【数学】2019届一轮复习人教A版不等式的性质学案
一．学习目标
【学习目标】
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用．
二．知识点
【知识要点】
1．不等式的定义
用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．
2．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a >b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
b⇔b < a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒a >c；
(3)可加性：a>b⇔a+c>b+c；a>b，c>d⇒a+c>b+d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac < bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒；
(6)乘方性质：a>b>0⇒ (n≥2，n∈N*)；
(7)开方性质：a>b>0⇒ (n≥2，n∈N*)；
(8)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质：<；
>(b－m>0)；
②假分数的性质：>；
<(b－m>0)．
4．基本不等式
(1)a2＋b2≥2ab；变式：≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；
(2)如果a≥0，b≥0，则≥；变式：ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
5．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最大值；
(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最小值2.
三．命题类型
1.不等式的性质应用
2.不等式与函数综合
3. 比较大小
4.用不等式性质证明不等式
5.不等式中的含参数问题
四．命题类型及陷阱解读
1.不等式的性质应用
例1.设， ， ，则， 的大小关系是( )
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
练习1．如果，且，那么的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，且．
又，
∴．选B．
2．设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( )
A. (a+b) ≥4 B. a3+b3≥2ab2
C. a2+b2+2≥2a+2b D.
【答案】B
【解析】∵a>0,b>0,
∴(a+b)( )=2++≥4恒成立.
又a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,
∴a2+b2+2≥2a+2b恒成立.
当a≥b时,( )2=a-b.
而()2=a+b-2
=a-b+2b-2
=(a-b)+2().
∵a≥b>0,∴≤0.
∴(a-b)+2 ()≤a-b,
即≥.
当a0.而<0,
∴≥成立.
答案:B
3．设a、b∈R+, , ,则A、B的大小关系是( )
A. A≥B B. A≤B C. A>B D. Aa+b=B2,
∴A2>B2.
∴A>B.
答案:C
4．设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是( )
A. << B. <<
C. << D. <<
【答案】C
2.不等式与函数综合
例2. ．已知函数， （），若对任意的（），恒有，那么的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时， ，画出图象如下图所示，由图可知， 时不符合题意，故选.
【点睛】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查选择题的解题策略中的特殊值法.主要的需要满足的是，根据不等式的解法，大于在中间，小于在两边，可化简为，左右两边为二次函数，中间可以由对数函数图象平移得到，由此画出图象验证是否符合题意.
练习1．已知，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得
作出可行域如图，
令 =x﹣y，则使目标函数取得最大值的最优解为B（3，﹣7），
此时 的最大值为10．
∴x﹣y＜λ恒成立的λ的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：C。
2．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，原不等式化为，不恒成立，排除，故选.
3．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )
A. M>－5 B. M<－5
C. M≥－5 D. M≤－5
【答案】A
3. 比较大小
例3. 设， ， ，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，即，选.
练习1．设，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以,选B.
2．已知实数， ， ，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴；
又
∴，
∴，即．选B．
【方法总结】：比较大小的常用方法。
（1）构造函数，判断出函数的单调性，让所要比较大小的数在同一单调区间内，然后利用单调性进行比较．
（2）作差与零比较，即．
（3）作商与1比较，即．
3．若， ，则， ， 中最大的数为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】∵， ，∴,即, ；
又，（ ）
∴最大的数为
故选：C
4．设= 对于任意的若当时, 恒有意义,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,因为对于任意的当时, 恒有意义,
5．已知函数的定义域为若对于任意的都有则称为上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于函数==
,
因为,所以,
则,
所以是凹函数.
故选A.
4.用不等式性质证明不等式
例4. （1）已知，求各自的取值范围.
（2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】（1）， ， ；（2）.
【解析】试题分析：（1）因为，得到， ， ，
进而可求解各自的取值范围.
（2）由题意可知方程的两根为，由韦达定理得
得到不等式，即可求解不等式的解集.
试题解析：
（2）由题意可知方程的两根为，所以，
解得，
不等式，即为，其解集为.
练习1．已知，求证：
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：
由题意利用不等式的性质可得， ，然后结合不等式的结论即可证得题中的结论.
试题解析：
证明：
2．已知为任意实数．
（1）求证： ；
（2）求函数 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】试题分析：
(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；
(2)利用题意结合不等式的性质可得.
试题解析：
（1）
，
因为，
所以.
（2） .
即.
【方法总结】：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．
3．已知数列满足：.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据 ，证明右边，再根据基本不等式 ，证明不等式的左边；（2）利用反证法，设存在 ，利用条件和（1）逐步推得矛盾.
