辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（理）（二）

辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（理）（二）

2019 年丹东市高三总复习质量测试（二） 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数 对应的点位于第二象限，则复数 可取（ ） A. 2 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意首先分析复数 z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定 z 的值. 【详解】不妨设 ，则 ， 结合题意可知： ，逐一考查所给的选项： 对于选项 A： ，不合题意； 对于选项 B： ，符合题意； 对于选项 C： ，不合题意； 对于选项 D： ，不合题意； 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 2.已知集合 ， ，若 ，则实数 值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 ,可以得到 ，求出集合 的子集，这样就可以求出实数 值集合. 【详解】 , 的子集有 ， 当 时，显然有 ；当 时， ； (2 i)z− z i 2 i+ ( ),z a bi a b R= + ∈ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2i z i a bi a b b a i− = − + = + + − 2 0, 2 0a b b a+ < − > 2 4, 2 2a b b a+ = − = − 2 2,2 1a b b a+ = − − = 2 1,2 2a b b a+ = − = 2 5, 2 0a b b a+ = − = { 2,1}A = − { | 2}B x ax= = A B B= a { }1− {2} { 1,2}− { 1,0,2}− A B B∩ = B A⊆ A a A B B B A∩ = ⇒ ⊆ { }2,1A = − { } { } { }, 2 , 1 , 2,1φ − − B φ= 0a = { }2B = − 2 2 1a a− = ⇒ = − 当 时， ；当 ，不存在 ，符合题意，实数 值集合为 ，故本题选 D. 【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一 个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论. 3.经过点 作圆 的切线 ，则 的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 设直线 存在斜率 ，点斜式设出方程，利用圆心到直线 的距离等于半径求出斜率 ，再讨 论直线 不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能,写出直线方程，综上所述，求出切线方程. 【详解】 ，圆心坐标坐标为 ，半径为 ，当过点 的切线存在斜率 ，切线方程为 ，圆 心到它的距离为 ，所以有 ， 当过点 的切线不存在斜率时，即 ，显然圆心到它的距离为 ，所以 不是圆的切线； 因此切线方程为 ,故本题选 C。 【点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条. 4.在 中， ， ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 { }1B = 1 2 2a a⋅ = ⇒ = { }2,1B = − a a { }1,0,2− (3,0)M 2 2 2 4 3 0x y x y+ − − − = l l 3 0x y+ − = 3 0x y+ − = 3x = 3 0x y− − = 3 0x y− − = 3x = l k l k l 2 2 2 22 4 3 0 ( 1) ( 2) 8x y x y x y+ − − − = ⇒ − + − = (1,2) 2 2 ( )3,0M k ( 3) 3 0y k x kx y k= − ⇒ − − = 2 2 2 1 2 1 3 2 2 1 1 k k k k × − × − = ⇒ = + ( )3,0M 3x = 2 2 2≠ 3x = 3 0x y− − = ABC∆ 2AB AC AD+ =   0AE DE+ =   EB xAB yAC= +   3y x= 3x y= 3y x= − 3x y= − 【分析】 由 可知，点 是 的中点，由 ，可以确定点 是 的中 点，以 为基底，表示出 ，最后确定 的关系. 【详解】因为 ，所以点 是 的中点，又因为 ，所以点 是 的中点，所以有： ，因此 ，故本题选 D. 【点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、 对向量加法的几何意义的理解. 5.据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前 344 年，先秦法家代表人物商鞅督造一 种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为 12.6 立方寸.若取圆周 率 ，则图中的 值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 3.1 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知：该几何体是由一圆柱和长方体组而成，根据体积，可以求出图中的 值。 【详解】由三视图可知：该几何体是由一圆柱和长方体组而成，由题意可知： . 【点睛】本题考查了由三视图还原立体几何图形能力，体积运算能力.