2018-2019学年吉林省高中学校高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年吉林省高中学校高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省高中学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题，，则为 A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题进行判断 ．‎ ‎【详解】‎ 命题是全称命题， 则命题的否定是特称命题，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有全称量词的命题的否定， 比较基础 ．‎ ‎2．双曲线的右焦点坐标为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简双曲线方程为标准方程， 然后求解焦点坐标即可 ．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的标准方程为： ，可得 ，则，‎ 所以双曲线的焦点坐标．‎ 故答案为：．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用， 是基本知识的考查 ．‎ ‎3．某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果 ‎【详解】‎ 设样本中的老年教师人数为人，由分层抽样的特点得：，所以，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础 ‎4．命题“若，则”的逆否命题是 A．“若，则” B．“若，则”‎ C．“若，则” D．“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 否定原命题的题设做结论，否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．‎ ‎【详解】‎ 的否定为：，‎ 的否定为：，‎ 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，是基础题．‎ ‎5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶6次，两人成绩的条形图如图所示，则甲的成绩的众数与乙的成绩的中位数分别是 A．2，2 B．2，5.5 C．7，5 D．7，5.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形直接判断甲的众数及乙的中位数，从而可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 从甲的条形图可看出：甲命中7环的次数最多，且为2次，所以甲的成绩的众数为7，从乙的条形图可看出乙的成绩的中位数为 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了众数与中位数的概念，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎6．“，，，依次成等差数列”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，，成等差数列 ,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以 ‎“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒‎ ‎”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一点，，为坐标原点，若，则 A．10 B．9 C．1 D．1或9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，利用，可得是三角形的中位线,由，结合双曲线的定义可得，从而可求得的大小.‎ ‎【详解】‎ 连接，因为，‎ 所以是三角形的中位线，‎ ‎，‎ 由可得，‎ ‎，‎ 或，‎ 又因为，‎ 所以，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义与简单性质、平面向量的线性运算，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎8．如图所示是计算的值的程序框图，则图中空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的知识点是程序框图， 由已知得本程序的作用是计算，由于第一次执行循环时的循环变量初值为 2 ，步长为 1 ，最后一次执行循环进循环变量值为 2018 ，我们根据利用循环结构进行累加的方法， 不难给出结论 ．‎ ‎【详解】‎ 当矩形框中填时 ‎+‎ ‎，无论循环多少次都没有数字1在最前面。‎ 故A,C错误。‎ 当判断框中填 则最后运算结果为：+，故D错误，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 算法是新课程中的新增加的内容， 也必然是新高考中的一个热点， 应高度重视 ．根据流程图运算，直接判断结论即可。‎ ‎9．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则 A．1 B． C． D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线在点处切线的斜率，求出函数的导函数，根据两直线平行的条件，令， ，求出；‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，又直线得斜率为，由两直线平行得：，所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了运算能力，属于中档题．‎ ‎10．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮都命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5表示命中；6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎162 966 151 525 271 932 592 408 569 683‎ ‎471 257 333 027 554 488 730 163 537 989‎ 据此估计，该运动员三次投篮都命中的概率为 A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，‎ 在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：151.525.333.554共4组随机数，‎ 所求概率为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．‎ ‎11．已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，，则 A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线AB的方程,与抛物线的方程联立， 利用根与系数的关系可得：， ，由抛物线的定义可知： ， ，即可得到．‎ ‎【详解】‎ ‎： 抛物线的焦点，准线方程为，设， ，设直线AB的方程为，‎ 代入可得：‎ 所以，，‎ 由抛物线的定义可知，，，‎ 所以 ‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义、 标准方程， 以及简单性质的应用， 考查直线与抛物线相交问题、 焦点弦长问题， 属于中档题 ．‎ ‎12．已知函数，，方程在内有两个不同的实根，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把关于的方程在上有两个不同的解，转化为函数与的图象在有两个不同交点，利用导数求出函数在上的单调性及值域，数形结合得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为方程在内有两个不同的实根，所以在上有两个不同的实数解，即：在上有两个不同的实数解，令，所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ ‎，，，‎ 要使在上有不同的实数解，则，解得：‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查转化思想，利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．从区间内任选一个数，则方程表示的是双曲线的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由方程表示双曲线得到关于的不等式，求出的范围，利用几何概型公式解答．