【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练(二)不等式(1)

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【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练(二)不等式(1)

板块命题点专练(二) 不等式 命题点一 不等关系与一元二次不等式 ‎1.(2018·北京高考)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则(  )‎ A.对任意实数a,(2,1)∈A B.对任意实数a,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a≤时,(2,1)∉A 解析:选D 若点(2,1)∈A,则不等式x-y≥1显然成立,且同时要满足即解得a>.即点(2,1)∈A⇒a>,其等价命题为a≤⇒点(2,1)∉A成立.故选D.‎ ‎2.(2014·浙江高考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则(  )‎ A.c≤3         B.3<c≤6‎ C.6<c≤9 D.c>9‎ 解析:选C 由题意,不妨设g(x)=x3+ax2+bx+c-m,m∈(0,3],则g(x)的三个零点分别为x1=-3,x2=-2,x3=-1,因此有(x+1)(x+2)(x+3)=x3+ax2+bx+c-m,则c-m=6,因此c=m+6∈(6,9].‎ ‎3.(2016·浙江高考)已知实数a,b,c,(  )‎ A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100‎ B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100‎ C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100‎ D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100‎ 解析:选D 对于A,取a=b=10,c=-110,‎ 显然|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1成立,‎ 但a2+b2+c2>100,‎ 即a2+b2+c2<100不成立.‎ 对于B,取a2=10,b=-10,c=0,‎ 显然|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1成立,‎ 但a2+b2+c2=110,‎ 即a2+b2+c2<100不成立.‎ 对于C,取a=10,b=-10,c=0,‎ 显然|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1成立,‎ 但a2+b2+c2=200,‎ 即a2+b2+c2<100不成立.‎ 综上知,A、B、C均不成立,所以选D.‎ 命题点二 简单的线性规划问题 ‎1.(2017·浙江高考)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是(  )‎ A.[0,6] B.[0,4]‎ C.[6,+∞) D.[4,+∞)‎ 解析:选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,‎ 由z=x+2y,得y=-x+,‎ ‎∴是直线y=-x+在y轴上的截距,根据图形知,当直线y=-x+过A点时,取得最小值.由得x=2,y=1,即A(2,1),此时,z=4,∴z=x+2y的取值范围是[4,+∞).‎ ‎2.(2018·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为(  )‎ A.6 B.19‎ C.21 D.45‎ 解析:选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+5y得y=-x+.‎ 设直线l0为y=-x,平移直线l0,当直线y=-x+过点P时,z取得最大值.‎ 联立解得即P(2,3),‎ 所以zmax=3×2+5×3=21.‎ ‎3.(2016·浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件,联立方程组求得A(1,2),联立方程组求得B(2,1),可求得分别过A,B两点且斜率为1的两条直线方程为x-y+1=0和x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为=,故选B.‎ ‎4.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是________.‎ 解析:由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.‎ 设z=2y-x,即y=x+z,‎ 作直线l0:y=x并向上平移,显然当l0过点A(1,2)时,z取得最小值,zmin=2×2-1=3.‎ 答案:3‎ ‎5.(2018·浙江高考)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是________,最大值是________.‎ 解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.‎ 由解得A(4,-2).‎ 由解得B(2,2).‎ 将函数y=-x的图象平移可知,‎ 当目标函数的图象经过A(4,-2)时,zmin=4+3×(-2)=-2;‎ 当目标函数的图象经过B(2,2)时,zmax=2+3×2=8.‎ 答案:-2 8‎ 命题点三 基本不等式 ‎1.(2018·天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.‎ 解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.‎ ‎∴2a+=2a+2-3b≥2=2 ‎=2=2×2-3=,‎ 当且仅当即时等号成立.‎ 答案: ‎2.(2018·江苏高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.‎ 解析:如图,‎ ‎∵S△ABC=S△ABD+S△BCD,‎ ‎∴ac·sin 120°=c×1×sin 60°+a×1×sin 60°,∴ac=a+c.∴+=1.‎ ‎∴4a+c=(4a+c)=++5≥2 +5=9,‎ 当且仅当=,即c=2a时取等号.‎ 故4a+c的最小值为9.‎ 答案:9‎ ‎3.(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.‎ 解析:因为ab>0,所以≥==4ab+≥2=4,‎ 当且仅当时取等号,故的最小值是4.‎ 答案:4‎ ‎4.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.‎ 解析:由题意,一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4≥8=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.‎ 答案:30‎ 命题点四 绝对值不等式 ‎1.(2017·天津高考)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是(  )‎ A. B. C.[-2,2] D. 解析:选A 法一:根据题意,作出f(x)的大致图象,如图所示.‎ 当x≤1时,若要f(x)≥恒成立,结合图象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故对于方程x2-+3+a=0,Δ=2-4(3+a)≤0,解得a≥-;当x>1时,若要f(x)≥恒成立,结合图象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,当且仅当=,即x=2时等号成立,所以a≤2.综上,a的取值范围是.‎ 法二:关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于-f(x)≤a+≤f(x),‎ 即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立,‎ 令g(x)=-f(x)-.‎ 当x≤1时,g(x)=-(x2-x+3)-=-x2+-3‎ ‎=-2-,‎ 当x=时,g(x)max=-;‎ 当x>1时,g(x)=--=-≤-2,‎ 当且仅当=,且x>1,‎ 即x=时,“=”成立,‎ 故g(x)max=-2.‎ 综上,g(x)max=-.‎ 令h(x)=f(x)-,‎ 当x≤1时,h(x)=x2-x+3-=x2-+3‎ ‎=2+,‎ 当x=时,h(x)min=;‎ 当x>1时,h(x)=x+-=+≥2,‎ 当且仅当=,且x>1,‎ 即x=2时,“=”成立,‎ 故h(x)min=2.‎ 综上,h(x)min=2.‎ 故a的取值范围为.‎ ‎2.(2016·江苏高考)设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.‎ 证明:因为|x-1|<,|y-2|<,‎ 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a.‎ ‎3.(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,‎ 即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1,不满足题意;‎ 若a>0,则|ax-1|<1的解集为,‎ 所以≥1,故0<a≤2.‎ 综上,a的取值范围为(0,2].‎ ‎4.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)= 当x<-1时,由2x+4≥0,解得-2≤x<-1;‎ 当-1≤x≤2时,显然满足题意;‎ 当x>2时,由-2x+6≥0,解得2<x≤3,‎ 故f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.‎ 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.‎ 故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.‎ 由|a+2|≥4,可得a≤-6或a≥2,‎ 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).‎
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