【数学】四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

四川省泸县第一中学 2019-2020 学年 高二下学期期中考试（理） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合  2| ,M y y x x R    ，  | 1 3N x x    ，则 M N  A． 1,3 B． 0,3 C． 1,0 D． 1,0 2．若复数 z 满足 2(2 ) 4 (1 )i z i    （其中i 是虚数单位），则| |z  A．2 B．4 C． 5 D． 2 5 3．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的 平均数与标准差分别是 A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10 4．在边长为 2 的菱形 ABCD 中， 60BAD   ， E 是 BC 的中点，则 AC AE   A． 3 3 3  B． 9 2 C． 3 D． 9 5．已知 ，则“ ”是“ 是第三象限角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在等差数列 中，已知 ， ，则 等于 A．50 B．52 C．54 D．56 7．在 2018 年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获 得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等 奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个 说的是假话，那么获得一等奖的代表队是 A．甲代表队 B．乙代表队 C．丙代表队 D．无法判断 8．  5 3 12 1 xx      的展开式中的常数项为 A．12 B． 12 C． 8 D． 18 9．有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就坐，规定前排中间的 3 个 座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是 A．234 B．346 C．350 D．363 10．已知函数 f（x）= 4 2 x x a 是奇函数，若 f（2m-1）+f（m-2）≥0，则 m 的取值范围为 A． 1m  B． 1m  C． 1m  D． 1m  11．在四面体 ABCD 中， BCD 与 ACD 均是边长为 4 的等边三角形，二面角 A CD B  的大小为 60 ，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 A． 208 9  B． 52 9  C． 64 3  D． 52 3  12．已知函数 ( ) 2lnxf x e x  ， 2( ) 4g x x x m   ，若对任意 1 [1, ]x e ，都存在 2 [1, ]x e ，使得不等式 1 2( ) ( )f x g x 成立，则实数 m 的取值范围是 A． ( , 3)e  B． ( , 4)e  C． 2( ,5 )e e  D． ( , 2)ee  第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设随机变量 ~ (2, )B p ， ~ (4, )B p ，若 5( 1) 9p    ，则 ( 2)p   的值为 __________． 14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等， 且 1 2 S S ＝ 9 4 ，则 1 2 V V 的值是________． 15．若函数  ( ) ln 1xf x e ax   为偶函数，则 1 1e x dxx a      __________． 16．若函数 ( ) x x af x e  在区间 0,2 上有极值,则实数 a 的取值范围为_________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17． （12 分）山东省《体育高考方案》于 2012 年 2 月份公布，方案要求以学校为单位进 行体育测试，某校对高三 1 班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对 50 分 以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若 90~100 分数段的人数为 2 人. （Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数 M； （Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、 第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于 20，则称这两人为“帮扶 组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率. 18．（12 分）已知函数    2 6 3lnf x ax a x x    ，其中 a R . （Ⅰ）当 1a  时，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （Ⅱ）当 0a  时，若函数  f x 在区间 1,3e 上的最小值为 6 ，求 a 的取值范围. 19．（12 分）某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行 为进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了 200 人，得到如图示的列联表： 闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过 45 岁 6 74 80 年龄超过 45 岁 24 96 120 合计 30 170 200 （Ⅰ）能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？ （Ⅱ）下图是某路口监控设备抓拍的 5 个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立 y 与 x 的回 归方程 ˆˆ ˆy bx a  ，并估计该路口 6月份闯红灯人数. 