江苏省G4联考：苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学2020-2021学年上学期高三四校联考试卷数学试题

江苏省G4联考：苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学2020-2021学年上学期高三四校联考试卷数学试题

G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2021届高三联考 数学试题 2021.01 一、单项选择题:本大题共 8 题，每 题 5 ，共计 40 ､ 每 题给出的四个选项中，只有一项是符 题目要 的. 1.已知 A={x|x< 1}，B={x|log2x≤ 0}， A∩B为  ( ) A. (0，1) B. (0，1] C. ( -∞，1) D. ( -∞，1)] 【答 】A 2.复数 z1= 2+ i，z2= 1- 3i，其中 i为虚数单 ， z= z1 ⋅ z2 复 内的对 点 于  ( ) A. 第一 B.第二 C.第三 D.第四 【答 】D 3. 语文、数学、英语、物理 1 书，把这 4 书 放入 3个不 的抽 里，要 每个抽 至 放 一 书且语文 数学不 一个抽 里， 放法数为  ( ) A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答 】C 4. 数学的 性学习中， 用函数的图 函数的性质，也 用函数的解 函数的性质， 下 函数的解 (其中 e= 2.71828...为自 对数的 数 )与所给图 契 的  ( ) A. y= 2sinx x2+ 1  B. y= 2x x2+ 1  C. y= ex- e-x ex+ e-x  D. y= ex+ e-x ex- e-x  【答 】B 5.已知 ω> 0，φ ∈R，函数 f(x) = sin(ωx+ φ)图 相 的两个对称中 之间的距离为 d1，函数 g(x) = 2tan(ωx+ φ)图 相 的两个对称中 之间的距离为 d2， ( ) A. d1= 1 2 d2 B. d1= d2 C. d1= 2d2 D.d1= 4d2 【答 】C 6.已知双曲线C : y 2 a2 - x2 b2 = 1(a> 0，b> 0)的上、下顶点 为A1，A2，点P 双曲线C上 ( 于顶点 )，直线PA1，PA2的斜 乘积为 3 4 ， 双曲线C的渐近线方 为  ( ) A. y=± 1 2 x B. y=± 3   2 x C. y=± 2 3   3 x D. y=± 2x ·1· 【答 】B 7.已知△ABC为等边三角 ，AB= 2，△ABC所 内的点P满足 |AP  -AB  -AC  | = 1，|AP  |的 值为  ( ) A. 3   - 1 B. 2 2   - 1 C. 2 3   - 1 D. 7   - 1 【答 】C 8.若 ex-a≥ lnx+ a对一 正实数 x恒成 ， 实数 a的取值 围  ( ) A. ( -∞， 1 e ] B. ( -∞，1] C. ( -∞，2] D. ( -∞，e] 【答 】B 二、多项选择题:本大题共 4 题，每 题 5 ，共计 20 ， 每 题给出的四个选项中，有多项符 题目 要 全部选对的得 5 ，部 选对的得 2 ，不选或有错选的得 0 . 9. 2020 1 18日，国家统计 公 了 2020 人 费支出的情况， 绘 了 图，已知 2020 2019 “其他用 及 ”中人 费支出大约 为 462元 524元， 结 2019 人 费支出情况，下 结论中正 的  ( ) A. 2020 “食 烟酒”项目的人 费支出所占总额的百 比 2019 的高 B. 2019 人 费支出约为 21833元 C. 2019 2020 “生 用 及 ”项目上的人 费支出相等 D. 2020 人 费支出比 2019 人 费支出 所 【答 】ABD 10.