5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题19 坐标系与参数方程

5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题19 坐标系与参数方程

‎【2012高考真题精选】‎ ‎【2012·辽宁卷】在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎【2012·课标全国卷】已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ ‎【2012·江苏卷】在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎【2012·湖南卷】 在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________.‎ ‎【2012·广东卷】 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ ‎【答案】(2,1)　【解析】利用方程思想解决，C1化为一般方程为：x2＋y2＝5，C2化为直角坐标方程为：y＝x－1，联立方程组得：即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.又由C1中θ的取值范围可知，交点在第一象限，所以交点为(2,1)．‎ ‎【2012·陕西卷】直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．‎ ‎【答案】　【解析】本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y＝±，所以弦长为.‎ ‎【2011高考真题精选】‎ ‎（2011·陕西卷）(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．‎ ‎【答案】1　【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.‎ ‎（2011·湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．‎ ‎【答案】2　【解析】 曲线C1的参数方程为化为普通方程：＋＝1　①， ‎ 曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化为普通方程：x－y＋1＝0　②.‎ 联立①，②得7x2＋8x－8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C1与C2的交点个数为2.‎ ‎(2011·辽宁卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．‎ ‎(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．‎ 故四边形A1A2B2B1的面积为＝.‎ ‎(2011·课标全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)‎ M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求C2的参数方程；‎ ‎(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ ‎【2010高考真题精选】‎ ‎1．（2010年高考安徽卷理科7）设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为 A、1 B、‎2 ‎C、3 D、4‎ ‎【答案】B ‎【解析】化曲线的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，直线和圆相交，过圆心和平行的直线和圆的2个交点符合要求，又，在直线的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B。‎ ‎2．（2010年高考北京卷理科5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是 ‎（A）两个圆 （B）两条直线 ‎（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 ‎【答案】C ‎【解析】原方程等价于或，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。‎ ‎3. (2010年高考重庆市理科8) 直线与圆心为D的圆交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为 ‎（A） π （B） π （C） π （D） π ‎【答案】C ‎【解析】数形结合 ‎ ‎ 由圆的性质可知 故.‎ ‎4.(2010年高考天津卷理科13)已知圆C的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆C与直线相切。则圆C的方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令y=0得t=-1，所以直线（为参数）与轴的交点为（-1，0），因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，故圆C的方程为。‎ ‎5．（2010年高考广东卷理科15）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为．解得由得点（-1，1）的极坐标为．‎ ‎6．（2010年高考陕西卷理科15）(坐标系与参数方程选做题)已知圆的参数方程(为参数)，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,则直线与圆的交点的直角坐标为.‎ ‎7．(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎8．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。‎ ‎【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，‎ 又圆与直线相切，所以解得：，或。‎ ‎9. (2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C1（t为参数），C2（为参数），‎ ‎（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。‎ ‎ ‎ ‎【2009高考真题精选】‎ ‎1．（2009广东卷理）（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则 ．‎ ‎【解析】，得.‎ ‎【答案】-1‎ ‎2.（2009宁夏、海南）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。‎ ‎ 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。‎ ‎（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 ‎ （t为参数）距离的最小值。w.w.w.zxxk.c.o.m ‎ ‎【2008年高考真题精选】‎ ‎1．（2008广东）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．‎ ‎【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎2．（2008宁夏、海南）选修4－4；坐标系与参数方程 已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．‎ ‎3．（2008江苏）选修4—4　参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【解析】解： 因椭圆的参数方程为[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 故可设动点的坐标为，其中.‎ 因此 所以，当时，取最大值2‎ ‎ ‎ ‎【最新模拟】‎ ‎1．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为(　　)．‎ A．4 B. C．2 D．2 ‎2．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2ysin＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是(　　)．‎ A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 ‎3．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．‎ 解析：依题意知，ρ＝2，θ＝－.‎ 答案： ‎4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是(α为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________．‎ 解析：依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，‎ 即x2＋y2－2y＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0.[来源:学+科+网]‎ 化简得ρ＝2sin θ.‎ 答案：ρ＝2sin θ ‎5．在极坐标系中，点P到直线l：ρsin＝1的距离是________．‎ 解析：依题意知，点P(，－1)，直线l为：x－y＋2＝0，则点P到直线l的距离为＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎6．直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角 α＝________________.‎ ‎7．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标 为________．‎ ‎8．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．‎ 解析：由题意得S△AOB＝×3×4×sin＝×3×4×sin ＝3.‎ 答案：3‎ ‎9．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　B．－ C． D． 解析：由题意知，直线l的普通方程为4x＋3y－10＝0.设l的倾斜角为θ，则tanθ＝－.由＝1＋tan2θ知cos2θ＝.‎ ‎∵<θ<π，∴cosθ＝－，故选B.‎ 答案：B ‎10．已知动圆方程x2＋y2－xsin2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 ‎11．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为(　　)[来源:学科网ZXXK]‎ A．4 B. C．2 D．2 解析：ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点(4，)化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：‎ 切线长为＝2，故选C.‎ 答案：C ‎12．若直线l：y＝kx与曲线C：(θ为参数)有唯一的公共点，则实数k＝(　　)‎ A． B．－ C．± D． 解析：曲线C：(θ为参数)的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，所以曲线C是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆，因为圆C与直线l有唯一的公共点，即圆C与直线l相切，则圆心(2,0)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝±.‎ 答案：C ‎13．如果曲线C：(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－2，0) ‎ B．(0,2)‎ C．(－2，0)∪(0,2) ‎ D．(1,2)‎ ‎14．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为，半径R＝，求圆C的极坐标方程．‎ ‎15．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos＝2与曲线C2：(t∈R)交于A，B两点，求证：OA⊥OB.‎ ‎【证明】曲线C1的直角坐标方程为x－y－4＝0，‎ 曲线C2的普通方程为y2＝4x，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立得y2－4y－16＝0.‎ ‎∴y1＋y2＝4，y1y2＝－16.‎ ‎∴O·O＝x1x2＋y1y2＝(y1＋4)(y2＋4)＋y1y2‎ ‎＝2y1y2＋4(y1＋y2)＋16＝0，‎ ‎∴OA⊥OB.‎ ‎16．在极坐标系中，直线l1的极坐标方程为ρ(2cosθ＋sinθ)＝2，直线l2的参数方程为(t为参数)，若直线l1与直线l2垂直，则k＝________.‎ ‎17．已知定点A(1,0)，F是曲线(θ∈R)的焦点，则|AF|＝________.‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M、N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为________．‎ ‎19．已知曲线C：，直线l：ρ(cosθ－2sinθ)＝12.‎ ‎(1)将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎【解析】解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－2sinθ)＝12，即ρcosθ－2ρsinθ－12＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－2y－12＝0.‎ ‎(2)设P(3cosθ，2sinθ)，∴点P到直线l的距离d＝＝|5cos(θ＋φ)－12|(其中cosφ＝，sinφ＝)．‎ 当cos(θ＋φ)＝1时，d取得最小值，dmin＝，‎ ‎∴点P到直线l的距离的最小值为.‎ ‎20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎ ‎