新疆乌鲁木齐市第七十中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

新疆乌鲁木齐市第七十中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

乌鲁木齐市第七十中学高二年级第一次月考试卷理科数学 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.若，则下列结论不正确的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．‎ ‎【详解】由题，不妨令，可得a2＜b2，故A正确； ，故B正确；，故C正确．‎ ‎ 故D不正确． 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题 ‎2.极坐标方程化为直角坐标方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由极坐标方程ρ＝﹣4cosθ，化为ρ2＝﹣4ρcosθ，把ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ代入即可得出．‎ ‎【详解】由极坐标方程ρ＝﹣4cosθ，化为ρ2＝﹣4ρcosθ，‎ 把ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ代入可得直角坐标方程：x2+y2＝﹣4x，配方为（x+2）2+y2＝4．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．‎ ‎3.若不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a等于（ ）‎ A. 8 B. ‎2 ‎C. ﹣4 D. ﹣8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用不等式的解集和对应方程的根的关系来求解.‎ ‎【详解】因为解集为，‎ 所以和是方程的根，‎ 所以解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，明确不等式的解集和对应方程的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎4.设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：又，所以，所以点的极坐标为，故选A.‎ 考点：点的直角坐标与极坐标的互化.‎ ‎5.将点变成点的伸缩变换是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点变成点，横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，即可得出结论．‎ ‎【详解】将点变成点，‎ 横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查伸缩变换的有关知识，以及图象之间的联系，属于基础题.‎ ‎6. 对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为　(　　)‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|‎ ‎≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,‎ 即|x-2y+1|的最大值为5.‎ ‎7.直线 (为参数)的倾斜角等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线的参数方程求出直线的普通方程，求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角．‎ ‎【详解】直线为参数）普通方程为：，‎ 直线的斜率为，又，‎ 直线倾斜角．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，直线的倾斜角的求法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.函数的最大值为（ ）‎ A. B. ‎5 ‎C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用柯西不等式进行求最值.‎ ‎【详解】‎ 当且仅当，即时，函数有最大值.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意构造柯西不等式的模型.‎ ‎9.用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出时左端表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.‎ ‎【详解】由题意知，当时，‎ 有，‎ 当时，‎ 等式的左边为，‎ 所以左边要增乘的代数式为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.‎ ‎10.若不等式x2+|2x-6|≥a对于一切实数x均成立,则实数a的最大值是　(　　)‎ A. 7 B. ‎9 ‎C. 5 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 选C.令f(x)=x2+|2x-6|,‎ 当x≥3时,f(x)=x2+2x-6=(x+1)2-7≥9;‎ 当x<3时,f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.‎ 综上可知,f(x)的最小值为5,故原不等式恒成立只需a≤5即可,从而a的最大值为5.‎ ‎11.过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为（）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.‎ ‎【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.已知函数．当时，函数有零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的零点问题转化为方程的根问题，再构造函数求得函数的值域，可得关于的不等式，解不等式即可得到答案.‎ ‎【详解】函数有零点，‎ 方程有根，‎ 令，则 ‎，，解得：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查已知函数存在零点求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将函数的零点转化为方程的根.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若 点为直线上一点，点为曲线 （为参数）上一点，则的最小值为________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线的极坐标方程和曲线的参数方程都转化成普通方程，再根据两条曲线相交，即可得到答案.‎ ‎【详解】直线的普通方程为：，‎ 曲线 （为参数）的普通方程为：，‎ 将直线方程代入曲线的方程得：，‎ ‎，直线与曲线相交，‎ 的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意判断直线与曲线的位置关系.‎ ‎14.已知,且,则的最小值为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由柯西不等式得，，即，所以，即的最小值为，即为所求.‎ 考点：一般形式的柯西不等式.‎ ‎15.已知实数满足，则的最大值最小值分别为________、_________．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由柯西不等式得，即，将条件代入，我们就可以求出的取值范围．‎ ‎【详解】由柯西不等式得 即 将条件代入可得，解得 当且仅当时等号成立，‎ 可知时，‎ 时，.