考查了空间想象能力和 运算能力. 2AB AC AD+ =   D BC 0AE DE+ =   E AD AB AC ， EB y x， 2AB AC AD+ =   D BC 0AE DE+ =   E AD 1 1 1 3 1( )2 2 2 4 4BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC= + = − + = − + × + = − +          3 1, 34 4x y x y= − = ⇒ = − 3π = x x 2112.6 ( ) 1.6 (5.4 1.6) 1 32 x xπ= ⋅ × + − × ⋅ ⇒ = 6.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，然后判断奇偶性，再考虑 时，函数的单调性，用排除法进行选 择. 【详解】函数的定义定义域为 ， ， 所以函数 是奇函数，图象关于原点对称，故可排除 B， 当 时， ，故可排除 C; 当 时， ，显然当 时， ，函数 是单调递减的，可排除 D，故本题选 A. 【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此问题可以从定义域、奇偶性、单调性、对称性、 周期性入手，易采用排除法，有时找特殊点、特殊值也是常用的方法. 7.若 ，则 （ ） ln( ) xf x x = 0x > 0x ≠ ( ) ( ) ( )ln ln lnx x xf x f x f xx x x −= ⇒ − = = − = −− ( )f x 1x > ( ) ln ln 0x xf x x x = = > 0x > ( ) ln lnx xf x x x = = ( )' 2 1 ln xf x x −⇒ = 1x > ( )' 0f x < ( )f x tan( ) 34 πα + = − 2sin 2 cosα α− = A. B. C. -1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ，可求出 的值，所求式子可以写成分母为 1 的形式，用 进行代换，分子、分母同时除以 ，然后把 的值代入求值即可. 【详解】 , ,把 代入，求 得 ，故本题选 A. 【点睛】本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是 的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来. 8.从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要 求服务队中至少有 1 名女生，不同选法共有（ ） A. 156 种 B. 168 种 C. 180 种 D. 240 种 【答案】B 【解析】 分析】 先求出从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队 有多少种选法，然后再求出服务队中没有女生有多少种选法，两数相减即可. 【详解】从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务 队有 种选法，服务队中没有女生的选法有 种，所以要求服务队中至少有 1 名女生， 不同选法共有 种选法，故本题选 B. 【 3 5 2 5 − tan 34 πα + = −   tanα 2 2sin cos 1α α+ = 2cos α tanα tan tan 4tan 3 3 tan 24 1 tan tan 4 παπα απα + + = − ⇒ = − ⇒ =   − ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 sin2 cos 2sin cos cos 2tan 1sin2 cos sin cos sin cos 1 tan α α α α α αα α α α α α α − − −− = = =+ + + tan 2α = 2 3sin2 cos 5 α α− = 2 2sin cos 1α α+ = 1 1 2 6 5 4 4 36 5 1802C C C ×⋅ ⋅ = × × = 1 1 2 4 3 2 4 3 1 12C C C⋅ ⋅ = × × = 180 12 168− = 【点睛】本题考查了组合问题、分步计算原理.本题采用的是间接法来求解，当问题的正面的 好多种情况时，可以看它的反面情况，这样求解起来简单. 9.在 中， ， ， ，则 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理可以求出 ,再利用同角的三角函数关系求出 ，最后用三角形面积公式 求出面积. 【详解】由余弦定理可知 ，因为 ，所以 ， 因此 ，故本题选 C. 【点睛】本题考查了余弦定理、同角三角函数关系、三角形面积公式.重点考查了运算能力. 10.若 是函数 的极值点，则 的值为（ ） A. -2 B. 3 C. -2 或 3 D. -3 或 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知 ，这样可求出 ，然后针对 的每一个值，进行讨论，看 是不是函 数的极值点. 【详解】 ， 由题意可知 ， 或 当 时， ， 当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减， ABC∆ 1cos 3A = 2AB = 3BC = ABC∆ 2 2 3 2 AC sin A 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= + − ⋅ ⋅ 23 4 15 0AC AC⇒ − − = 3AC⇒ = 1cos 3A = 2 2sin 1 cos 23A A= − = 1 sin 2 22ABCS AB AC A∆ = ⋅ ⋅ = 1x = ( )3 2 21( ) ( 1) 33f x x a x a a x= + + − + − a ' (1) 0f = a a 1x = ( ) ( ) ( ) ( )3 '2 222 ( ) 2(1 3 1)1 33 f xf x x a x a a x ax aa x= + + − = + + −+ − ⇒ + − ' (1) 0f = ( )' 2(1) 1 ( 1) 3 0 3a a af a= + + −⇒ + − = ⇒ = 2a = − 3a = ( )2' 22 3 8 9 ( 9)(( ) 2( 1) )1f x x a x a a x x x x+ −= + + − = + − = + − 1, 9x x> < − ' ( ) 0f x > 9 1x− < < ' ( ) 0f x < 显然 是函数 的极值点； 当 时， ，所以函数是 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选 B. 