‎ ‎【详解】‎ ‎：因为方程表示双曲线，则，所以所求概率为；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的方程以及几何概型的概率公式，属于基础题．‎ ‎14．函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以在上递减，在递增，‎ 所以函数在处取得最小值，即 。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．‎ ‎15．过椭圆的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，则，与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的方程知，长半轴为，利用椭圆的定义知的周长为，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的方程可化为：，‎ 所以，，又过焦点的直线与椭圆交于两点，与椭圆的另一个焦点构,则的周长为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于中档题．‎ ‎16．空气质量指数（Air Quality ‎ Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________．（该年为366天）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用茎叶图性质和等可能事件概率计算公式能求出该样本中空气质量优或良的频率，从而能估计该年空气质量优或良的天数．‎ ‎【详解】‎ ‎：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优或良为10天 故该样本中空气质量优或良的频率为，‎ 从而估计该年气质量优或良的天数为天 ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，用频率去估计概率，从而解决问题，属基础题，‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点在轴上，且经过点和；‎ ‎（2）离心率为，短轴长为8.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点位置，设椭圆方程，代入点和即可求解（2）由题意建立 方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为椭圆的焦点在轴上，‎ 所以设方程为.‎ 由于椭圆经过点和，代入方程，‎ 解得，‎ 故所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）由，得，‎ 若椭圆焦点在轴上，则方程为；‎ 若椭圆焦点在轴上，则方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的极值点.‎ ‎【答案】（1）；（2）极大值点为，极小值点为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，将代入即可。‎ ‎（2）先在定义域内求出的值，再讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，所以.‎ ‎（2）的零点为或，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，在，上单调递增，‎ 所以的极大值点为，极小值点为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数计算，利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．‎ ‎19．一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.‎ ‎（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；‎ ‎（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为和，求的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 从袋中随机取两个球， 利用列举法求出所有的基本事件个数， 再用列举法求出取出的编号之和为6 包含的基本事件有个数， 由此能求出取出的球的编号之和为6概率 ．‎ ‎（2） 基本事件总数，再用列举法求出包含的基本事件的个数， 由此能求出的概率 ．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，‎ 取出球的编号之和为6的有，，共2种取法，‎ 故所求概率.‎ ‎（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，‎ 两次取的球的编号之和大于5的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共26种取法，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型概率的求法， 是基础题， 解题时要认真审题， 注意列举法的合理运用 ．‎ ‎20．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.根据统计资料发现，某地区城乡居民的人民币储蓄存款年底余额（单位：千亿元）与年份代码的关系可用线性回归模型拟合.下表给出了年份代号与对应年份的关系.‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 时间代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 已知，.‎ ‎（1）求关于的回归方程；‎ ‎（2）用所求回归方程预测该地区2018年（）的人民币储蓄存款.‎ 附：回归方程中，.‎ ‎【答案】（1）；（2）千亿元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用回归系数公式求解即可．‎ ‎（2）利用回归方程代入直接进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意：因为，，‎ 所以.‎ ‎，所以线性回归方程为.‎ ‎（2）当时，.‎ 因此，可以预测2018年该地区人民币储蓄存款为3.66千亿元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是线性回归方程的求示及应用，运算量大，但难度中档．‎ ‎21．已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为.‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线交于，两点，且线段的中点的坐标为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，可判断出圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。‎ ‎（2）设出直线斜率，两个交点P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程；联立抛物线方程，利用弦长公式即可求得。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题设知，点到点的距离等于它到直线的距离，‎ 所以点的轨迹是以为焦点为准线的抛物线， ‎ 所以所求的轨迹方程为 ‎ ‎（2）由题意已知，直线的斜率显然存在，设直线的斜率为，‎ 则有，两式作差可得 ‎，即得， ‎ 因为线段的中点的坐标为，所以，‎ 则直线的方程为，即，‎ 与联立得，‎ 得， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义，涉及中点问题的点差法的应用及弦长公式，属于中档题。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，，.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的运算法则可得，分别解出，，即可得出单调区间．‎ ‎（2）利用导数研究 的单调性，从而可判断函数的最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由题意知，，.‎ 当时，对恒成立，‎ 所以当时，；当时，.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）证明：由题意知，即证当时，对任意，恒成立，‎ 令，，‎ 所以，.‎ 因为，，则，所以函数在上单调递减，‎ 所以，‎ 当时，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