2021高考数学大一轮复习考点规范练14导数的概念及运算理新人教A版

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考点规范练14　导数的概念及运算 ‎　考点规范练B册第8页　 ‎ 基础巩固 ‎1.已知函数f(x)=‎3‎x+1,则limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎3‎ B‎.‎‎1‎‎3‎ C‎.‎‎2‎‎3‎ D.0‎ 答案:A 解析:limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx=-limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎‎-Δx=-f'(1)=-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎-‎‎2‎‎3‎=-‎‎1‎‎3‎‎.‎ ‎2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(　　)‎ A.e B.-e C‎.‎‎1‎e D.-‎‎1‎e 答案:C 解析:由题意可得y=lnx的定义域为(0,+∞),且y'=‎‎1‎x‎.‎ 设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=‎1‎x‎0‎(x-x0).‎ 因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为‎1‎e‎.‎ ‎3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(　　)‎ A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3‎ 答案:C 解析:令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,‎ ‎∴f'(x)=4x-1,∴f(1)=1,f'(1)=3,‎ ‎∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.‎ ‎4.(2019广东七校联考)函数f(x)=xcos x的导函数f'(x)在区间[-π,π]上的图象大致是(　　)‎ 7‎ 答案:A 解析:由题意,得f'(x)=cosx+x(-sinx)=cosx-xsinx.因为f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数.又f'(0)=1,所以排除选项C,D.又f'π‎2‎=-π‎2‎<0,所以排除选项B.故选A.‎ ‎5.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)‎ A.(1,3) B.(-1,3)‎ C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)‎ 答案:C 解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.‎ 设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).‎ 经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.‎ ‎6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　)‎ A.-8 B.-6 C.-1 D.5‎ 答案:A 解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.‎ ‎∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),‎ ‎∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.‎ 将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,‎ 即ab=(-2)3=-8.故选A.‎ ‎7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)‎ 7‎ A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3‎ 答案:A 解析:设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).‎ 若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.‎ A项,f'(x)=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;‎ B项,f'(x)=‎1‎x(x>0),显然k1·k2=‎1‎x‎1‎‎·‎‎1‎x‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T;‎ C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex‎1‎‎·‎ex‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T;‎ D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x‎1‎‎2‎‎×‎3x‎2‎‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T.‎ 综上,选A.‎ ‎8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+‎15‎‎4‎x-9都相切,则a等于(　　)‎ A.-1或-‎25‎‎64‎ B.-1或‎21‎‎4‎ C.-‎7‎‎4‎或-‎25‎‎64‎ D.-‎7‎‎4‎或7‎ 答案:A 解析:因为y=x3,所以y'=3x2.‎ 设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x‎0‎‎3‎),‎ 则在该点处的切线斜率为k=3x‎0‎‎2‎,所以切线方程为y-x‎0‎‎3‎=3x‎0‎‎2‎(x-x0),即y=3x‎0‎‎2‎x-2‎x‎0‎‎3‎‎.‎ 又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=‎‎3‎‎2‎‎.