2018-2019学年河北省石家庄市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河北省石家庄市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省石家庄市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意抛物线的准线方程公式得出结果.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线为 ‎ 所以抛物线的准线方程为 ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 考查了抛物线的准线方程，属于基础题.‎ ‎2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是 A．7，11，19 B．7，12，17 C．6，13，17 D．6，12，18‎ ‎【答案】D ‎【解析】要计算各层抽取的人数，按照分层抽样的规则，求出答案即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1:2:3‎ 所以抽取人数 老年人： ‎ 中年人：‎ 青年人：‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题目考查了分层抽样，属于基础题.‎ ‎3．已知命题：，；命题：，，则下列说法中正确的是 A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】先判断命题的真假，进而求得复合命题真假判断真值表得到答案.‎ ‎【详解】‎ 命题p，，即命题p为真，‎ 对命题q，去 ，所以命题q为假，为真 所以是真命题 ‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可；‎ ‎(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；‎ ‎(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.‎ ‎4．下列说法中正确的是 A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.‎ B．“”是“”的充分不必要条件.‎ C．“若，则，全为0.”的逆否命题是“若，全不为0，则.”‎ D．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真.‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 答案A，“否命题”和“逆命题”互为逆否，同真假，所以A对；‎ 答案B，“”是“”的充分必要条件，所以B错；‎ 答案C，“若，则，全为0.”的逆否命题是“若，不全为0，则 ‎.”，所以C错 答案D，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为假，所以D错.‎ ‎【点睛】‎ 本题目主要考查命题的真假性和逻辑用语，属于基础题.‎ ‎5．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 A．-1 B．0 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接根据程序框图计算得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知；i=1,s=3;1=2,s=4,下一次i=3，输出s=4‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题目考查了程序框图，属于基础题.‎ ‎6．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是根据某中学学生社团某日早6点至晚9点在某中学东、西两个校区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，东、西两个校区浓度的方差较小的是 A．东校区 B．西校区 C．东、西两个校区相等 D．无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】根据茎叶图得数据分布，即可得到两地浓度的方差大小.‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图可知，东校区数据集中在0.06和0.07之间，数据分布比较稳定；‎ 而西校区则分布比较分散，不如东校区集中，‎ 所以东校区方差较小.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题目考查了统计图中茎叶图，以及方差代表的是数据的稳定性，注意不能去计算，这样费时费力，属于中等偏下题目.‎ ‎7．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心率为 A．5 B．5或 C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线与直线平行，求出a、b的关系，在利用斜率公式求出斜率.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线为 ‎ ‎ 直线的斜率为 ‎ ‎ ‎ 双曲线离心率为 ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的渐近线方程以及离心率的公式，属于简单题.‎ ‎8．圆与直线的位置关系 A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】据题意，先求出直线过定点（1,1），再判断出点与圆的位置关系，可得直线与圆的位置关系.‎ ‎【详解】‎ 直线化简为 ‎ ‎ 易知直线过定点(1,1)‎ 而 知点在圆内 直线与圆相交.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题目考查直线过定点的问题以及点与圆的位置关系，注意没必要联立方程解方程组，然后用判别式来求解，这样子运算量较大，属于中档题.‎ ‎9．将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题是一个等可能时间，实验发生包含的事件总数为36种，列出绝对值大于3的6种情况，根据对立事件利用概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，连续抛掷两次骰子6共有 种情况；‎ 绝对值大于3的有共6种，‎ 所以绝对值不大于3有：36-6=30种，‎ 故所求概率 ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型，对立事件；，属于简单题型.‎ ‎10．已知点，，则，两点的距离的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为点，‎ 所以 有二次函数易知，当时，取得最小值为 ‎ 的最小值为 ‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两点之间的距离公式，建立函数关系求最值，属于基础题型.‎ ‎11．已知正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量,然后求得结果.‎ ‎【详解】‎ 在正四面体中，点、分别是、的中点 ‎ ‎ 则= ‎ 因为是正四面体，所以 ‎ 即 所以= ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间几何体与向量的综合知识，熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题.‎ ‎12．已知离心率为的双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点.若的面积为2，则实数的值为 A．2 B． C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用双曲线离心率求出渐近线方程，利用三角形面积，结合离心率即可得到方程组求出a即可.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点,所以，‎ ‎ ‎ 所以三角形面积 ‎ 双曲线离心率 ‎ 解得 ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的性质渐近线，离心率以及圆的相关知识，是一道较为综合的题型，必须掌握好圆锥曲线等相关知识点，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．命题“，”的否定是__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】根据特征命题的否定为全称命题，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 命题“，”是特征命题 所以其否定命题： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.‎ ‎14．在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是__________．‎ ‎【答案】(或)‎ ‎【解析】设取出的两个数分别为x、y，可得满足“x、y∈（0，1）”的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，而事件“两数之和小于”对应的区域为正方形的内部且在直线下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计算公式可得答案．‎ ‎【详解】‎ 设取出的两个数分别为x、y，可得0＜x＜1且0＜y＜1， 满足条件的点（x，y）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的 正方形内部，即如图的正方形OABC的内部，其面积为S=1×1=1， 若两数之和小于，即，对应的区域为直线下方， 且在正方形OABC内部，即如图的阴影部分． ∵直线x分别交BC、AB于点 ‎ ‎∴ ． 因此，阴影部分面积为 ． 由此可得：两数之和小于的概率为 ． