江西省宜春市上高县第二中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

江西省宜春市上高县第二中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

‎2020届高三第二次月考数学（理科）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性对集合化简得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．‎ ‎【详解】＝{x|0＜x＜2}，‎ ‎∴A∩B＝{1}，‎ 故选：C ‎【点睛】考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．‎ ‎2.下列说法不正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. 为假命题，则均为假命题 C. 若“”是“”的充分不必要条件 D. 若命题：“，使得”，则“，均有”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义、含逻辑连接词命题的真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】根据逆否命题的定义可知：“若，则”的逆否命题为：“若，则”，正确；‎ 为假命题，则只要，不全为真即可，错误；‎ 由可得：，充分条件成立；由可得：或，必要条件不成立；则“”是“”的充分不必要条件，正确；‎ 根据含量词命题的否定可知，，使得的否定为：，均有，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查命题真假性的判定，涉及到逆否命题的定义、含逻辑连接词的命题、充分条件与必要条件、含量词命题的否定的知识.‎ ‎3.已知一个奇函数的定义域为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义域关于原点对称,与有一个等于1，另一个等于,进而得到结果.‎ ‎【详解】因为一个奇函数的定义域为，根据奇函数的定义域关于原点对称，‎ 所以与有一个等于1，另一个等于 ，所以．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】奇偶函数的性质有：（1）确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，即函数既不是奇函数也不是偶函数；（3）当函数的定义域关于原点对称时，判断与的关系：①如果对于函数定义域内任意一个x，都有，则函数为偶函数；②如果对于函数定义域内任意一个x，都有，则函数为奇函数.‎ ‎4.函数的导数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将f（x）＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．‎ ‎【详解】将y＝sin2x写成，‎ y＝u2，u＝sinx的形式．‎ 对外函数求导为y′＝2u，‎ 对内函数求导为u′＝cosx，‎ 故可以得到y＝sin2x的导数为 y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是基础题 ‎5.当是函数的极值点，则的值为（ ）‎ A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -3或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f，解得或-2，再检验是否函数的极值点，可得结论.‎ ‎【详解】由，‎ 得，‎ ‎∵x＝1是函数f（x）的极值点，‎ ‎∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2，‎ 当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去；‎ 当3时，时，x＝1或x=9，‎ 满足x＝1为函数f（x）的极值点，‎ ‎∴． ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，注意在x=处导数值为0不一定满足x=是极值点，属于易错题．‎ ‎6.函数，则使得成立的取值范围是（ ）‎ A. B. C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，然后根据函数单调性的性质，可能判断出函数在时的单调性，再判断函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的性质，以及函数在时的单调性，可以把，转化为自变量之间的大小关系，进而求出的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知函数的定义域为，‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∵‎ ‎∴是偶函数，‎ ‎∴在上单调递增．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 两边平方后化简得且且，‎ 解得或，‎ 故使不等式成立的取值范围是．‎ 故本题选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的判断，考查了偶函数的性质，考查了解不等式问题，判断函数的奇偶性、转化法是解题的关键.‎ ‎7.已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．‎ ‎【详解】当x≤2时，log2f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，‎ 当x≤2时，2a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，‎ 若存在，使得f（x1）＝g（x2），‎ 则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，‎ 若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，‎ 则1+a＞1或4+a＜﹣1，‎ 得a＞0或a＜﹣5，‎ 则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，‎ 即实数a的取值范围是[﹣5，0]，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式中的对数的底数化成的幂的形式，再利用对数的运算性质建立关于的方程组，求解出的值再代入得解.‎ ‎【详解】由已知得：‎ 又由对数的运算性质得；‎ ‎；‎ ‎，‎ 所以 所以 ，‎ 所以 所以解得 ，‎ 所以 故选C.‎ ‎【点睛】对于求解对数方程，关键是将式子化成底数相同的对数式，利用对数的运算性质求解，此题属于基础题.‎ ‎9.已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的单调性可得：当时，函数的单调性可得：（a），（b），（c），即不满足（a）（b）（c），得解．‎ ‎【详解】因为函数，‎ 则函数在为增函数，‎ 又实数，满足（a）（b）（c），‎ 则（a），（b），（c）为负数的个数为奇数，‎ 对于选项，，选项可能成立，‎ 对于选项，‎ 当时，‎ 函数的单调性可得：（a），（b），（c），‎ 即不满足（a）（b）（c），‎ 故选项不可能成立，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，属于中档题．‎ ‎10.已知函数，若关于的方程 由5个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数y的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0得到f（x）＝m或f（x）．画出函数图象，数形结合得答案．‎ ‎【详解】设y，则y′，‎ 由y′＝0，解得x＝e，‎ 当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．‎ ‎∴当x＝e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）．‎ 方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]＝0．‎ 解得f（x）＝m或f（x）．‎ 如图画出函数图象：‎ 可得m的取值范围是（0，）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎11.设函数，若不等式仅有1个正整数解，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式，即，两边除以，则，转化函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，结合图象，即可求解。‎ ‎【详解】由函数的定义域为，‎ 不等式，即，两边除以，则，‎ 注意到直线恒过点，不等式仅有1个正整数解，‎ 即函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，‎ 由图象可知，这个点，可得，即，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中转化函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎12.