已知实数 a，b满足 a2- ab+ b= 0(a> 1)，下 结论中正 的  ( ) A. b≥ 4 B. 2a+ b≥ 8 C. 1 a + 1 b > 1 D. ab≥ 27 4  【答 】AD 11.已知四边 ABCD 等 (如图 1)，AB= 3，DC= 1，∠BAD= 45°，DE⊥AB. △ADE DE 折起， AE ⊥ EB( 如图 2)，连结 AC，AB，设 M AB 的中点､下 结论中正 的  ( ) ·2· A. BC⊥AD B.点E AMC的距离为 6   3  C. EM// ACD D.四 ABCE的外 球表 积为 5m 【答 】BD 12.若 f(x) 区间 [a，b]上 f(x) ≥M恒成 ， 称M为 f(x) 区间 [a，b]上的下界，且下界M的 大值称为 f(x) 区间 [a，b]上的下 界，简记为M[a，b].已知 f(x) R上的奇函数，且 f(x+ 8) = f( - x)， x ∈ [0，4]时， f(x) =-x.若 k> 0，λ> 0，不等 M[0，k]≤ λM[k，2k]恒成 ，下 结论中正 的  ( ) A. 直线 x= 8 函数 y= f(x)图 的一 对称轴 B.若 k= 7， λ的 大值为 4 C. x ∈ [100，116]时，f(x) = 4- |x- 108| D.若 λ= 4 3 ， k ∈ [5，9] 不等 M[0，k]≤ λM[k，2k]恒成 的充 不 要 件 【答 】BCD 三、填空题:本大题共 4 题，每 题 5 ，共 20 . 13. (3x- 1 x    )6的 中， 数项为___.(用数字 答) 【答 】135 14.已知数 {an}的 n项 Sn= 3n2+ n 2 (n ∈N *)， 数 { 1 anan+1 }的 10项 为____. 【答 】 5 32  15. “学习 国”APP中，“争上游”的答题规 为: 胜 3 ，第二 胜 2 ，失败 1 ､ 如 甲每 胜 的 为 1 4 ，且答题相互独 ， 么甲 答两 的 为____. 【答 】 11 4  16.已知抛物线 C : y2= 2px(p> 0)的 点为F，点P 抛物线 C上一点，以F为 ，半 为 p的 与 PF交于点Q，过点P F的 线， 点为A，若 |PA| = 3   p，且△OPQ的 积为 3   2 ， p=__. 【答 】2 四、解答题: 大题共6 题，共70 ､解答时 写出文字说 ､证 过 或 算步骤､ ·3· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ 17. ( 题满 10 ) ① 3   cosB= 2- 2sin B2 cos B2 ，② 3   bsinC= ccosB，③ (b+ a) (b- a) = c2- 3   ac三个 件中任 一 个，补充 下 的问题中， 进行解答､ 问题 :已知△ABC的三边 a，b，c所对的角 为A，B，C，若 a= 4，c= 3   b，_____， △ABC 的 积 . 注 :如 择多个 件 解答， 第一个解答计 ､ 【规 解答】解： ①：由 3   cosB = 2- 2sinB2 cosB2  sinB + 3   cosB= 2，2 即 sin（B + π 3 ）= 1，因为 B ∈（0，π），所以 B = π 6 . 4 ②：由正 定理 3   sin BsinC = sinCcosB，因为 sinC≠ 0 ， 所以 3   sin B = cos B . 因为 cos B ≠ 0，所以 Btan = 3   3 .因为B ∈（0，π），所以B= π 6 . 4 ③：由题意 c2+ a2- b2= 3   ac， cosB = a2+ c2- b2 2ac = 3   ac 2ac = 3   2 . 2 因为 B ∈（0，π），所以B == π 6 . 4 又因为 Csin Bsin = c b = 3   ，所以 sinC= 3   sin B= 3   × 1 2 = 3   2 . 由C ∈（0，π），所以C = π 3 或C = 2π 3 . 6 C= π 3 时，A= π 2 ，又因为 a= 4，所以 b= 2，c= 2 3   . 