于是，
……
.
累加可得（*）
由（1）可得，
而当时，显然有，
因此有，
这显然与（*）矛盾，所以.
4．已知函数与的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点， ，且，证明： ．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）证明过程见解析；
【解析】（Ⅰ）首先根据两函数在某点处有相同的切线，建立关于两函数解析式中参数的方程，求得两函数的解析式，再由题意构造新函数，将问题转化为新函数的单调性与最值问题进行求解；（Ⅱ）由题意，可将问题转化为其导数的两个根，再根据其函数的单调性，从而证明不等式立.
（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，
，
令，得，其判别式，
函数有两个极值点， ，等价于方程在内有两不等实根，又，故．
所以，且， ，
，
令， ，
则，
由于，∴，故在上单调递减．
故．
所以，
所以．
【方法总结】：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（Ⅰ）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，利用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范围；在问题（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函数的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数的范围，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.
5．已知函数，
（Ⅰ）若，求的定义域；
（Ⅱ）若在（，5］内有意义，求的取值范围；
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）根据对数的真数大于0，求解即可；
（2）转化为在(－1,5］上，分离参数即可求解.
试题解析：
（Ⅰ）
6．已知函数的定义域为，其中为常数；
（1）若，且是奇函数，求的值；
（2）若， ，函数的最小值是，求的最大值；
（3）若，在上存在个点 ，满足， ，
，使得，
求实数的取值范围；
【答案】(1) (2) (3)
【解析】试题分析：（1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得对任意恒成立，变形可得对任意恒成立，可求；(2)将函数的解析式讨论去掉绝对值号， 。两段函数的对称轴都为，因为。讨论 与-1的大小，可得两段二次函数在区间上的单调性，
求得最小值。得最小值，求两段的取值范围，取较大的为最大值。（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，所以，由绝对值不等式可得，所以，整理得，解得为所求.
试题解析：解：(1)∵是奇函数，∴对任意恒成立，
∴，即对任意恒成立，∴；
(2)
，
∵，∴，∴，
①当时， ， 在上递减，在递增，
②当时， ， 在上单调递增，
综上所述， ，
若，则；若，则
∴当时，
(3)∵，且在上单调递增，在上单调递减，
∴
而
要使满足条件的点存在，必须且只需，即，解得为所求.
【方法总结】1、函数为奇函数，求解析式中字母的值：方法一，奇函数定义；方法二，定义域中特殊的自变量 ， ；方法三，如定义域中含有0，则。2、解析式含绝对值的函数，求最值时，应讨论去掉绝对值号，转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值，当对称轴不确定时，应讨论与定义域端点的大小，判断函数的单调性求最值。
5.不等式中的含参数问题
例5. 若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
练习1．已知， 且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵a，b∈R+，∴，可得≥．
∵，
∴（a+b）=5≥（a+b），
化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，
解得1≤a+b≤4，
则a+b的取值范围是[1，4]．
故选：A．
【方法总结】：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
2．设，函数，则恒成立是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“恒成立”可得，所以成立；
反之，当成立时，则无法得到成立．
所以“恒成立”是“成立”的充分不必要条件．选A．
3．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界，则对于，且不全为0， 的下确界是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】∵a2+b2≥2ab， ∴对于正数a，b， ∴函数的下确界是
故选A
【方法总结】：本题考查函数的值域和基本不等式的应用，解题的关键是求出函数的值域，本题是一个新定义问题，注意理解所给的新定义．
4．已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数
、，恒有成立，则正整数可以取的值有（ ）个
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【方法总结】：本题主要考查了函数最大值与最小值，以及换元法求函数最值，涉及三角函数的化简求值，属于难题.本题在解决时，由定义域内任意两个实数、，恒有成立，转化为，是问题关键，然后转化为用换元法求函数的最值即可.
21．当x>3时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,记
在上单调递增，
∴
∴
故选：D
五．解题方法规律
1.运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件，如性质(4)(5)(6)(7)中要求乘数大于0，性质(6)(7)中还要求n∈N且n>1.
2.比较数(式)大小，一般用：
(1)作差法，具体步骤：作差—变形—判断(与0比较)—结论；
(2)作商法，具体步骤：作商—变形—判断(与1比较)—结论，注意分母的符号.
3.判断不等式是否成立，一般可用不等式性质、函数性质、基本不等式进行推理，也可以利用特殊值法对命题进行否定.
4.实际中的不等量问题的建模：(1)将每个量用数或代数式表示，(2)用不等号连结.
5.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，而≥成立，则要求a>0，b>0.
6.利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形.
7.连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值.
