【数学】2019届一轮复习人教A版概率与统计学案

【数学】2019届一轮复习人教A版概率与统计学案

‎7.概率与统计 ‎■要点重温…………………………………………………………………………·‎ ‎1．随机抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．‎ ‎[应用1]　某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．‎ ‎[解析]　设本次抽取的总户数为x，由抽样比例可知＝，则x＝24.‎ ‎[答案]　24‎ ‎2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．‎ ‎[应用2]　在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图23所示：‎ 图23‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．‎ ‎[解析]　由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．‎ ‎[答案]　4‎ ‎3．样本数据的数字特征 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．‎ 标准差的平方就是方差，方差的计算 ‎(1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ ‎(2)简化计算公式①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．‎ ‎[应用3]　(1)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图24是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为(　　)‎ 图24‎ A．20　　　 B．25‎ C．22.5 D．22.75‎ ‎(2)已知样本数据3,4,5，x，y的平均数是5，标准差是，则xy＝(　　)‎ A．42 B．40‎ C．36 D．30‎ ‎(3)某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如图25)，则该地区满意度评分的平均值为________. ‎ ‎【导 号：07804193】‎ 图25‎ ‎[解析]　(1)产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，‎ ‎……，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C.‎ ‎(2)由＝5得x＋y＝13， ①‎ 由＝ 得x2＋y2－10x－10y＋45＝0， ②‎ ‎①×10＋②得，x2＋y2＝85　 ③‎ ‎①2－③得，2xy＝84，即xy＝42，故选A.‎ ‎(3)由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)A　(3)77.5‎ ‎4．变量间的相关关系 变量间的相关关系以散点图为基础，设(x1，y1)，(x2，y2)…，(xn，yn)是两个具有线性相关关系的变量的一组数据，其回归方程为＝x＋，则 .‎ ‎[应用4]　假设某商品的销售量x(件)与利润y(万元)有如下统计数据：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 且已知＝90，＝140.8，iyi＝112.3，≈8.9，≈1.4.‎ ‎(1)对x，y进行线性相关性检验；‎ ‎(2)如果x与y具有线性相关关系，求出回归直线方程，并估计销售量为10件时，利润约是多少？‎ 附相关公式：r＝，＝ ‎ ＝ ，＝－·.‎ ‎[解]　(1)＝＝4，＝＝5，‎ 相关系数r的分子为＝iyi－5·＝122.3－5×4×5＝12.3，2 ＝ x－52＝ 90－5×16 ＝ 10，‎ (yi－)2＝y－5()2＝140.8－125＝15.8，‎ 所以r＝＝＝≈0.987.‎ 因为0.987>0.75，所以x与y之间具有很强的线性相关关系．‎ ‎(2)因为 ＝＝＝1.23，‎ ＝－·＝0.08，‎ 所以所求的回归直线方程为＝1.23x＋0.08.‎ 当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计销售量为10 件时，利润约为12.38 万元．‎ ‎5．独立性检验 两个分类变量X和Y相关的可信度，常通过随机变量K2的观测值k＝ 衡量， k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大．‎ ‎[应用5]　甲乙两个 校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个 校在地区第二次模拟考试中数 目的成绩，采用分层抽样的方法抽取了105名 生的成绩，并作出了部分频率分布表如下(规定考试成绩在[120,150]内为优秀)：‎ 甲校：‎ 分组 ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ ‎[100,110)‎ ‎[110,120)‎ ‎[120,130)‎ ‎[130,140)‎ ‎[140,150]‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎15‎ x ‎3‎ ‎1‎ 乙校：‎ 分组 ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ ‎[100,110)‎ ‎[110,120)‎ ‎[120,130)‎ ‎[130,140)‎ ‎[140,150]‎ 频数 ‎1‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎10‎ y ‎3‎ ‎(1)计算x，y的值，并分别估计两校数 成绩的优秀率；‎ ‎(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有97.5 的把握认为这两个 校的数 成绩有差异.