积 S= 1 2 × 2× 2 3   = 2 3   . C= 2π 3 时，A= π 6 ，所以A=B.又因为 a= 4，所以 b= 4. 积 S= 1 2 × 4× 4× 3   2 = 4 3   . 综上所述，△ABC的 积为 2 3   或 4 3   . 10 18. ( 题满 12 ) 如图所示， 四棱锥 S-ABCD中， ABCD 正方 ，对角线AC与BD交于点F， SBC 边长为 2的等边三角 ，点E 棱BS上 . (1)若 SD// AEC， SE EB 的值; ·4· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ (2)若 SBC⊥ ABCD， 二 角B-AS-C的 值 . 【规 解答】(1)连结EF，∵ SD⎳ AEC，SD⊂ BSD， BSD∩ AEC=EF， ∴ SD⎳EF . 3 ∵ ABCD 正方 ，F为AC中点， ∴EF SD的中 线， SE EB = 1. 4 (2)取BC的中点为O，AD的中点为M，连结MO， MO ⏊ BC ， 因为 SBC丄 ABCD， SBC∩ ABCD = BC ，OA⊂ ABCD， 所以OM丄 SBC. 5 又OS丄BC ，所以O为 原点 . 以｛OS  ，OC  ，OM  ｝为正交基 建 冋直角 系O- xyz， 6 A(0，-1，2)，8(0，-1，0)，C(0，1，0)，S( 3   ，0，0)，E 3   2 ,- 1 2 ,0 ， 从 SC  = (- 3   ，1，0)，AC  = (0，2，-2)，AB  = (0，0，-2)，AS  = ( 3   ,1, - 2)， 设 ASC的法 量为m = (x，y，z)， - 3   x+ y= 0, y- z= 0.  取 x= 1， y = 3   ，z = 3   , 所以 ASC的一个法 量为m= (1， 3   ， 3   ). 8 设 ASB的法 量为 n = (x，y，z)， -2z= 0, 3   x+ y- 2z= 0.  取 y= 3   , x=-1，z = 0， 所以 ASB的一个法 量为 n = (-1， 3   ，0) . 10 ∴ cos m,n = mn m n  = 7   7 . ∵二 角B-AS-C的 角为锐角， ∴二 角B-AS-C的 值为 7   7 . 12 19. ( 题满 12 ) 已知数 {an}中，an> 1，a1= log23，且数 中任意相 两项具 2倍关系､记 an所 可能取值的 为An，其元 为 Sn(n ∈N *). (1)证 A2为单元 ， 用 举法写出A5，A6； (2)由(1)的结 ，设 k ∈N*， 纳出A2k+1，A2k+2 (只要 写出结 )， S2k+1， 出 S2k+2与 S2k+1的倍数 关系. 【规 解答】 （1）证 ：∵ a1 = 2log 3 ∈（1，2），1 数 中任意相 两项具 2倍关系，∴ a2= 1 2 a1或 2a1. ∴A2=｛2a1｝为单元 . 3 由此， A3 =｛a1 ，4a1｝，A4 =｛2a1，8a1｝， A5=｛a1，4a1，16a1｝，5 ·5· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ A6=｛2a1,8a1，32a1｝. 6 （2）由（1）的结 ， 纳 A2k+1=｛a1，4a1，16a1，⋯，4ka1｝，7 A2k+2 =｛2a1，8a1，32a1，⋯，2× 4ka1｝8 S2k+1= a1+ 4a1+ 16a1+⋯+4ka1= 4k+1- 1 3 a1= 4k+1- 1 3  2log 3，10 因为A2k+1中的每一个元 的两倍 成的 等于A2k+2， 所以 S2k+2= 2S2k+1. 12 20. ( 题满 12 ) 我国为全 建设社 主义 代化国家， 定了从 2021 2025 的 “十四五 ”规 ､某 业为 国家号召， 聚科 量， 科技 新，准备 发资金､ 该 业为了了解 发资金投入额 x(单 :亿元 )对 盈 额 y(单 :亿元 )的 ， 了 “十二五 ” “十三五 ”规 发 间近 10 发资金投入额 xi 盈 额 yi的数 ､ 过对比 ，建 了两个函数模 :① y= α+ βx2，② y= eλx+t，其中 α，β，λ，t 为 数，e为自 对数的 数 .