‎ 当x0=0时,由y=0与y=ax2+‎15‎‎4‎x-9相切,可得a=-‎25‎‎64‎;‎ 当x0=‎3‎‎2‎时,由y=‎27‎‎4‎x-‎27‎‎4‎与y=ax2+‎15‎‎4‎x-9相切,可得a=-1.‎ ‎9.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　. ‎ 答案:-3‎ 解析:设f(x)=(ax+1)ex,‎ 7‎ ‎∵f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,‎ ‎∴f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.‎ ‎10.(2019广西柳州高中一模)已知函数f(x)=‎2‎ex‎+1‎+sin x,其导函数记为f'(x),则f(2 018)+f(-2 018)+f'(2 018)-f'(-2 018)的值为　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:因为f(x)=‎2‎ex‎+1‎+sinx,‎ 所以f'(x)=-‎2‎ex‎(ex+1‎‎)‎‎2‎+cosx,‎ 所以f(x)+f(-x)=‎2‎ex‎+1‎+sinx+‎2‎e‎-x‎+1‎+sin(-x)=2,‎ f'(x)-f'(-x)=-‎2‎ex‎(ex+1‎‎)‎‎2‎+cosx+‎2‎e‎-x‎(e‎-x+1‎‎)‎‎2‎-cos(-x)=0,‎ 所以f(2018)+f(-2018)+f'(2018)-f'(-2018)=2.‎ ‎11.函数f(x)=ln(2x+3)-2‎x‎2‎x的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎‎2‎ 解析:∵f'(x)=‎2‎‎2x+3‎‎-4xx-[ln(2x+3)-2x‎2‎]‎x‎2‎=‎2x‎2x+3‎‎-ln(2x+3)-2‎x‎2‎x‎2‎,‎ ‎∴f'(-1)=-4.‎ ‎∴切线方程为y=-4x-2.‎ ‎∴切线在x轴、y轴上的截距分别为-‎1‎‎2‎,-2.‎ ‎∴所求三角形的面积为‎1‎‎2‎‎.‎ ‎12.若函数f(x)=‎1‎‎2‎x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. ‎ 答案:[2,+∞)‎ 解析:∵f(x)=‎1‎‎2‎x2-ax+lnx,∴f'(x)=x-a+‎‎1‎x‎.‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,‎ 7‎ ‎∴x+‎1‎x-a=0有解,∴a=x+‎1‎x‎≥‎2(x>0).‎ 能力提升 ‎13.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)‎ 答案:D 解析:由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在(0,+∞)内单调递减,‎ 说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.‎ 又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,‎ 说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.‎ ‎14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)‎ A.1 B‎.‎‎2‎ C‎.‎‎2‎‎2‎ D‎.‎‎3‎ 答案:B 解析:因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-‎1‎x,令2x-‎1‎x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=‎2‎‎2‎‎=‎2‎.‎故所求的最小值为‎2‎‎.‎ ‎15.给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐点”是M(x0,f(x0)),则点M(　　)‎ A.在直线y=-3x上 ‎ B.在直线y=3x上 7‎ C.在直线y=-4x上 ‎ D.在直线y=4x上 答案:B 解析:由题意,知f'(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,‎ 由f″(x0)=0,知-4sinx0+cosx0=0,‎ 即4sinx0-cosx0=0,‎ 所以f(x0)=3x0+4sinx0-cosx0=3x0,‎ 即点M(x0,3x0),显然在直线y=3x上,故选B.‎ ‎16.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　. ‎ 答案:4‎ 解析:由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2.‎ ‎∵函数f(x)=g(x)+x2.‎ ‎∴f'(x)=g'(x)+2x,∴f'(1)=g'(1)+2=4,‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.‎ ‎17.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0))处的切线方程是　　　　　　　　　　. ‎ 答案:x-y+4=0‎ 解析:∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,‎ ‎∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.‎ ‎∴f(x)=ex‎+e‎-x+2x‎2‎+2‎‎2‎,g(x)=‎e‎-x‎-‎ex‎2‎‎.‎ ‎∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e‎-x‎-‎ex‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎ex+‎1‎‎2‎e-x+2x2+2.‎ ‎∴h'(x)=‎3‎‎2‎ex-‎1‎‎2‎e-x+4x,‎ 即h'(0)=‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=1.‎ 7‎ 又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.‎ 高考预测 ‎18.若函数f(x)=ln x-f'(1)x2+5x-4,则f'‎1‎‎2‎=　　　　　. ‎ 答案:5‎ 解析:∵f'(x)=‎1‎x-2f'(1)x+5,‎ ‎∴f'(1)=1-2f'(1)+5,解得f'(1)=2,‎ ‎∴f'‎1‎‎2‎=2-2+5=5.‎ 7‎