‎ 故答案为：2；1.‎ ‎【点睛】柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．‎ ‎16.已知直线l：(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，再利用直线参数方程t的几何意义求解.‎ ‎【详解】将直线l： (t为参数)代入曲线C：ρ＝2sin θ的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(＋1)t＋1＝0，设直线l与曲线C的交点A，B的对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝1，即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝1.‎ 故答案为1.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程和t的几何意义，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)‎ 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.‎ 三、解答题(本大题共7小题，每小题10分，共70分)‎ ‎17. 已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|.‎ ‎(1)作出函数y=f(x)的图象;‎ ‎(2)解不等式|x-8|-|x-4|＞2.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）不等式的解集为(-∞,5)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)f(x)=‎ 图象如下:‎ ‎(2)不等式|x-8|-|x-4|＞2,即f(x)＞2.‎ 由-2x+12=2,得x=5.‎ 由函数f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).‎ ‎18.设为正数，求证：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对称性，不妨设，于是，再利用排序不等式，即可证明结论.‎ ‎【详解】由对称性，不妨设，‎ 于是，‎ 故由排序不等式：顺序和乱序和，‎ ‎，‎ 又，‎ 则再次由排序不等式：反序和乱序和，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查排序不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意构造两个不等式进行证明.‎ ‎19.（1）设为正数，且不全相等．求证：.‎ ‎（2）设，求函数的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原不等式即为，即为，运用三元均值不等式，即可得证．‎ ‎（2）利用柯西不等式可得不等式，进而求得函数的最值.‎ ‎【详解】（1）由于，，为正数且各不相等，‎ 则 ‎．‎ 即有．‎ ‎（2）由柯西不等式可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明、柯西不等式求函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．‎ ‎20.在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为．以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的参数方程，若直线与曲线有公共点，求的取值范围．‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（为参数），．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的参数方程公式直接得到参数方程，利用极坐标方程化简得到，带入化简得到，解得答案.‎ ‎（2）根据参数方程（为参数），得到，得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ 因为直线经过点，其倾斜角为，所以直线的参数方程为 ‎（为参数），代入，整理得，‎ 因为直线与曲线有公共点，所以，‎ 即或，‎ 因为，所以的取值范围是．‎ ‎（2）是曲线上一点，则（为参数），‎ 所以，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用参数方程求范围，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎21.设是正数，求证：下列三个不等式：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③中至少有一个不正确．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设①②③式都正确，因为是正数，可推出，‎ 从而得到假设错误，即可得答案；‎ ‎【详解】假设①②③式都正确，因为是正数，‎ ‎①式与②式相乘得④‎ 又 由④得 即矛盾，‎ ‎①②③至少有一个不正确．‎ ‎【点睛】本题考查反证法的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意推出和现实相矛盾的结论.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若对于任意的实数，都有成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若，方程有两个不同的实数解，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）对函数零点分区间，去掉绝对值，得到，画出图像得到只需，解出即可；（2）方程有两个不同的实数解，即函数与的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，使得两个图像有两个交点即可.‎ 解析：‎ ‎（1）由于，‎ 所以的最小值为.又因为对任意的实数，都有 成立，只需，即 ‎，解得，故的取值范围为.‎ ‎（2）方程有两个不同的实数解，即函数与的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，由图像可知，得取值范围是 ‎23.在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）为曲线的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值及此时点坐标．‎ ‎（3）设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，利用可得点的极坐标方程，再转化成直角坐标方程；‎ ‎（2）求出高的最大值，即可求得三角形面积的最大值，再联立直线与圆的方程，可求得点的坐标；‎ ‎（3）将直线的参数方程代入圆的方程，利用参数的几何意义，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）设，，为曲线的动点，，‎ ‎，，，‎ 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）得曲线的圆心，半径为，易得，‎ 直线的方程为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 底边，高，.‎ 此时，点在直线与圆的交点处，‎ 联立方程解得：，.‎ ‎（3）将直线的参数方程 (为参数)代入圆，‎ 整理得：，‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化、点到直线的距离、直线参数方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎ ‎