令 ui> x2 i ，vi= lnyi(i= 1，2，⋯，10)， 经计算 如下数 : (1)请从相关系数的角 ， 哪一个模 拟 更好? (2) (i) (1)的 择及表中数 ，建 y关于 x的回 方 ; (系数精 0.01) ( ii )若 2021 盈 额 y为 250亿元，请预 2021 的 发资金投入额 x为多 亿元？ (结 精 0.01) :①相关系数 r= n i=1 (xi- x  ) (yi- y ) n i=1 (xi- x  )2 ∑ n i=1 (yi- y )2  ， 回 直线 y  = a  + b  x中 : b  = n i=1 (xi- x  ) (yi- y ) n i=1 (xi- x  )2 ，a  = y  - b  x  ②参考数 : ln2≈ 0.693，ln5≈ 1.609 【规 解答】 解 ∶（1）设 ui  yi 的相关系数为 r1，xi  vi 的相关系数为 r2，由题意，
 ·6· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ r1= 10 i=1 ui- u   yi- y   10 i=1 ui- u   2 10 i=1 yi- y   2  = 130 11250× 2     = 13 15 ≈ 0.87, 2 
r2= 10 i=1 xi- x   vi- v   10 i=1 xi- x   2 10 i=1 vi- v   2  = 12 65× 2.6    = 12 13 ≈ 0.92, 4 r1 < r2 ,因此从相关系数的角 ，模 y= eλx+t的拟 更好. （2）（i）先建 v关于 x的线性回 方 ， 由 y= eλx+t， lny= t+ λx，即 v= t+ λx，
 λ  = 10 i=1 xi- x   vi- v   10 i=1 xi- x   2 = 12 65 ，7 
 t  = v - λ  x = 5.36- 12 65 × 26= 0.56,
 8 
所以 v关于 x的线性回 方 为 v = 0.18x+ 0.56， 所以 lny= 0.18x+ 0.56， y = e0.18x+0.56.

 10 
 （ii）2021 盈 额 y= 250（亿元），
 所以 250= e0.18x+0.56， 0.18x+ 0.56= ln250， 因为 ln 250= 3 ln 5+ ln 2≈ 3× 1.609+ 0.693= 5.52， 所
以 x≈ 5.52- 0.56 0.18 ≈ 27.56 . 
所以 2021 的 发资金投入量约为 27.56亿元 . 12 21. ( 题满 12 ) 已知 C : x 2 a2 + y2 b2 = 1(a> b> 0)经过点P(2，1)，且离 为 3   2 ，直线 l与 交于A，B两点， 线段AB的中点为M. (1) C的方 ; (2)若∠APB的角 线与 x轴 直， PM长 的 值 . 【规 解答】解 ∶（1）因为 经过点P且离 为 3   2 ，
 所以 22 a2 + 1 b2 = 1, c a = 3   2 ,      其中 a² = b² + c²，
 2 解 a2= 8, b2= 2,  所以 方 为 x2 8 + y2 2 = 1. 4 
（2）因为∠APB的角 线与 x轴 直，所以 kPA+ kPB= 0. 设直线PA的斜 为 k（k≠ 0）， 直线PA的方 为 ∶ y= k（x- 2）+1， ·7· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ 由 y= k(x- 2) + 1,
 x2 8 + y2 2 = 1,  
 （1+ 4k2）x2+ 8k（1- 2k）x+ 16k2- 16k- 4= 0. 