【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出 的值，没有通 过单调性来验证 是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定 是极值点. 11.已知函数 ，若 是 图象的一条对称轴， 是 图象的一个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 是 图象的一条对称轴，说明当 时，函数有最值； 是 图象 的一个对称中心，说明当 时，函数值为零，这样得到二个等式，可以求出 的值. 【详解】因为 是 图象的一条对称轴，所以 ①， 又因为 是 图象的一个对称中心，所以 ②，② ①得， ， 所以 可以表示为： ，已知 ，所以 是从 1 开始的奇数，对照选项，可以选 C. 【点睛】本题考查了已知正弦型函数的对称轴、对称中心求参数问题.重点考查了运算能力. 12.双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ， 的右支上一点 满足 1x = ( )f x 2a = − ( )' 2 2 2 2( ) 2( 1) 3 2 1 ( 1) 0a a xx xf x a xx= + + − + − = − + = − ≥ R a 1x = ( ) sin( ) 0,0 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > < <   4 πx = − ( )f x ( ,0)4 π ( )f x 4 1( )k k Nω = + ∈ 4 3( )k k Nω = + ∈ 2 1( )k k Nω = + ∈ *2 ( )k k Nω = ∈ 4x π= − ( )f x 4x π= − ,04 π     ( )f x 4x π= ω 4x π= − ( )f x ( )4 2m m Z π πω ϕ π− + = + ∈ ,04 π     ( )f x ( )4 n n Z π ω ϕ π+ = ∈ − 2( ) 1( , )n m m n Zω = − − ∈ , ( )m n Z n m Z∈ ∴ − ∈ ω 2 1( )k k Zω = − ∈ 0ω > ω C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F C P ，若坐标原点 到直线 距离是 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 分别过 ， 作直线 的垂线，垂足为 ，利用中位线性质可以求出 ,在 中，可以求出 ，利用双曲线的定义，可以求出 ，在 中，利用余弦 定理可以得到 的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】分别过 ， 作直线 垂线，垂足为 ，显然 , 是 的中点, 所以 = ,在 中, ,由双曲线的定义,可知: ,在 中， ,故本题选 B. 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率.解题的关键是利用双曲线的定义、中位线的性质、余 弦定理的综合使用,考查了运算能力. 二、填空题。 13.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】 画出可行解域，平移直线 ，找到 的最大值. 【详解】画出如下图的可行解域： 的 1 2 60F PF∠ = ° O 1PF 3 2 a C 2 3 O 2F 1PF ,A B 2BF 2Rt PBF∆ 2PF 1PF 2 1PF F∆ ,a c O 2F 1PF ,A B OA PF O 2 1F F 2BF 3a 2Rt PBF∆ 0 2 2 2 sin 60 2BF PF aPF = ⇒ = 1 2 12 4PF PF a PF a− = ⇒ = 2 1PF F∆ 2 2 2 0 2 2 2 1 1 2 1 22 cos60 3 3F F PF PF PF PF c a e= + − ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = x y 0 2 x y x x y ≥  ≥  + ≤ 2z x y= + 2y x z= − + z 当直线 经过 点时, 有最大值, 解 得, ,所以 =3. 【点睛】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力. 14.设函数 ，若 ，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 当 时，解方程 ，求出 的值，判断 是否存在； 当 时，解方程 ，求出 的值，判断 是否存在，最后确定 的值. 【详解】当 时， ，而 ，故舍去； 当 时， ，所以 . 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力. 2y x z= − + A z 2 y x x y =  + = (11A ，） 2z x y= + ln( 2), 1( ) 2 4, 1 x xf x x x + ≥ −= − − < − ( ) 1f a = − a = 3 2 − 1a ≥ − ln( 2) 1a + = − a a 1a < − 2 4 1a− − = − a a a 1a ≥ − ( ) 1f a = − 1 2ln( 2) 1 ea a e −⇒ + = − ⇒ = 1 2 1e e − < − 1a < − ( ) 1f a = − 32 4 1 12a a⇒ − − = − ⇒ = − < − 3 2a = − 15.