已知，，，则，，大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.‎ ‎【详解】依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13.已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，，分和两种情况分类讨论，解不等式，求出实数的取值范围.‎ 详解】‎ P∪Q＝Q，‎ ‎（1），即，解得 ‎（2），即，解得 综上所述，实数的取值范围为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查集合包含关系中的参数问题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用，含参集合问题常采用数轴法，借助集合之间的包含关系得到参数的范围，一定要注意的情况.‎ ‎14.已知，且，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式可得，，结合已知即可求解．‎ ‎【详解】：∵，‎ 则 当且仅当即，时取等号，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．‎ ‎15.设函数则满足的x的取值范围是____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.‎ ‎【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.‎ ‎16.若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 又函数在和两处取得极值，‎ 所以是方程的两不等实根，且，‎ 即有两不等实根，且，‎ 令，‎ 则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足，‎ 又，‎ 由得，‎ 所以，当时，，即函数在上单调递增；‎ 当，时，，即函数在和上单调递减；‎ 当时，由得，此时，‎ 因此，由得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查导数应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.‎ 三、解答题（第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）若,解不等式；‎ ‎（2）若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，求解该不等式组即可 ‎（2）由题意知，这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质得到最大值，再令其大于等于，即可解出实数的取值范围 ‎【详解】（1）不等式化为, ‎ 则或,或,‎ 解得,所以不等式的解集为. ‎ ‎（2）不等式等价于， ‎ 即，由基本不等式知，‎ 若存在实数，使得不等式成立，则， ‎ 解得，所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的性质，解题的难点在于运用绝对值不等式的性质求出相应的最值，并利用最值进行参数的范围，属于基础题 ‎18.已知集合U＝R，集合A＝{x|（x－2）（x－3）<0}，函数y＝lg的定义域为集合B．‎ ‎（1）若a＝，求集合A∩（∁UB）；‎ ‎（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由一元二次不等式可解得集合．根据对数的真数大于0可得,将其转化为一元二次不等式可解得集合,从而可得．画数轴分析可得．（2）将是的必要条件转化为．分析可得关于的不等式组,从而可解得的范围．‎ ‎【详解】（1）集合，因为．‎ 所以函数， 由，‎ 可得集合．或，‎ 故．‎ ‎（2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即，‎ 由，而集合应满足>0，‎ 因为，故，‎ 依题意就有：，即或，‎ 所以实数的取值范围是．‎ 考点：1集合的运算;2充分必要条件．‎ ‎19.已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处切线的方程；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间；‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把代入函数解析式,求出原函数的导函数,得到曲线在点处的导数值,再求出,代入直线方程的点斜式求切线的方程; ‎ ‎(2)求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性;‎ ‎【详解】（1）当时，则函数，‎ 则，则，‎ 曲线在点处切线的方程为，‎ 整理得：.‎ 故得解.‎ ‎（2）由函数，则，‎ 令，，，又且，‎ ‎①若，，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在区间和内是增函数，在内是减函数.‎ ‎②若，，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在和内是增函数，在内是减函数.‎ 综上可得：‎ 时，在区间和内是增函数，在内是减函数；‎ 时，在和内是增函数，在内是减函数.‎ ‎【点睛】本题考查根据导函数的几何意义求切线方程和根据导函数的符号判断原函数的单调性，当函数有参数时，需讨论参数的范围使可以判断导函数在各区间段内的符号，从而得原函数的单调性，属于中档题.‎ ‎20.如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，，．‎ ‎（1）若，求证：平面；‎ ‎（2）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若AA1＝AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD；‎ ‎（2）建立坐标系，根据二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．‎ ‎【详解】解：（1）证明：连接交于，因为，又平面，‎ 所以，所以四边形为正方形，‎ 所以，在中，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，所以，所以，又，‎ 所以平面，‎ 所以，又因为 AC1⊥平面A1B1CD；‎ ‎（2）如图建立直角坐标系，则 ‎，‎ 设平面的法向量为，由 ‎ 即，‎ 解得 设平面的法向量为 ‎ 由得 解得 由得，所以 ‎ 此时 所以 ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．‎ ‎21.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：‎ 项目 生产成本 检验费/次 调试费 出厂价 金额（元）‎ ‎（1）求每台仪器能出厂的概率；‎ ‎（2）求生产一台仪器所获得利润为元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；‎ ‎（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生产两台仪器所获得的利润，求 的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概率可得结果；（Ⅱ）由表可知生产一台仪器所获得的利润为元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（Ⅲ）由题意可得可取，，，，，，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望.‎ 试题解析：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件，则，‎ 所以每台仪器能出厂的概率．‎ ‎（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率．‎ ‎（Ⅲ）可取，，，，，．‎ ‎，，，，，．‎ 的分布列为：‎ ‎3800‎ ‎3500‎ ‎3200‎ ‎500‎ ‎200‎ ‎．‎ ‎22.已知函数（）.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值； ‎ ‎（2）若时，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)1；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)当时，函数的解析式为，据此求得导函数，结合导函数确定函数的单调性，据此可得函数的最小值为；‎ ‎(2)结合题意构造函数，然后分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎(1) 当时，函数的解析式为，则：，‎ 结合导函数与原函数的关系可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 函数的最小值为：.‎ ‎（2）若时，，即（*）‎ 令，则 ‎①若，由（1）知，即，故 ‎∴函数在区间上单调递增，∴.‎ ‎∴（*）式成立.‎ ‎②若，令，则 ‎∴函数在区间上单调递增，由于，‎ ‎.‎ 故，使得，‎ 则当时，，即.‎ ‎∴函数在区间上单调递减，‎ ‎∴，即（*）式不恒成立.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.‎