 所以 x1= 8k2- 8k- 2 1+ 4k2 ，代入 y1= -4k2- 4k+ 1 1+ 4k2 . 即A 8k2- 8k- 2 1+ 4k2 , -4k 2- 4k+ 1 1+ 4k2  ， 理可 B 8k2+ 8k- 2 1+ 4k2 , -4k 2+ 4k+ 1 1+ 4k2  . 所以M 8k2- 2 1+ 4k2 , -4k 2+ 1 1+ 4k2  . 8 
 M 直线 x+ 2y= 0上，所以PM的 值为P 直线 x+ 2y= 0的距离 . 10 
 即 d= 2+ 2  5    = 4 5   5 ，此时M 6 5 ,- 3 5   内， 
所以PM的 值为 4 5   5 . 12 （此处亦可用函数法处理：PM² = f（k）= 64k2+ 16 1+ 4k2 2 (k≠ 0)） 因此PM的 值为 4 5   5 . 22. ( 题满 12 ) 已知函数 f(x) = sinx 2+ cosx ，g(x) = a(ex- 1) (a为 数 ) (1) 函数 f(x) x= π 2 处的 线方 ; (2)设F x = f x + -1  ng x (n ∈Z). (i)若 n为偶数， a< 0时，函数F(x) 区间 (0，π 2 )上 值点， 实数 a的取值 围; ( ii )若 n为奇数，不等 F(x)≤ 0 [0，+∞)上恒成 ， 实数 a的 值 . 【规 解答】解：（1）f（x）= cosx（2+ cosx）-sinx（-sinx） (2+ cosx)2 = 2cosx+ 1 (2+ cosx)2 . 2 
 f π 2  = 1 4 , x= π 2 时，f π 2  = 1 2 . ∴ f x  x= π 2 处的 线方 为 y- 1 2 = 1 4  x- π 2  , 即 y= 1 4 x+ 4- π 8 . 3 （2）
（i）n为偶数时，F（x）= f（x）+g（x）= xsin 2+ xcos + 
a(ex- 1), F（x）
= 2cosx+ 1 
 2+ cosx 2 + a·ex，令 h（x）=F（x）， 
 h（x）= 2 xsin cosx- 1 
 2+ cosx 3 + a·ex. ∵ x∈ 0, π2  
且 a< 0，∴ h（x）< 0 0, π2  恒成 . 4 ∴ h（x） 0, π2  
单 减，其中 h（0）= 1 3 + a 
，h π 2  = 1 4 + a ∙ e π 2  . ·8· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ∵F（x） 0, π2   值点， ∴
h（0）> 0且 h π 2  < 0，即 - 13 < a<- 1 4 e π 2  . - 1 3 < a<- 1 4 e π 2  时，∃ x0∈ 0, π2  , h（x0）= 0. 令F（x）> 0，即 h（x）> 0，F（x）（0，x0）单 ; 
 令F（x）< 0，即 h（x）< 0，F（x） x0, π 2  单 减 .
 ∴F（x） 0, π2   值点 .
 因此实数 a的取值 围 - 1 3 ,- 1 4 e π 2   6 
（ii）n为奇数时，F（x）= f（x）-g（x）≤ 0 0 ，+∞ 恒成 .
 x= 0时，F（0）= 0. x> 0时，因为F（x）= xsin 2 + xcos 
  
- a ex- 1 ≤ 0恒成 ， 而F（x）= 2 x+ 1cos 2 + xcos 
2  

- a·ex,
 令 t= 2+ cosx，t ∈ [1，3]．m（t）= 2(t- 2) + 1 t2 = 2 t - 3 t3  ∈ -1, 13    . ∴ ex> e0= 1,
 ① a≥ 1 3 时，a·ex> 1 3 ,∴F（x） 0 0, π2  恒成 .
 ∴ x∈ 0, π2  时，F（x）单 ，F（x）>F（0）= 0，与题意不符， 去． 9 

③ 0< a< 1 3  
时，F（0）= 
 13 - a> 0，F（π）=-1- a eπ< 0， F（0）·F（π）< 0，F（x）（0，π）上存 零点,
 设 x1为F（x）（0，π）上 零点， x ∈（0，x1）时F（x）> 0，
 因此F（x）（0，x）单 ，∴F（x）>F（0）= 0，不 题意 去 . 11 
 综上，a的 值为 1 3 . 12 ·9·