某种种子每粒发芽的概率都为 0.85，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再 补种 2 粒，补种的种子数记为 ，则 的数学期望 _______． 【答案】300 【解析】 【分析】 设没有发芽的种子数为 ,则有 ,由题意可知 服从二项分布，利用公式可以求出 ，进而求出 的数学期望 . 【详解】设没有发芽的种子数为 ,则有 ,由题意可知 服从二项分布，即 , , . 【点睛】本题考查了二项分布.重点考查了这二个公式，一是 ；二是 . 16.正三棱柱 的所有棱长都相等， 是 中点，则二面角 的正切 值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 设正三棱柱 的所有棱长 2,取 的中点 ,这样可以证明出 ，通 过侧面与底面垂直，利用面面垂直的性质定理可以证明出 侧面 ,也就证明出 ，这样过 作 ,利用线面垂直的判定定理，可以证明出所以 平面 ,也就证出 ，这样就可以找到二面角 的平面角的补角,通过计 算可以求出二面角 的平面角的补角的正切值，也就求出二面角 的平 面角的正切值. 【详解】设正三棱柱 的所有棱长 2, 取 的中点 ,连接 ,由题意可知, X X ( )E X = Y 2X Y= Y )E Y（ X ( )E X Y 2X Y= Y Y (1000,0.15)B ( ) 1000 0.15 150E Y = × = ( ) 2 ( ) 300E X E Y= = ( , ), ( )B n p E npξ ξ = ( ) ( )Y aX b E Y aE X= + ⇒ = 1 1 1ABC A B C− D 1CC 1B AD C− − 15 3 − 1 1 1ABC A B C− 1 1AC E 1 1 1B E AC⊥ 1B E ⊥ 1 1AAC C 1B E AD⊥ E EF AD⊥ AD ⊥ 1B EF 1AD B F⊥ 1B AD C− − 1B AD C− − 1B AD C− − 1 1 1ABC A B C− 1 1AC E 1B E ,所以 ,利用勾股定理可以求得 ,过 作 ,垂足为 ,连接 ,如下图所示: 在正三棱柱 中,侧面 底面 , 而侧面 底面 ,所以 侧面 , 平面 ,所以 有 , , 平面 ,所以 平面 , 而 平面 ,所以 ,因此 是二面角 的平面角的补角, 在正方形 中, 由面积可得 , 求出 ,在 中, , 所以二面角 的正切值为 . 【点睛】本题考查了求二面角的正切值问题，解决本题的关键是找到二面角的平面角的补角. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演箅步骤。 17.数列 中， ， . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 1 1 1 1 1 1 2AC C B B A= = = 1 1 1B E AC⊥ 1 3B E = E EF AD⊥ F 1B F 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ⊥ 1 1 1A B C 1 1AAC C  1 1 1 1 1A B C AC= 1B E ⊥ 1 1AAC C AD ⊂ 1 1AAC C 1B E AD⊥ 1B E EF E∩ = 1 ,B E EF ⊂ 1B EF AD ⊥ 1B EF AD ⊂ 1B EF 1AD B F⊥ 1EFB∠ 1B AD C− − 1 1AAC C 1 1 1 1 11 14 2 2 1 2 2AA A EAC C E C D AC FD D E= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 3 55EF = 1Rt B FE∆ 1 1 3 15tan 3 355 EBEFB EF ∠ = = = 1B AD C− − 15 3 − { }na 1 1a = 1 2 1n na a n+ = + + { }na 1 4 1n n b a = − { }nb n 2 na n= 2 1n nT n = + 【分析】 （1） 可以采用累和法进行求解，利用等差数列的前 项和公式，可以求出 的通项公式； （2） ，可以采用裂项相消法求出数列 的前 项和. 【详解】解：（1）因为 ，所以当 时， . 由于 满足 ，所以求 的通项公式为 . （2）因为 ， 所以数列 的前 项和为 . 【点睛】本题考查了累和法求数列的通项公式、裂项相消法求数列前 项和.解决此类问题的 关键是掌握已知所给的通项公式、递推公式的特征. 18.为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测 试，每人测试文化、经济两个项目，每个项目满分均为 60 分.从全体测试人员中随机抽取了 100 人，分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩，得到文化项目测试成绩的频数分布表和 经济项目测试成绩的频率分布直方图如下： 经济项目测试成绩频率分布直方图 1 2 1n na a n+ = + + n { }na 2 1 1 1 1 4 1 2 2 1 2 1nb n n n  = = − − − +  { }nb n 1 2 1n na a n+ = + + 2n ≥ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + − + ( ) 21 3 2 1n n= + + + − = 1 1a = 2 na n= { }na 2 na n= 2 1 1 1 1 4 1 2 2 1 2 1nb n n n  = = − − − +  { }nb n 1 2 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1n nT b b b n n  = + + + = − + − + + − − +   1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +  n 分数区间 频数 2 3 5 15 40 35 文化项目测试成绩频数分布表 将测试人员的成绩划分为三个等级如下：分数在区间 内为一般，分数在区间 内 为良好，分数在区间 内为优秀. （1）在抽取的 100 人中，经济项目等级为优秀的测试人员中女生有 14 人，经济项目等级为 一般或良好的测试人员中女生有 34 人.