【数学】2018届一轮复习人教A版函数方程思想的应用情形归纳学案

【数学】2018届一轮复习人教A版函数方程思想的应用情形归纳学案

函数方程思想在高中数学中的应用情形归纳 ‎ 第01讲：函数方程思想情形之1-4‎ ‎【知识要点】‎ ‎ 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学 的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.‎ ‎ 二、函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言讲问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组） 使问题获解.‎ 三、函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的，有时，还实现函数与方程的互相转化，接轨，达到解决问题的目的.‎ 四、本讲讲了函数方程思想情形之1-4, 情形1：初等函数中的函数方程思想；情形2：导数中的函 数方程思想；情形3：立体几何中的函数方程思想；情形4：解析几何中的函数方程思想 .‎ ‎【方法讲评】‎ 函数方程情形一 初等函数中的函数方程思想 函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，函数的求值、解析式和零点问题等都体现了函数与方程的密切联系，体现了函数方程的思想.‎ ‎【例1】已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）因为 ①，‎ ‎∴，∴ ②‎ 由①②得，，.‎ ‎（2）由 ‎.x-*kw 得：，‎ 时，，综上：或. ‎ ‎【点评】（1）本题第1问，求的解析式，只有建立的方程组.怎么建立方程组？利用函数的奇偶性，它充分地体现了函数方程的思想.（2）第2问考查函数的零点，实际上就是讨论方程（*）只有一个大于0的根，利用方程的思想解决函数的零点问题.所以充分体现了函数方程的思想.（3）函数和方程是一家人，联系无处不在.要注意它们在解题中的应用.‎ ‎【反馈检测1】已知函数在上有最大值和最小值，设（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ 函数方程情形二 导数中的函数方程思想 导数中的求值、解析式、图像和零点等都体现了函数和方程的密切关系，都是函数方程思想的具体体现.‎ ‎【例2】（2016年北京高考文 ）设函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，‎ ‎，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ ‎（3）当时，，，‎ 所以不可能有三个不同零点．‎ 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．‎ 故是有三个不同零点的必要条件．‎ 当，时，，只有两个不同零点.‎ 所以不是有三个不同零点的充分条件．‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎【点评】（1）本题的第1小问，就利用到了方程的思想. 第2、3小问利用到了函数方程的思想. 函数的零点就是函数的图像与轴交点的横坐标，也是方程的解，可见函数的零点问题体现了函数方程的密切关系，充分体现了函数方程的思想. （2）本题的第2问是用数形结合解答的，只要满足极大值大于零且极小值小于零，则函数图像与轴会有三个不同的交点，函数有三个不同零点.(3)本题的第3问， ‎ ‎，是一个二次函数，但是由于该二次函数与轴的交点的个数不确定，所以要就判别式分类讨论，分类讨论时结合数形结合比较直观地看到函数的单调性，从而得到零点的个数.‎ ‎【反馈检测2】已知函数，其中为实数，常数.‎ ‎(1) 若是函数的一个极值点，求的值；‎ ‎(2) 当时，求函数的单调区间；‎ ‎(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.‎ 函数方程情形三 立体几何中的函数方程思想 立体几何中涉及角、线段、面积、体积的计算，经常要利用方程的思想或函数 解决问题.‎ ‎【例3】如图，是圆的直径，点在圆上,矩形所在的平面垂直于圆所在的平面，，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题第2问如果直接求点到平面的距离，不是很方便，如果利用等体积法建立关于的方程，则可以优化解题，提高解题效率.这实际上就是利用了函数方程的思想. ‎ ‎【例4】等腰的底边，高，点是线段上异于点， 的动点，点在边上，且．现沿将折起到的位置，使．　‎ ‎（Ⅰ）证明： 平面；‎ ‎（Ⅱ）记， 表示四棱锥的体积，求的最大值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：∵，∴，故，而，‎ 所以平面．　‎ ‎（Ⅱ）解：∵， ，∴平面，即为四棱锥的高. ‎ 由高线及得，∴，由题意知，∴，‎ ‎∴．‎ 所以当时， ．‎ ‎【点评】本题求 (表示四棱锥的体积)的最大值，利用了函数的思想，其中的求值也用到了方程的思想. 先建立函数，再利用导数 求函数的最大值.可见，函数方程的思想是无处不在的,它渗透在高中数学的每一章中,特别是解答最值、取值范围、值域等问题时，我们要比较敏感地想到函数的方法.‎ ‎【反馈检测3】如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．‎ ‎（1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？‎ ‎（2）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置．‎ 函数方程情形四 解析几何中的函数方程思想 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程的思想，求变量的取值范围和最值等经常要用到函数的思想分析解答.‎ ‎【例5】已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.‎ F1‎ O x M F2‎ y B ‎9‎ A ‎ ‎ ‎（2）设,则由知,‎ ‎,且, ①‎ 又直线与圆相切,所以有,‎ 由,可得 ②‎ 又联立消去得 且恒成立,且,‎ 所以,所以得 ‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）本题第1问求椭圆的方程，利用了方程的思想，建立关于的方程，从而求出椭圆的方程.(2)第2问求实数 的取值范围，利用了函数的思想，先建立函数模型,再利用基本不等式求函数的范围.‎ ‎【反馈检测4】已知抛物线的焦点到准线的距离为.过点作直线交抛物线与两点(在第一象限内).‎ ‎(1)若与焦点重合,且.求直线的方程;‎ ‎(2)设关于轴的对称点为.直线交轴于. 且.求点到直线的距离的取值范围.‎ 函数方程思想在高中数学中的应用情形归纳 ‎ 第01讲：函数方程思想思想情形之1-4参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）;（2）;（3）.‎ ‎【反馈检测1详细解析】（1），当时，在上是增函数，∴即解得;当时，，无最大值和最小值；当时，在上是减函数，∴即解得∵，∴舍去，综上，的值分别为x.+kw ‎（3）原方程可化为，令，则，由题意知有两个不同的实数解，且其中，记，则 得.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）；（2）的单调增区间是，；‎ 的单调减区间是，，；（3）的取值范围是.‎ ‎【反馈检测2详细解析】(1) ‎ 因为是函数的一个极值点，所以，即.‎ 而当时，，‎ 可验证：是函数的一个极值点.因此. ‎ ‎(2) 当时，‎ 令得，解得，而.‎ 所以当变化时，、的变化是 极小值 极大值 因此的单调增区间是，；的单调减区间是，，； ‎ 关于的方程一定总有三个实数根，结论成立；‎ 当时，的单调增区间是，无论取何值，方程最多有一个实数根，结论不成立.因此所求的取值范围是. ‎ ‎【反馈检测3答案】（1）（2）点在的延长线上，且 ‎【反馈检测3详细解析】（1）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，‎ ‎（2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为，‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，．‎ 由，得，解得 令，得，于是 ‎∵平面与平面所成的锐二面角为，∴.‎ 解得，故点在的延长线上，且．‎ ‎【反馈检测4答案】（1）或；（2）.‎ ‎【反馈检测4详细解析】 (1) 与重合,则 设 又由焦半径公式有,可求 ∴.‎ 所求直线为:或 ‎(2)可求.故为等腰直角三角形,设