北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

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北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学试卷 第一部分(选择题共40分)‎ 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.直线的倾斜角为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程求得直线的斜率,由此求得直线倾斜角.‎ ‎【详解】依题意可知直线的斜率为,故倾斜角为,故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角,属于基础题.‎ ‎2.某校有高一学生人,高二学生人,高三学生人,现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查,则下列判断正确的是()‎ A. 高一学生被抽到的可能性最大 B. 高二学生被抽到的可能性最大 C. 高三学生被抽到的可能性最大 D. 每位学生被抽到的可能性相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样是等可能的选出正确答案.‎ ‎【详解】由于分层抽样是等可能的,所以每位学生被抽到的可能性相等,故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性,考查分层抽样的知识,属于基础题.‎ ‎3.如图,正方体的棱长为,那么四棱锥的体积是()‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据锥体体积公式,求得四棱锥的体积.‎ ‎【详解】根据正方体的几何性质可知平面,所以,故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查四棱锥体积的计算,属于基础题.‎ ‎4.已知向量,,若与平行,则实数的值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求得与,然后根据两个向量平行的条件列方程,解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意与,由于与平行,所以,,解得,故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算,考查两个向量平行的条件,属于基础题.‎ ‎5.先后抛掷枚均匀的硬币,至少出现一次反面的概率是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得全是正面的概率,用减去这个概率求得至少出现一次反面的概率.‎ ‎【详解】基本事件的总数为,全是正面的的事件数为,故全是正面的概率为,所以至少出现一次反面的概率为,故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算,考查正难则反的思想,属于基础题.‎ ‎6.在△中,若,则△为()‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化简已知条件,得到,由此得到,进而判断出正确选项.‎ ‎【详解】由正弦定理得,所以,所以,故三角形为等腰三角形,故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状,考查同角三角函数的基本关系式,属于基础题.‎ ‎7.若直线过圆的圆心,则的值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆的圆心,代入直线方程,由此求得的值.‎ ‎【详解】依题意可知,圆的圆心为,代入直线方程得,解得,故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查由圆的一般方程求圆心坐标,考查方程的思想,属于基础题.‎ ‎8.如图,向量,,,则向量可以表示为()‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量加法和减法的运算,求得的线性表示.‎ ‎【详解】依题意,即,故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算,属于基础题.‎ ‎9.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理,对选项逐一分析,由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项,两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线,故A选项错误.对于B选项,两个平面平行,一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行,故B选项错误.对于C选项,两条直线都跟同一个平面平行,它们可能相交、异面或者平行,故C选项错误.对于D选项,根据平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知,D选项命题正确.综上所述,本小题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用,考查逻辑推理能力,属于基础题.‎ ‎10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:先确定不超过30的素数,再确定两个不同的数的和等于30的取法,最后根据古典概型概率公式求概率.‎ 详解:不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有种方法,因为,所以随机选取两个不同的数,其和等于30的有3种方法,故概率为,选C.‎ 点睛:古典概型中基本事件数的探求方法: (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ 第二部分(非选择题共60分)‎ 二、填空题共5小题,每小题4分,共20分.‎ ‎11.在△中,,,,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求得的值,进而求得的大小.‎ ‎【详解】由余弦定理得,由于,故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.‎ ‎12.某住宅小区有居民万户,从中随机抽取户,调查是否安装宽带,调查结果如下表所示:‎ 宽带 租户 业主 已安装 未安装 则该小区已安装宽带的居民估计有______户.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出抽样中已安装宽带的用户比例,乘以总人数,求得小区已安装宽带的居民数.‎ ‎【详解】抽样中已安装宽带的用户比例为,故小区已安装宽带的居民有户.‎ ‎【点睛】本小题主要考查用样本估计总体,考查频率的计算,属于基础题.‎ ‎13.已知点,,则向量______,与向量同向的单位向量为 ‎_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得,通过求得同方向的单位向量.‎ ‎【详解】依题意,故同方向的单位向量为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算,考查向量同方向的单位向量的求法.‎ ‎14.已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线的方程和圆的方程,求得两点的坐标,根据点斜式求得直线的方程,进而求得两点的坐标,由此求得的长.‎ ‎【详解】由解得,直线的斜率为,所以直线的斜率为,所以,令,得,所以.‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查相互垂直的两条直线斜率的关系,考查直线的点斜式方程,属于中档题.‎ ‎15.下列五个正方体图形中,是正方体的一条对角线,点M,N,P分别为其所在棱的中点,求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎【解析】‎ 为了得到本题答案,必须对5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,l位置固定,截面MNP变动,l与面MNP是否垂直,可从正、反两方面进行判断.在MN、NP、MP三条线中,若有一条不垂直l,则可断定l与面MNP不垂直;若有两条与l都垂直,则可断定l⊥面MNP;若有l的垂面∥面MNP,也可得l⊥面MNP.‎ 解法1 作正方体ABCD-A1B‎1C1D1如附图,与题设图形对比讨论.在附图中,三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面.