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 以上 的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关？ 优秀 一般或良好 合计 男生数 女生数 合计 （2）用这 100 人的样本估计总体，假设这两个项目的测试成绩相互独立. （i）从该市测试人员中随机抽取 1 人，估计其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率. （ii）对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价. 附： 0.150 0.050 0.010 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] [0,30) [30,50) [50,60] 95% 2( )P K k≥ 2.072 3.841 6.635 . 【答案】（1）见解析（2）（i）0.32（ii）见解析 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图，可以求出经济项目等级为优秀人数的人数，同时可以求出男生数人. 经济项目等级为一般或良好的人数，同时可求出男生数，然后填表； 计算 并结合给出的附表，可以得出结论； （2）（i）记“文化项目等级为优秀”为事件 ，“文化项目等级为良好”为事件 ；“经 济项目等级为良好”为事件 ；“经济项目等级为一般”为事件 .分别可求出 ， ， 从该市测试人员中随机抽取 1 人，其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率为 ，计算得出； （ii）①记“文化项目等级为一般”为事件 ，“经济项目等级为优秀”为事件 ，可求出 . 可以计算出从该市测试人员中随机抽取 1 人，其“项目经济等级高于文化项目等级”的概率 为 ，从这一点上可以看出该市文化项目学习成绩的更好. ②通过计算文化项目测试成绩良好率估计值，经济项目测试成绩良好率估计值，通过比较， 可以得出该市文化项目学习成绩的更好. ③通过计算文化项目测试成绩平均数的估计值，经济项目测试成绩平均数的估计值为，通过 比较，可以得出该市文化项目学习成绩的更好. ④通过由频数分布表可以求出，该市文化项目测试成绩中位数的估计值，和该市文化项目测 试成绩中位数的估计值，通过比较可以得出该市文化项目学习成绩的更好. ⑤可以求出该市文化项目测试成绩众数的估计值和经济项目测试成绩众数的估计值，通过比 较可以得出该市对经济项目学习研究的更深入. k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2K 1A 2A 1B 2B ( ) ( )1 2P A P A， ( )1P B ( )2P B ( )1 1 1 2 2 2P P A B A B A B= + + 3A 0B ( ) ( )3 0P A P B， ( )0 2 0 3 1 3P P B A B A B A= + + ⑥可以求出文化项目测试成绩优秀率估计值、经济项目测试成绩优秀率估计值，通过比较， 可以得出该市对经济项目学习研究的更深入. 【详解】解：（1）由频率分布直方图，得经济项目等级为优秀人数为 .其中女 生数为 14 人，男生数为 26 人.经济项目等级为一般或良好的 60 名测试人员中，女生数为 34 人，男生数为 26 人.作出 列联表： 优秀 一般或良好 合计 男生数 26 26 52 女生数 14 34 48 合计 40 60 100 . 由于 ，故有 以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关. （2）（i）记“文化项目等级为优秀”为事件 ，“文化项目等级为良好”为事件 ；“经 济项目等级为良好”为事件 ；“经济项目等级为一般”为事件 .则 ， ， ， . 从该市测试人员中随机抽取 1 人，其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率为 . （ii）①记“文化项目等级为一般”为事件 ，“经济项目等级为优秀”为事件 ，则 ， . 从该市测试人员中随机抽取 1 人，其“项目经济等级高于文化项目等级”的概率为 0.4 100 40× = 2 2× ( )2 2 100 26 34 26 14 4.51440 60 48 52K × − ×= ≈× × × 4.514 3.841> 95% 1A 2A 1B 2B ( )1 0.35P A = ( )2 0.55P A = ( )1 0.4P B = ( )2 0.2P B = ( )1 1 1 2 2 2P P A B A B A B= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2P A P B P A P B P A P B= + + 0.35 0.4 0.35 0.2 0.55 0.2= × + × + × 0.32= 3A 0B ( )3 0.1P A = ( )0 0.4P B = . 因为 ，所以该市文化项目学习成绩的更好. ②文化项目测试成绩良好率估计值为 0.9，经济项目测试成绩良好率估计值为 0.8， ， 所以该市文化项目学习成绩的更好. ③文化项目测试成绩平均数的估计值为 . 经济项目测试成绩平均数的估计值为 . 因为 ，所以该市文化项目学习成绩的更好. ④由频数分布表知，文化项目测试成绩低于 40 分的频率为 ，测试成绩低于 50 分的 频率为 . 故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为 . 由直方图知，经济项目测试成绩低于 40 分的频率为 ，测试成绩低于 50 分的频率为 ，故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为 . 因为 ，所以该市文化项目学习成绩的更好. ⑤该市文化项目测试成绩众数的估计值为 45（分）. 