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx        ， ˆˆa y bx   2P K k 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考数据： 5 2 1 685i i y   ， 5 1 1966i i i x y   20．（12 分）如图，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABEF  平面 ABCD ， / /EF AB ， 90BAF   ， 2AD  ， 1AB AF  ，点 P 在线段 DF 上. （Ⅰ）求证： AF  平面 ABCD ； （Ⅱ）若二面角 D AP C  的余弦值为 6 3 ，求 PF 的长度. 21．（12 分）已知   2 2ln 1 2 xf x x x a     ， 0a  . （Ⅰ）当 2a  时，求函数  f x 图象在 1x  处的切线方程； （Ⅱ）若对任意  1,x  ，不等式   0f x  恒成立，求 a 的取值范围； （III）若  f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为 2 2 22 2 x t y t      （t 为参数），曲线C 的 极坐标方程为 4  . （Ⅰ）若l 的参数方程中的 2t   时，得到 M 点，求 M 的极坐标和曲线C 直角坐标方程； （Ⅱ）若点 (0,2)P ，l 和曲线C 交于 ,A B 两点，求 1 1 PA PB  . 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 若函数 ( ) 1 2 ( 0)f x x x a a     的最小值为 2． （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）若 , ,u v w R  ，且u v w a   ，证明： 2 2 2 2u v w a   ． 参考答案 1-5:CABDB 6-10:CCCBB 11-12:AB 13． 11 27 14． 3 2 15． 2e 16．  1,1 17．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60 分的频率为 0.1, 60~70 分的频率为 0.25, 70~80 分 的频率为 0.45, 80~90 分的频率为 0.15, 90~100 分的频率为 0.05； ……………2 分 ∴这组数据的平均数 M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4 分 (Ⅱ)∵90~100 分数段的人数为 2 人，频率为 0.05； ∴参加测试的总人数为 2 0.05 =40 人，……………………………………5 分 ∴50~60 分数段的人数为 40×0.1=4 人， …………………………6 分 设第一组 50~60 分数段的同学为 A1，A2，A3，A4；第五组 90~100 分数段的同学为 B1，B2 则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2， A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4， B2），（B1，B2），共 15 种；其中两人成绩差大于 20 的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2， B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共 8 种 ………11 分 则选出的两人为“帮扶组”的概率为 8 15P 18．（1）当 a＝1 时，f（x）＝x2﹣7x+3lnx（x＞0）， ∴   3' 2 7f x x x    ，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣2． ∴切线方程为 y+6＝﹣2（x﹣1），即 2x+y+4＝0． （2）函数 f（x）＝ax2﹣（a+6）x+3lnx 的定义域为（0，+∞）， 当 a＞0 时，         22 6 3 2 1 33' 2 6 ax a x x axf x ax a x x x           ， 令 f'（x）＝0 得 1 2x  或 3x a  ， ①当 30 1a ＜ ，即 a≥3 时，f（x）在[1，3e]上递增， ∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 f（1）＝﹣6，符合题意； ②当 31 3ea ＜ ＜ ，即 1 3ae ＜ ＜ 时，f（x）在 31 a      ， 上递减，在 3 3ea      ， 上递增， ∴f（x）在[1，3e]上的最小值为  3 1 6f fa       ＜ ，不合题意； ③当 3 3ea  ，即 10 a e ＜ 时，f（x）在[1，3e]上递减， ∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a 的取值范围 是[3，+∞）． 19．（1）由列联表计算  2 2 200 6 96 74 24 30 170 80 120K       5.882 5.024  , 所以有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关. （2）由题意得，  1 1 2 3 4 5 35x       ，  1 158 143 134 130 120 1375y       5 1 5 22 1 5 5 i i i i i x y xy b x x          $ 1966 5 3 137 8.955 5 9       137a y bx   $ $  8.9 3 163.7    8.9 163.7y x   $ 当 6x  时， 8.9 6 163.7 110.3y     $ 所以估计该路口 6月份闯红灯人数为110 （111也可） 20．