【数学】2020届一轮复习人教A版充分条件与必要条件学案理

【数学】2020届一轮复习人教A版充分条件与必要条件学案理

第二节　充分条件与必要条件 ‎[考纲传真]　1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件，必要条件的意义、理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．‎ 充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎1．充分条件、必要条件的两个结论 ‎(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；‎ ‎(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．‎ ‎2．充分条件、必要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AB p是q的必要不充分条件 BA p是q的充要条件 A＝B ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． ( )‎ ‎(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． ( )‎ ‎(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立． ( )‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√‎ ‎2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.‎ 但A⊆B时，a＝2或3.‎ ‎∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]‎ ‎4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[x＜3－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]‎ ‎5．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．‎ ‎[答案]　充分　必要 ‎ ‎ 充分条件、必要条件的判断 ‎【例1】　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)B　(2)A　[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b ‎，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.‎ ‎(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由NM知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.]‎ ‎[规律方法]　充分条件和必要条件的两种判断方法 (1)定义法：可按照以下三个步骤进行 ‎①确定条件p是什么，结论q是什么；‎ ‎②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；‎ ‎③确定条件p和结论q的关系.‎ (2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.‎ 易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.‎ ‎ (1)(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)A　(2)D　[(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，‎ 由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．‎ 因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎(2)∵当a≠0时，＝＝⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.]‎ 充分条件、必要条件的探求及证明 ‎【例2】　(1)对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是( )‎ A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α C　[对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.]‎ ‎(2)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.‎ ‎[证明]　法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，即＜.‎ 必要性：由＜，得－＜0，即＜0.‎ 因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.‎ 所以＜的充要条件是xy＞0.‎ 法二：＜⇔－＜0⇔＜0.‎ 由条件x＞y⇔y－x＜0，故由＜0⇔xy＞0.‎ 所以＜⇔xy＞0，‎ 即＜的充要条件是xy＞0.‎ ‎[规律方法]　充要条件的证明 (1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.‎ (2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.‎ ‎ (1)不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )‎ A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)‎ C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)‎ B　[由x(x－2)＜0得0＜x＜2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)＜0成立”的一个必要不充分条件．]‎ ‎(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.‎ ‎[证明]　必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，‎ ‎∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.‎ 充分性：由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.‎ ‎∵ax2＋bx＋c＝0，‎ ‎∴ax2＋bx－a－b＝0，‎ 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.‎ 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.‎ ‎∴x＝1是方程的一个根．‎ 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎【例3】　(1)设命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ ‎(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )‎ A．－1≤k＜3 B．－1≤k≤3‎ C．0＜k＜3 D．k＜－1或k＞3‎ ‎(1)A　(2)C　[(1)由(4x－3)2≤1得≤x≤1，即p：≤x≤1，‎ 由x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0得m≤x≤m＋1，即q：m≤x≤m＋1.‎ 由p是q的充分不必要条件，‎ 从而{x|m≤x≤m＋1}．‎ ‎∴，解得0≤m≤，故选A.‎ ‎(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的充要条件是＜，即－1＜k＜3.‎ 故所求应是集合{k|－1＜k＜3}的一个子集，故选C.]‎ ‎[规律方法]　利用充要条件求参数的关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.‎ ‎ (1)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )‎ A．[－1,1] B．[－1,0]‎ C．[1,2] D．[－1,2]‎ ‎(2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.‎ ‎(1)A　(2)3或4　[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，‎ ‎∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.‎ ‎(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝＝2±.‎ 又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]‎