经济项目测试成绩众数的估计值为 55（分）. 因为 ，所以该市对经济项目学习研究的更深入. ⑥文化项目测试成绩优秀率估计值为 0.35，经济项目测试成绩优秀率估计值为 0.4， ，所以该市对经济项目学习研究的更深入. 【点睛】本题考查了独立性检验.重点考查了通过用样本的数字特征、均值等方面对总体进行 评估，是一道用数学中的统计知识，为决策者提供参考的一道好题. 19.如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 中点， 是线段 上的点. ( )0 2 0 3 1 3P P B A B A B A= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 3 1 3P B P A P B P A P B P A= + + 0.4 0.55 0.4 0.1 0.4 0.1= × + × + × 0.3= 0.32 0.3> 0.9 0.8> ( )1 2 5 3 15 5 25 15 35 40 45 35 55100 × + × + × + × + × + × 44.3= 5 0.03 15 0.05 25 0.12 35 0.2 45 0.2 55 0.4× + × + × + × + × + × 41.9= 44.3 41.9> 0.25 0.5< 0.65 0.5> 0.5 0.2540 10 46.250.4 −+ × = 0.4 0.5< 0.6 0.5> 0.5 0.440 10 450.2 −+ × = 46.25 45> 45 55< 0.35 0.4< S ABCD− SD ⊥ ABCD / /AB CD AD CD⊥ SD CD= AB AD= 2CD AD= M BC N SA （1）若 是 中点，求证： 平面 ； （2）设 与平面 所成角为 ，求 最大值. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 解法 1：（1）建立空间直角坐标系，求出 的坐标表示，再证明出平面 的法向量是 ， 只要证明出 就可以证明 平面 ； （2）设 ，则 ， .可以求出 ，根据 和二次函数开口方向，对称轴， 可以求出 最大值. 解法 2：（1）取 中点为 ，连结 ， ，可得 ，可以证明出 平面 ，同理可以证明出 平面 .也就可以证明平面 平面 ，因此 平面 ； （2）同解法 1； 解法 3：（1）同解法 2； （2）由 ，可知 .可以证明出 ，也就能证明出 平面 ，则 .可以求出 . 的最小值为 到 距离等 于 ，所以 的最大值 . 【详解】解法 1：（1）以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐 N SA / /MN SDC MN SAD α sinα 3 5 7 MN SDC DA 0MN DA ⋅ = / /MN SDC ( )0 1SN SAλ λ= ≤ ≤  ( )2 ,0,4 4N λ λ− ( )2 1, 3,4 4MN λ λ= − − − ( )2 3sin 2 10 18 13 MN DC MN DC    ‖ α λ λ ⋅= = − + 0 1λ≤ ≤ sinα AD E ME NE / /ME DC / /ME SDC / /NE SDC / /MNE SDC / /MN SDC CD AD⊥ ME AD⊥ ME SD⊥ ME ⊥ SAD MNE α∠ = 2 3sin 9 ME MN NE α = = + NE E AN 2 5 sinα 3 5 7 D DA x 标系 ，设 . 则 ， ， ， ， ，所以 ， ， . 因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，平面 一个法向量为 . 因为 ， 平面 ，所以 平面 . （2） ，设 ，则 ， . 平面 的一个法向量为 ，所以 . 因 ，所以当 ，即 时， 取得最大值 . 解法 2： （1）取 中点为 ，连结 ， ，则 ，因为 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 .所以平面 平面 ，因此 平面 . （2）以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 ，设 ， 则 ， ， ， ， ，所以 ， ， . 为 D xyz− 2DA = ( )0,0,0D ( )0,0,4S ( )2,0,0A ( )2,2,0B ( )0,4,0C ( )1,3,0M ( )1,0,2N ( )0, 3,2MN = − SD ⊥ ABCD SD AD⊥ AD CD⊥ AD ⊥ SDC SDC ( )2,0,0DA = 0MN DA ⋅ = MN ⊄ SDC / /MN SDC ( )2,0, 4SA = − ( )0 1SN SAλ λ= ≤ ≤  ( )2 ,0,4 4N λ λ− ( )2 1, 3,4 4MN λ λ= − − − SAD ( )0,4,0DC = ( )2 3sin 2 10 18 13 MN DC MN DC    ‖ α λ λ ⋅= = − + 0 1λ≤ ≤ 9 10 λ = 9SN NA= sinα 3 5 7 AD E ME NE / /ME DC ME ⊄ SDC / /ME SDC / /NE SDC / /MNE SDC / /MN SDC D DA x D xyz− 2DA = ( )0,0,0D ( )0,0,4S ( )2,0,0A ( )2,2,0B ( )0,4,0C ( )1,3,0M ( )1,0,2N ( )2,0, 4SA = − 设 ，则 ， . 平面 的一个法向量为 ，所以 . 因为 ，所以当 ，即 时， 取得最大值 . 解法 3： （1）同解法 2. （2）因为 ，所以 . 因为 平面 ，所以 ， .所以 平面 ，则 . 设 ，则 ， ， . 的最小值为 到 距离等于 ，所以 的最大值 . 