列通项的求解以及前项和的求解，属于中档题.‎ ‎1.利用与的关系求数列通项的基本步骤：（1）当时，求出；（2）当时，利用即可转化为递推公式求解通项.（3）检验时是否符合.‎ ‎2.错位相减法的基本步骤：（是等差数列，是等比数列，公比为）：（1）写：；（2）错位：；（3）相减：；（4）化简 ‎20．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，点在底面的投影是线段的中点，为侧棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先通过证明面，从而证得，再利用勾股定理证得，而，所以证得，再利用线面垂直判定定理证得面.‎ ‎（2）利用向量法，以为原点，所在直线为轴，从而分别求出平面 与平面的法向量，利用公式求出二面角的余弦值，再通过同角三角函数的平方关系求出正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，因为平面，所以 又为正三角形，，所以 而，所以平面，‎ 所以 在中，，‎ 所以，则为等腰直角三角形 因为为侧棱的中点，所以，又，所以 而，所以平面 ‎（2）如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系 则，，，‎ 由得 由（1）得为平面的一个法向量 设为平面的一个法向量 由得 取得 所以 ‎ 故平面与平面夹角的正弦值为 ‎【点睛】‎ 主要考查线面垂直的证明，以及二面角的求解，属于中档题. 线面垂直的证明常利用线面垂直判定定理或者面面垂直性质定理.而二面角的求解一般都是运用：（1）定义法：找出二面角的平面角并证明，然后运用题目条件以及解三角形相关结论进行求解；（2）向量法：主要分四步进行，先建系，然后求相关点的坐标，从而求出两平面法向量，再运用公式求二面角.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，，为，轴上两个动点，点在直线上，且满足，.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，为曲线与正半轴的交点，、为曲线上与不重合的两点，且直线与直线的斜率之积为，试探究面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过引入参数，分别表示点的横纵坐标，得到其参数方程，再消去参数得到其轨迹方程.‎ ‎（2）按照直线斜率是否存在分两种情况进行讨论，对于斜率存在的情况，通过设出方程，代入曲线消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，结合题目条件求出m的值，从而求出关于的表达式，再利用基本不等式即可求出最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，，则，‎ 故点的轨迹方程为 ‎（2）①当直线的斜率不存在时，‎ 设 则，‎ ‎∴，不合题意.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设 ‎，‎ 联立方程得 则 ，‎ 又 ‎ 即 ‎ 将，代入上式得 ‎∴直线过定点，所以直线MN： ，即，‎ 则三角形GMN的底MN上的高为，‎ ‎∴‎ 令即 ‎∴ ‎ 当且仅当时取等号 故 ‎【点睛】‎ 主要考查轨迹方程的求解以及与椭圆有关的三角形面积最值问题，属于难题.常见的轨迹方程求解方法：（1）直接法，根据动点所满足的几何条件，直接翻译成的形式，然后等价变换成；（2）定义法，根据题目条件，证明其符合五种常见曲线中某种曲线的定义，然后利用对应的定义求出其轨迹方程；（3）相关点法，动点随着某已知曲线上的点运动而运动，将已知曲线上的点的坐标用动点的坐标表示，并代入已知曲线方程化简得轨迹方程；（4）参数法，通过引入新的参数分别表示动点的横、纵坐标，得到其参数方程，再转化为普通方程即得其轨迹方程.‎ ‎22．在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.‎ ‎（1）求曲线与的交点的直角坐标；‎ ‎（2）设点、分别为曲线，上的动点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别将的方程化为直角坐标方程，然后联立方程组进行求解，即可求得两曲线交点的直角坐标.‎ ‎（2）的最小值即为圆上的点到直线的最小距离，即圆心到直线的距离减去半径即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得曲线的普通方程为 ‎ 由，得曲线的直角坐标系方程为.‎ 由，得，解得或（舍去）.‎ 所以点的直角坐标为.‎ ‎（2）由得曲线的直角坐标方程为即 则曲线的圆心到直线的距离为 故.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及距离的最小值问题，属于中档题.对于互化问题，利用对应的互化公式即可，而距离最值问题常用的方法为：（1）几何法，结合其几何性质将距离最值问题转化，然后求解.（2）参数法，通过设出动点的参数坐标，建立关于距离的函数，从而讨论距离的最值.‎ ‎23．已知函数，.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法确定分类标准，然后去绝对值号进行不等式求解.‎ ‎（2）根据的范围将转化为或，再分离参数求出的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，即 等价于：，或，或 解得或或 所以原不等式的解集为：.‎ ‎（2）所以可化为 即或 ‎①式恒成立等价于或 ‎∵，∴或，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查绝对值不等式的求解以及恒成立问题，属于中档题.绝对值不等式常用零点分段法进行求解，而恒成立问题常用分离参数法或者构造函数法进行求解.‎