（1）证明：∵ 90BAF   ，∴ AB AF ， 又平面 ABEF  平面 ABCD ，平面 ABEF  平面 ABCD AB ， AF  平面 ABEF ， ∴ AF  平面 ABCD . （2）以 A 为原点，以 AB ， AD ， AF 为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则  0,0,0A ，  1,0,0B ，  1,2,0C ，  0,2,0D ，  0,0,1F ， ∴  0,2, 1FD   ，  1,2,0AC  ，  1,0,0AB  由题知， AB  平面 ADF ， ∴  1,0,0AB  为平面 ADF 的一个法向量， 设  0 1FP FD     ，则  0,2 ,1P   ，∴  0,2 ,1AP    ， 设平面 APC 的一个法向量为  , ,x y zm ，则 0 0 m AP m AC         ， ∴  2 1 0 2 0 y z x y         ，令 1y  ，可得 22,1, 1m        ， ∴ 2 2 6cos , 321 4 1 1 m AB m AB m AB                 ，得 1 3   或 1   （舍去）， ∴ 5 3PF  . 21．解：（1）当 2a  时，   2 2ln 3 xf x x x    ，    2 1 8' 3 f x x x    ，则   1' 1 2f  . 又因为  1 0f  ，所以函数  f x 图象在 1x  处的切线方程为  1 12y x  ， 即 2 1 0x y   . （2）因为   2 2ln 1 2 xf x x x a     所以    2 1 4' 1 2 af x x x a        2 2 2 2 4 4 1 1 2 x x a a x x a            2 2 2 1 4 4 1 2 x a a x x a      ， 且  1 0f  .因为 0a  ，所以1 2 1a  . ①当 24 4 0a a  时，即 1a  ， 因为  ' 0f x  在区间 1, 上恒成立，所以  f x 在 1, 上单调递增. 当  1,x  时，    1 0f x f  ，所以 1a  满足条件. ②当 24 4 0a a  时，即 0 1a  时， 由  ' 0f x  ，得  2 1 1 2 0,1x a a    ，  2 2 1 2 1,x a a     当  21,x x 时，  ' 0f x  ，则  f x 在 21, x 上单调递减， 所以  21,x x 时，    1 0f x f  ，这与  1,x  时，   0f x  恒成立矛盾. 所以 0 1a  不满足条件.;综上， a 的取值范围为 1, . （3）①当 1a  时， 因为  ' 0f x  在区间 0, 上恒成立，所以  f x 在 0, 上单调递增， 所以  f x 不存在极值，所以 1a  不满足条件. ②当 1 12 a  时，1 2 0a  ，所以函数  f x 的定义域为 0, ， 由  ' 0f x  ，得  2 1 1 2 0,1x a a    ，  2 2 1 2 1,x a a     列表如下： x  10, x 1x  1 2,x x 2x  2,x   'f x  0 - 0   f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于  f x 在 1 2,x x 是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以 1 12 a  不满足条件. ③当 1 2a  时，由  ' 0f x  ，得 2x  . 列表如下： x  0,2 2  2,  'f x - 0   f x ↘ 极小值 ↗ 此时  f x 仅存在极小值，不合题意，所以 1 2a  不满足条件. ④当 10 2a  时，函数  f x 的定义域为   0,1 2 1 2 ,a a    ， 且 2 10 1 2 1 2x a a a      ， 2 2 1 2 1 2x a a a     . 列表如下： x  10, x 1x  1,1 2x a  21 2 ,a x 2x  2,x   'f x  0 - - 0   f x ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以  f x 存在极大值  1f x 和极小值  2f x ， 此时    1 2f x f x  1 2 1 2 1 2 2 2 2 2ln ln1 2 1 2 x xx xx a x a             1 21 2 1 2 4ln 1 2 1 2 a x xx x x a x a       ,因为 1 20 1 2x a x    ， 所以 1 2 ln 0x x  ， 1 2 0x x  ， 1 1 2 0x a   ， 2 1 2 0x a   ， 所以    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ， 所以 10 2a  满足条件.综上，所以 a 的取值范围为 10, 2      . 22．（1）当 2t   时,点 M 的直角坐标为 ( 1,1) ,所以 M 的极坐标为 3( 2, )4M  ，曲线C 的 直角坐标方程： 2 2 16x y  （2）将直线l 的参数方程 2 2 22 2 x t y t      代入 2 2 16x y  ,得: 2 22 2( ) (2 ) 162 2t t   ,得 2 2 2 12 0t t   , 设 ,A B 两点对应公的参数为 1 2,t t ,则 1 2 1 22 2, 12t t t t      所以 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 2 2) 4 ( 12) | | | | ( ) 41 1 14 | | | | | | | | 12 6 t t t t t t PA PB t t t t           . 23．（Ⅰ）解：当 12 a  时，   3 1 , 2 1, 1 2 3 1, 1 ax a x af x x a x x a x                 最小值为 12 2 a af       ， 6a  当 12 a  时，   3 1 , 1 1, 12 3 1, 2 x a x af x x a x ax a x                最小值为 12 2 a af        ， 2a   （舍） 综上所述， 6a  . （Ⅱ）证明：∵ 6u v w       22 2 2 2 2 21 1 1 36u v w u v w        ∴ 2 2 2 12 2u v w a   