【点睛】本题考查了证明线面平行，以及线面角的正弦值最大值问题，通过本题的详解可以 知道利用常规的立体几何方法和向量方法都能很好地解决问题, ( )0 1SN SAλ λ= ≤ ≤  ( )2 ,0,4 4N λ λ− ( )2 1, 3,4 4MN λ λ= − − − SAD ( )0,4,0DC = ( )2 3sin 2 10 18 13 MN DC MN DC    ‖ α λ λ ⋅= = − + 0 1λ≤ ≤ 9 10 λ = 9SN NA= sinα 3 5 7 CD AD⊥ ME AD⊥ SD ⊥ ABCD SD CD⊥ ME SD⊥ ME ⊥ SAD MNE α∠ = 2DA = 3ME = 2 9MN NE= + 2 3sin 9 ME MN NE α = = + NE E AN 2 5 sinα 3 5 7 20.经过坐标原点 的两条直线与椭圆 ： 分别相交于点 、 和点 、 ，其中直线 经过 的左焦点 ，直线 经过 的右焦点 .当直线 不垂直于坐标轴时， 与 的斜率乘积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）求四边形 面积的最大值. 【答案】（1） （2）最大值 6. 【解析】 【分析】 （ 1 ） 设 ， ， 由 对 称 性 可 知 ， 由 ， ，相减得 ，而直线 与直线 的斜率乘积为 ，所以 ，由题意可知 ，利用 ，这样可求出 的值，进而求出椭圆的标准 方程； （2）由题设 不平行于 轴，设 ： ，与 联立得 ，由对称性四边形 是平行四边形，其面积 的等于 面积的 4 倍，于是 ，利用根与系数的关系，和换元法以及求导法，可 以求出四边形 面积的最大值. 【详解】解：（1）设 ， ，由对称性 ，直线 与直线 的斜率乘积为 . 由 ， ，相减得 . O E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A C B D AB E ( 1,0)− CD E (1,0) AB AB AD 3 4 − E ABCD 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )2 2,D x y− − 2 2 1 1 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 y y b x x a − = −− AB AD 2 2 2 1 2 2 2 1 y y x x − − 2 2 3 4 b a = 1c = 2 2 2c a b= − ,a b CD x CD 1x my= + 2 2 14 3 x y+ = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ABCD S OCD∆ 1 24 2OCDS S y y∆= = − ABCD ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )2 2,D x y− − AB AD 2 2 2 1 2 2 2 1 y y x x − − 2 2 1 1 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 y y b x x a − = −− 所以 ，因为 ，所以 ， ， 的方程为 . （2）由题设 不平行于 轴，设 ： ，与 联立得 . ， . 由对称性四边形 是平行四边形，其面积 的等于 面积的 4 倍，于是 . 设 ，当 时， ，函数 单调递增， 所以当 ，即 时， 取最大值 6. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及椭圆内接四边形面积最大问题，解决本题的关 键是理解掌握椭圆对称性质. 21.已知 ，设函数 . （1）讨论 单调性； （2）若当 时， ，求 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出函数 的导数，然后根据 的不同取值，进行分类讨论函数的单调性； （2）当 时， ，且 时， ，于是 等价于 ，显然若 ， 时，不等式 不成立；当若 ，构造新函数 ，求导，得 2 2 3 4 b a = 2 2 1a b− = 2 4a = 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = CD x CD 1x my= + 2 2 14 3 x y+ = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( )2144 1 0m∆ = + > 2 1 2 2 3 6 1, 3 4 m my y m − ± += + ABCD S OCD∆ 1 24 2OCDS S y y∆= = − 2 2 2 2 24 1 24 13 4 3 1 1 m m m m += =+ + + + 2 1m t+ = 1t ≥ ' 2 1 13 | 3 0tt t t  + = − >   13y t t = + 1t = 0m = S 0a ≤ 2 ( ) x ax x af x e + += ( )f x 0x ≥ ( ) ln( 1)f x m x≤ + m [1, )+∞ ( )f x a 0a ≤ ( ) ( )2 1 x x a x x xf x e e + + = ≤ 0a = ( ) x xf x e = ( ) ( )ln 1f x m x≤ + ( )ln 1x x m xe ≤ + 0m ≤ 0x ≥ ( )ln 1x x m xe ≤ + 0m > ( ) ( )ln 1 x xg x m x e = + − ，函数 在 单调递增，所以 ，可以证明出当 时， ，当 时，可以通过找到零 点，证明出 不恒大于零. 【详解】解：（1） . 当 时， ，当 时， ，当 时， .所以 在 单调递增； 在 单调递减. 当 时，由 得 或 ，因为 ，所以当 或 时， ，当 时， .所以 在 ， 单调递增； 在 单调递减. （2）当 时， ，且 时， ，于是 等价于 . 若 ，当 时， 不成立. 若 ，设 ， . 函数 在 单调递增，所以 . 当 时， ， 在 单调递增，所以 . 当 时，因为 ， ，所以存在唯一 ，使得当 时， ， 在 单调递减， ， 不成立. 