‎ 对比图①,由MN∥BA l,MP∥BD,知面MNP∥面BAlD,故得l⊥面MNP.‎ 对比图②,由MN与面CB1D1相交,而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内,所以MN不垂直于l,从而l不垂直于面MNP.‎ 对比图③,由MP与面BA l D相交,知l不垂直于MN,故l不垂直于面MNP.‎ 对比图④,由MN∥BD,MP∥BA.知面 MNP∥面BA1 D,故l⊥面MNP.‎ 对比图⑤,面MNP与面EFGHKR重合,故l⊥面MNP.‎ 综合得本题的答案为①④⑤.‎ 解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为.各图可讨论如下:‎ 在图①中,MN,NP在平面上的射影为同一直线,且与l垂直,故 l⊥面MNP.事实上,还可这样考虑:l在上底面的射影是MP的垂线,故l⊥MP;l在左侧面的射影是MN的垂线,故l⊥MN,从而l⊥面 MNP.‎ 在图②中,由MP⊥面,可证明MN在平面上的射影不是l的垂线,故l不垂直于MN.从而l不垂直于面MNP.‎ 在图③中,点M在上的射影是l的中点,点P在上的射影是上底面的内点,知MP在上的射影不是l的垂线,得l不垂直于面 MNP.‎ 在图④中,平面垂直平分线段MN,故l⊥MN.又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直,从而l⊥MP,故l⊥面 MNP.‎ 在图⑤中,点N在平面上的射影是对角线l的中点,点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点,三个射影同在一条直线上,且l与这一直线垂直.从而l⊥面MNP.‎ 至此,得①④⑤为本题答案.‎ 三、解答题共5小题,共40分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16.已知向量,满足:,,.‎ ‎(Ⅰ)求与的夹角;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)利用向量数量积的运算,化简,得到,由此求得的大小.(II)先利用向量的数量积运算,求得的值,由此求得的值.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)因为,‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)因为,‎ 由已知,,‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量数量积运算,考查向量夹角计算,考查向量模的求法,属于基础题.‎ ‎17.在△中,若.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,,求△的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)利用正弦定理化简已知条件,由此求得的大小.(II)利用余弦定理求得的值,再根据三角形面积公式求得三角形面积.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)在△中,由正弦定理可知,,‎ 所以.‎ 所以.‎ 即.‎ ‎(Ⅱ)在△中,由余弦定理可知,‎ ‎.‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以△的面积.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于基础题.‎ ‎18.年北京市进行人口抽样调查,随机抽取了某区居民人,记录他们的年龄,将数据分成组:,,,…,并整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)从该区中随机抽取一人,估计其年龄不小于的概率;‎ ‎(Ⅱ)估计该区居民年龄的中位数(精确到);‎ ‎(Ⅲ)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该区居民的平均年龄.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)计算之间的频率和,由此估计出年龄不小于的概率.(II)从左往右,计算出频率之和为的位置,由此估计中中位数.(III)用各组中点值乘以频率人后相加,求得居民平均年龄的估计值.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)设从该区中随机抽取一人,估计其年龄不小于60为事件,‎ 所以该区中随机抽取一人,估计其年龄不小于60的概率为.‎ ‎(Ⅱ)年龄在的累计频率为,‎ ‎,‎ 所以估计中位数.‎ ‎(Ⅲ)平均年龄为 ‎【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用,考查频率分布直方图估计中位数和平均数,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,,与交于点,,分别为,的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅲ)求证:平面.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)通过证明平面来证得平面平面.(II)取中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得∥平面.(III)通过证明平面证得,通过计算证明证得,由此证得平面.‎ ‎【详解】证明:(Ⅰ)因为平面,‎ 所以.‎ 因为,,‎ 所以平面 因为平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎(Ⅱ)取中点,连结,因为为的中点 所以,且.‎ 因为为的中点,底面为正方形,‎ 所以,且.‎ 所以,且.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 因为平面且平面,‎ 所以平面.‎ ‎(Ⅲ)在正方形中,,‎ 因为平面,‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以平面.‎ 所以 在△中,设交于.‎ 因为,‎ 且分别为的中点,‎ 所以.所以.‎ 设,由已知,‎ 所以.所以.‎ 所以.‎ 所以,且为公共角,‎ 所以△∽△.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以平面.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明,考查线面平行的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.‎ ‎20.已知圆心为的圆,满足下列条件:圆心位于轴正半轴上,与直线相切,且被轴截得的弦长为,圆的面积小于13.‎ ‎(1)求圆的标准方程:‎ ‎(2)设过点的直线与圆交于不同的两点,,以,为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线,使得直线与恰好平行?如果存在,求出的方程:如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 不存在这样的直线.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)用待定系数法即可求得圆C的标准方程;(Ⅱ)首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).l与圆C相交于不同的两点,那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式,进而求出k的值.若k的值满足Δ>0,则存在;若k的值不满足Δ>0,则不存在.‎ 试题解析:(I)设圆C:(x-a)2+y2=R2(a>0),由题意知 解得a=1或a=, 3分 又∵S=πR2<13,‎ ‎∴a=1,‎ ‎∴圆C的标准方程为:(x-1)2+y2=4. 6分 ‎(Ⅱ)当斜率不存在时,直线l为:x=0不满足题意.‎ 当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 又∵l与圆C相交于不同的两点,‎ 联立消去y得:(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, 9分 ‎∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0,‎ 解得或.‎ x1+x2=,y1+ y2=k(x1+x2)+6=,‎ ‎,,‎ 假设∥,则,‎ ‎∴,‎ 解得,假设不成立.‎ ‎∴不存在这样的直线l. 13分 考点:1、圆的方程;2、直线与圆的位置关系.‎
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