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出在区间（0，1）内随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、正方形和三角形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于中档题．‎ ‎15．如图，是直三棱柱，，点、分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值为 ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】取BC的中点E，连接EF1，则EF1//BD1，所以就是异面直线BD1与AF1所成的角，，‎ ‎16．设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设直线与轴的交点为，连接。由线段的中垂线过点，可得，所以。因为，由因为，所以。变形可得，进而可得，所以。根据椭圆的离心率，可得。‎ 详解：‎ 设直线与轴的交点为，连接，‎ ‎∵的中垂线过点，‎ ‎∴，可得，‎ 又∵，且，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，，结合椭圆的离心率，得，‎ 故离心率的取值范围是．‎ 点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式。解题过程注意的关系。‎ ‎（1）直接根据题意建立的等式求解；‎ ‎（2）借助平面几何关系建立的等式求解；‎ ‎（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；‎ ‎（4）运用数形结合建立的等式求解。‎ ‎17．某校100名高二学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求图中的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图得，概率之和为1求得a；‎ ‎（Ⅱ）累加各组组中值与频率的成绩可估得平均值.‎ ‎【详解】‎ 解析：（Ⅰ）依题意，得，‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）这100名学生语文成绩的平均分为 ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对频率分布直方图的认识，以及平均数的求法，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎18．已知圆过点和，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）求直线：被圆截得的弦长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设出圆心坐标和圆的标准方程，将点带入求出结果即可；‎ ‎（Ⅱ）利用圆心到直线的距离和圆的半径解直角三角形求得弦长.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由题意可设圆心坐标为，则圆的标准方程为，‎ ‎∴‎ 解得 故圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）圆心到直线的距离，‎ ‎∴‎ 直线被圆截得的弦长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的方程，以及直线与圆相交求弦长的知识，属于基础题.‎ ‎19．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量（吨）之间的一组数据为：‎ 价格 ‎1.4‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2‎ ‎2.2‎ 需求量 ‎12‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）根据上表数据，求出回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）试根据（Ⅰ）中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？‎ ‎（参考公式： ，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）如果价格定位1.9万元，则需求量大约是.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据表中所给数据代入公式，求得y对x的回归方程；‎ ‎（Ⅱ）当定价为1.9万，即x=1.9，代入线性回归方程求得预测值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）因为，，‎ ‎，，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 故对的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 所以，如果价格定位1.9万元，则需求量大约是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对线性回归方程的求解，解题的关键是掌握线性回归方程的求解公式的运用，属于基础题.‎ ‎20．如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.‎ 试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，‎ ‎.‎ 又平面，平面，‎ 平面. ‎ ‎（2）解:平面，，平面 平面，.‎ ‎ 四边形是正方形，.‎ 以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ‎ ‎,‎ ‎，，，，，, ‎ ‎,.‎ ‎，， 分别为，，的中点，‎ ‎，，,, ‎ ‎（解法一）设为平面的一个法向量，则,‎ 即，令，得. ‎ 设为平面的一个法向量,则,‎ 即，令，得. ‎ 所以==. ‎ 所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）‎ ‎（解法二），,‎ 是平面一个法向量. ‎ ‎，,‎ 是平面平面一个法向量. ‎ ‎ ‎ 平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. ‎ ‎（解法三）延长到使得连 ‎，，‎ 四边形是平行四边形，‎ 四边形是正方形，‎ ‎，分别为，的中点，‎ 平面，平面， 平面. ‎ 平面平面平面 故平面与平面所成锐二面角与二面角相等. ‎ 平面平面 平面是二面角的平面角. ‎ ‎ ‎ 平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. ‎ ‎【考点】1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.‎ ‎21．已知圆，直线.动圆与圆相外切，且与直线相切.设动圆圆心的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，是上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）据题意动圆与圆相外切，与直线l相切，利用距离公式，求得E的方程 ‎（Ⅱ）设出直线，联立方程，建立一元二次方程，根据题目已知条件求得b，即求出定点.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）设，则 .‎ 所以的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：易知直线的斜率存在，设直线：，，.‎ 将直线的方程代入中，得，‎ 所以，.‎ ‎ ，‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题目考查了对轨迹方程的求法，一般解法是设出点坐标，建立等式求得轨迹方程（需要注意x、y的取值），还考查了直线与圆锥曲线的相交的定值定点问题，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）平行四边形OANB的面积最大值为2，直线的方程为.‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，利用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标列出方程，解出a,b,c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立，消参，得到关于x的方程，利用韦达定理，得到和代入到中，通过换元法再利用均值不等式求出最大值，从而得到直线方程.‎ 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，∵离心率为，∴，∴，又点是抛物线的焦点，∴，∴椭圆C的方程为. 4分 ‎（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，直线与椭圆于、两点，由.‎ 由 . 6分 ‎，， 7分 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎， 9分 令，则（由上式知），‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴当时，平行四边形OANB的面积最大值为2.‎ 此时直线的方程为. 12分 ‎【考点】椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题.‎ ‎23．已知，函数（，为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）原函数在上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，.‎ 令，解得 所以，函数的单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ）方法1：若函数在上单调递增，则在上恒成立.‎ 即，令.‎ 则在上恒成立.‎ 只需，得：‎ 方法2：，令，即，‎ 解得.‎ 所以，的增区间为 又因为在上单调递增，所以 ‎ 即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.‎