【数学】2020届一轮复习人教B版三角恒等变换与解三角形学案理

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教B版三角恒等变换与解三角形学案理

三角恒等变换与解三角形 ‎【2019年高考考纲解读】‎ 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.‎ ‎(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β.‎ ‎(3)tan(α±β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α=2sin αcos α.‎ ‎(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.‎ ‎(3)tan 2α=.‎ ‎3.正弦定理 ===2R(2R为△ABC外接圆的直径).‎ 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.‎ sin A=,sin B=,sin C=.‎ a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎4.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,‎ c2=a2+b2-2abcos C.‎ 推论:cos A=,cos B=,‎ cos C=.‎ ‎5.三角形面积公式 S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.‎ ‎6.三角恒等变换的基本思路 ‎(1)“化异为同”,“切化弦”,“‎1”‎的代换是三角恒等变换的常用技巧.如1=cos2θ+sin2θ=tan 45°等.‎ ‎“化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”,“化异角为同角”.‎ ‎(2)角的变换是三角变换的核心,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),=-等.‎ ‎7.解三角形的四种类型及求解方法 ‎(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.‎ ‎(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一.‎ ‎(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.‎ ‎(4)已知三边,利用余弦定理求解. ‎ ‎8.利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中,通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案.注意要检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,从而得出正确结果.‎ ‎【题型示例】‎ 题型一、三角变换及应用 ‎【例1】(2018·全国Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.‎ 答案 - 解析 ∵sin α+cos β=1,①‎ cos α+sin β=0,②‎ ‎∴①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,‎ ‎∴sin αcos β+cos αsin β=-,‎ ‎∴sin(α+β)=-.‎ ‎ 【变式探究】(1)已知cos=3sin,则tan=________.‎ 答案 2-4‎ 解析 ∵cos=3sin,‎ ‎∴-sin α=-3sin,‎ ‎∴sin α=3sin=3sin αcos +3cos αsin  ‎=sin α+cos α,‎ ‎∴tan α=,‎ 又tan =tan= ‎==2-,‎ ‎∴tan= ‎==2-4.‎ ‎(2)若=sin 2θ,则sin 2θ等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 B 解析 由题意得= ‎=2(cos θ+sin θ)=sin 2θ,‎ 将上式两边分别平方,得4+4sin 2θ=3sin22θ,‎ 即3sin22θ-4sin 2θ-4=0,‎ 解得sin 2θ=-或sin 2θ=2(舍去),‎ 所以sin 2θ=-.‎ ‎【变式探究】【2017山东,理9】在中,角,,的对边分别为,,.若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以,选A.‎ ‎【变式探究】若tan α>0,则(  )‎ A.sin α>0       B.cos α>0‎ C.sin 2α>0 D.cos 2α>0‎ ‎【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅰ,2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(  )‎ A.- B. C.- D. 解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.‎ 答案 D ‎【变式探究】(2015·四川,12)sin 15°+sin 75°的值是________.‎ 解析 sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.‎ 答案  ‎【举一反三】(2015·江苏,8)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为________.‎ 解析 ∵tan α=-2,∴tan(α+β)===,解得tan β=3.‎ 答案 3‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”,即一看角的差异,二看名称的差异,三看结构形式的差异,然后多角度使用三角公式求解.‎ ‎(2)对于三角函数中角的求值问题,关键在于“变角”,将“目标角”变换成“已知角”.若角所在象限没有确定,则应分情况讨论,要注意三角公式的正用、逆用、变形运用,掌握其结构特征,还要注意拆角、拼角等技巧的运用.‎ ‎(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路:“五遇六想一引”,即遇正切,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角.‎ ‎【变式探究】(2015·广东,11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=________.‎ 解析 因为sin B=且B∈(0,π),所以 B=或B=.又C=,所以B=,A=π-B-C=.又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.‎ 答案 1‎ 题型二、正、余弦定理 ‎【例2】(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________. ‎ 答案  解析 ∵bsin C+csin B=4asin Bsin C,‎ ‎∴由正弦定理得 sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C.‎ 又sin Bsin C>0,∴sin A=.‎ 由余弦定理得cos A===>0,‎ ‎∴cos A=,bc==,‎ ‎∴S△ABC=bcsin A=××=.‎ ‎【举一反三】【2017课标II,理17】的内角所对的边分别为,已知,‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,的面积为,求。‎ ‎【答案】(1); (2) b=2‎ ‎【解析】b=2(1)由题设及,故 上式两边平方,整理得 ‎ 解得 ‎ ‎(2)由,故 又 由余弦定理 及得 所以b=2.‎ ‎【举一反三】(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.‎ 解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=.‎ 在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,‎ 即28=4+c2-4c·cos ,‎ 即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.‎ 所以c=4.‎ ‎(2)由题设可得∠CAD=,‎ 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.‎ 故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为=1.‎ 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,‎ 所以△ABD的面积为.‎ ‎【变式探究】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B=60°,c=8.‎ ‎(1)若点M,N是线段BC的两个三等分点,BM=BC,=2,求AM的值;‎ ‎(2)若b=12,求△ABC的面积.‎ 解 (1)由题意得M,N是线段BC的两个三等分点,‎ 设BM=x,则BN=2x,AN=2x,‎ 又B=60°,AB=8,‎ 在△ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcos 60°,‎ 解得x=2(负值舍去),则BM=2.‎ 在△ABM中,由余弦定理,‎ 得AB2+BM2-2AB·BM·cos B=AM2,‎ AM===2.‎ ‎(2)在△ABC中,由正弦定理=,‎ 得sin C===.‎ 又b>c,所以B>C,则C为锐角,所以cos C=.‎ 则sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C ‎=×+×=,‎ 所以△ABC的面积S=bcsin A ‎=48×=24+8.‎ ‎【举一反三】 若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于________.‎ 解析 S=AB·AC·sin A,∴sin A=,在锐角三角形中A=,由余弦定理得BC==7.‎ 答案  7‎ ‎【变式探究】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=________.‎ 解析 因为sin B=且B∈(0,π),所以B=或B=.又C=,所以B=,A=π-B-C=.又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1. ‎ 答案 1‎ ‎【举一反三】(1)在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于________.‎ ‎(2)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.‎ ‎①求cos∠CAD的值;‎ ‎②若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.‎ ‎【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.‎ ‎(2)本题以平面四边形为载体,考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值,第一问可利用余弦定理直接求解,第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理.‎ ‎(2)①如题图,在△ADC中,由余弦定理,得 cos∠CAD=.‎ 故由题设知,cos∠CAD==.‎ ‎②如题图,设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.‎ 因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,‎ 所以sin∠CAD= ‎==.‎ sin∠BAD= ‎==.‎ 于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)‎ ‎=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD ‎=×-×=.‎ 在△ABC中,由正弦定理,得=.‎ 故BC===3.‎ ‎【变式探究】△ABC的面积是30,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=.‎ ‎(1)求A·A;‎ ‎(2)若c-b=1,求a的值.‎ ‎【解析】解 (1)由cos A=,且0
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