综上， 的取值范围为 . ( ) ( ) 2 1' 1 x x me xg x x e + −= + ( ) 2 1xh x me x= + − [ )0,+∞ ( ) ( )0 1h x h m≥ = − m 1≥ ( ) 0g x ≥ 0 1m< < ( )g x ( ) ( )( )1 1' x x ax af x e − + −= − 0a = ( ) 1' x xf x e −= − 1x < ( )' 0f x > 1x > ( )' 0f x < ( )f x ( ),1−∞ ( )f x ( )1,+¥ 0a < ( )' 0f x = 1x = 11x a = − 11 1a − > 1x < 11x a > − ( )' 0f x > 11 1x a < < − ( )' 0f x < ( )f x ( ),1−∞ 11 ,a  − +∞   ( )f x 11,1 a  −   0a ≤ ( ) ( )2 1 x x a x x xf x e e + + = ≤ 0a = ( ) x xf x e = ( ) ( )ln 1f x m x≤ + ( )ln 1x x m xe ≤ + 0m ≤ 0x ≥ ( )ln 1x x m xe ≤ + 0m > ( ) ( )ln 1 x xg x m x e = + − ( ) ( ) 2 1' 1 x x me xg x x e + −= + ( ) 2 1xh x me x= + − [ )0,+∞ ( ) ( )0 1h x h m≥ = − m 1≥ ( )' 0g x ≥ ( )g x [ )0,+∞ ( ) ( )0 0g x g≥ = 0 1m< < ( )0 1 0h m= − < ( )1 0h me= > ( )0 0,1x ∈ ( )00,x x∈ ( ) ( ) ( )' 01 x h xg x x e = <+ ( )g x ( )00, x ( ) ( )0 0 0g g< = ( )ln 1x x m xe ≤ + m [ )1,+∞ 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性及不等式恒成立时求参数问题.重点考查了分类 讨论法 、构造函数法. 22.在直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 经过坐标原点 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 与 的极坐标方程； （2）设 与 的交点为 、 ， 与 的交点为 、 ，且 ，求 值. 【 答 案 】（ 1 ） 的 极 坐 标 方 程 为 . 的 极 坐 标 方 程 为 . （ 2 ） 【解析】 【分析】 （1）倾斜角为 直线 经过坐标原点 ，可以直接写出 ； 利用 ，把曲线 的参数方程化为普通方程，然后再利用 ，把普通方程化成极坐标方程； （2）设 ， ，则 ， ，已知 ，所以有 ，运用二角差的正弦公式，可以得到 ，根据倾斜角的范围， 可以求出 值. 【详解】解：（1）因为 经过坐标原点，倾斜角为 ，故 的极坐标方程为 . 的普通方程为 ，可得 的极坐标方程为 . （2）设 ， ，则 ， 所以 . 的 . xOy α l O 1C 2 2cos 2sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ O x 2C 4sinρ θ= l 1C l 1C O A l 2C O B 4 2AB = α l ( )Rθ α ρ= ∈ 1C 4cosρ θ= 3 4 πα = α l O ( )Rθ α ρ= ∈ 2 2sin cos 1φ φ+ = 1C 2 2 2sin , cos ,y x x yρ θ ρ θ ρ= = = + ( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α 1 4cosρ α= 2 4sinρ α= 4 2AB = 1 2 4 2ρ ρ− = sin 14 πα − = ±   α l α l ( )Rθ α ρ= ∈ 1C ( )2 22 4x y− + = 1C 4cosρ θ= ( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α 1 4cosρ α= 2 4sinρ α= 1 2 4 cos sinAB ρ ρ α α= − = − 4 2 sin 4 πα = −   由题设 ，因为 ，所以 . 【点睛】本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离. 23.已知函数 ，当 时， . （1）求 的取值范围； （2）证明： . 【答案】（1） （2）见证明 【解析】 【分析】 （1）因为 ，所以只要每段的函数值都大于零即可. （2） ，由（1）所求 的取值范围，可以得到： ，由绝对值三角不等式，可以得到： ，再经过运算，可以证出结论. 【详解】解：（1） . 由 ， ，得 的取值范围为 . （2） . 因为 ，所以 . 由 ，得 . 因为 ，故 . 【点睛】本题重点考查了证明绝对值不等式，关键是绝对值三角不等式的应用；考查了已知 绝对值不等式的解集，求参数问题，关键是分类讨论思想的运用. sin 14 πα − = ±   0 α π< < 3 4 πα = ( )f x x a= + x∈R ( ) 0f x x+ > a ( )2( ) ( )f ax af x f a− − ≥ ( ,0)−∞ ( ) 2 , , x a x af x x a x a + ≥ −+ =  − < − ( ) ( )f ax af x ax a a x a− − = + − − + a ( )1ax a a x a a x x a+ − − + = − + + − + 1 1 1x x a x x a a+ + − + ≥ + − + = + ( ) 2 , , x a x af x x a x a + ≥ −+ =  − < − ( )2 0a a− + > 0a− > a ( ),0−∞ ( ) ( )f ax af x ax a a x a− − = + − − + 0a < ( )1ax a a x a a x x a+ − − + = − + + − + 1 1 1x x a x x a a+ + − + ≥ + − + = + ( )1 1a x x a a a− + + − + ≥ − + ( )2 2 1f a a a a a= + = − + ( ) ( ) ( )2f ax af x f a− − ≥