‎ 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 K2＝.‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎[解]　(1)依题意知，甲校抽取55人，乙校抽取50人，故x＝6，y＝7.‎ 估计甲校的优秀率为≈18.2 ；乙校的优秀率为＝40 .‎ ‎(2)填表如下：‎ 甲校 乙校 总计 优秀 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 非优秀 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 总计 ‎55‎ ‎50‎ ‎105‎ K2＝≈6.109.‎ ‎∵6.109＞5.024，∴有97.5 的把握认为这两个 校的数 成绩有差异．‎ ‎6．解排列组合问题的常用策略 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果．‎ ‎[应用6]　(1)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．‎ ‎(2)从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．(用数字作答)‎ ‎[解析]　(1)把4个球分成3组，每组至少1个，即分的小球个数分别为2,1,1的3组，有种．最后将三组球放入4个盒中的3个，有分配方法数A种，因此，放法共有×A＝144(种)．‎ ‎(2)将问题分成三类：①含数字5，不含数字0，则选元素的过程有C·C种方法，将5排在末位，则组数的过程有A种方法，依据分步计数原理得这一类共有CCA＝108个；②含数字0，不含数字5，则选元素的过程有CC种方法，将0排在末位，则组数过程有A种方法，这一类共有CCA＝72个；③含数字0，也含数字5，则选元素的过程有CC，若0在末位，则组数过程有A种方法，若0不在末位，则组数过程有CA种方法，这一类共有CC(A＋CA)＝120个．根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有108＋72＋120＝300个 ‎[答案]　(1)144　(2)300‎ ‎7．二项式系数的性质 ‎(1)对称性：C＝C(k＝0,1,2，…，n)．‎ ‎(2)系数和：C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎(3)最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 项，二项式系数为C；n为奇数时，(n＋1)为偶数，中间两项的二项式系数最大为第项及第＋1项，其二项式系数为.‎ ‎[应用7]　 (1)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝(　　)‎ A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1)‎ C．2n＋1 D．1‎ ‎(2)展开式中的常数项为________．‎ ‎[解析]　(1)二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为＝，则an＝2n，bn＝，＝＝2n＋1，故选C.‎ ‎(2)＝，由二项式定理知(x－1)8通项为Tr＋1＝Cx8－r(－1)r，令r＝4得T5＝Cx4(－1)4＝70x4，故展开式中的常数项为70.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)70‎ ‎8．概率的计算公式 ‎(1)互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，若事件A与B对立P(B)＝1－P(A)．‎ ‎(2)古典概型的概率计算公式：P(A)＝＝；‎ ‎[应用8]　某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同 中选派4名 生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．‎ ‎[解析]　由题意可分两种情况只有甲乙中一人参加，有CCA＝480.‎ 甲乙两人参加有CA＝240则满足条件总的发言总数为480＋240＝720.‎ 甲乙两人参加，且发言时不相邻的包括情况有CAA＝120.‎ 则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为＝.‎ ‎[答案]　 ‎(3)几何概型的概率计算公式：P(A)＝.‎ ‎[应用9]　在棱长为2的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B‎1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　) ‎ ‎【导 号：07804194】‎ A． B．1－ C． D．1－ ‎[解析]　记“点P到点O的距离大于‎1”‎为A，‎ P(A)＝＝1－.‎ ‎[答案]　B ‎(4)条件概率的概率计算公式：P(B|A)＝＝.‎ ‎[应用10]　盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　)‎ A. B． C. D． ‎[解析]　第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝，‎ 第二次取到新球记为事件B，‎ 则P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝.‎ ‎[答案]　B ‎(5)相互独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A·B)＝P(A)·P(B)；‎ ‎(6)独立事件重复试验的概率计算公式是：Pn(k)＝CPk(1－P)n－k；‎ ‎(7)若X～N(μ，σ2)，则满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ

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