宁夏青铜峡市高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏青铜峡市高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

青铜峡市高级中学吴忠中学青铜峡分校 2019-2020 学年 第一学期高二年级数学(理)期末试卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 i 是虚数单位，复数 （　　　　） A. i﹣2 B. i+2 C. ﹣2 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】 直接利用复数代数形式的运算法则化简求值． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题． 2.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分 也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“ ”不能推出“ ”； “ ”能推出“ ”， 所以，“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选 B. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依 据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借 助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化 为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3.抛物线 的准线方程为（ 　 ） 【 5 2 i =− ( ) ( )( ) 5 25 2 2 2 i i i i +=− − + 10 5 24 ( 1) i i += = +− − 0x > 1x > 0x > 1x > 1x > 0x > 0x > 1x > p q ,p q q p⇒ ⇒ 2 1 4x y= A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝ 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p，再直接代入即可求出其准线方程． 【详解】解：∵抛物线的标准方程为 ， ∴其焦点在 y 轴上且 ， ∴ ， ∴抛物线的准线方程为 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，属于基础题． 4.已知命题 是无理数;命题 ,则下列命题中为真命题的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先对命题 p 和命题 q 的真假性做出判断，然后根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本 题答案. 【详解】 是无理数，故命题 p 是真命题， 是假命题； ，故命题 q 是假命题， 是真命题，所以 是真命题. 故选：C 【点睛】本题主要考查复合命题 真假性判断，属于基础题. 5.已知椭圆 ， 分别为其左、右焦点，椭圆上一点 到 的距离是 2， 是 的中点，则 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 的 1 4 − 1 8 1 16 1 16 − 2 1 4x y= 12 4p = 1 8p = 1 16y = − :p π :q 3 4> p q∧ p q¬ ∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬ π p¬ 3 4< q¬ p q∧ ¬ 2 2 125 9 x y+ = 1 2,F F M 1F N 1MF | |ON 【解析】 【分析】 根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果. 【详解】由椭圆定义得 ，因为 ，所以 因为 是 的中点，所以 =4，选 D. 【点睛】本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题. 6.已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故 ，即 ，故渐近线方程为 . 【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力. 【此处有视频，请去附件查看】 7.已知数列 是等比数列， 为其前 n 项和，若 ，a4＋a5＋a6＝6，则 S12 等 于( ) A. 45 B. 60 C. 35 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】 由等比数列的性质，可知 ， ， ， 也构成等比 数列，再由等比数列求和公式计算 ． 【详解】解：∵数列 是等比数列， ∴ ， ， ， 也构成等比数列， 2 1 2 10MF MF a+ = = 1 2MF = 2 8MF = N 1MF 2 2 MFON = 2 2 2 2: 1x yC a b − = ( 0, 0)a b> > 5 2 C 1 4y x= ± 1 3y x= ± 1 2y x= ± y x= ± 2 2 51 2 c be a a = = + = 2 2 1 4 b a = 1 2 b a = 1 2 by x xa = ± = ± { }na nS 1 2 3 3a a a+ + = 1 2 3a a a+ + 4 5 6a a a+ + 7 8 9a a a+ + 10 11 12a a a+ + 12S { }na 1 2 3a a a+ + 4 5 6a a a+ + 7 8 9a a a+ + 10 11 12a a a+ + 又 ， ， ∴该数列的公比 ，且项数为 4， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质与求和，熟记等比数列的有关性质可简化计算，属于 基础题． 8.过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，如果 ，那 么 　　 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为 ． 【详解】抛物线 中， ，∴ ，　故选 B． 【点睛】 是抛物线的焦点弦， ， ，抛物线 的焦点弦长 为 ， 抛 物 线 的 焦 点 弦 长 为 ， 抛 物 线 的 焦 点 弦 长 为 ， 抛 物 线 的 焦 点 弦 长 为 ． 9.在如图的正方体中，M、N 分别为棱 BC 和棱 的中点,则异面直线 AC 和 MN 所成的角为 ( ) 1 2 3 3a a a+ + = 4 5 6 6a a a+ + = 6 23q = = 4 12 3(1 2 ) 451 2S -= =- 2y 4x= ( ) ( )1 1 2 2A x , y B x , y 1 2x x 6+ = AB (= ) 1 2AB x x p= + + 2 4y x= 2p = 1 2 6 2 8AB x x p= + + = + = AB 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 0p > 2 2y px= 1 2AB x x p= + + 2 2y px= − 1 2( )AB x x p= − + + 2 2x py= 1 2AB y y p= + + 2 2x py= − 1 2( )AB y y p= − + + 1CC A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 将 平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小. 【详解】连接 如下图所示，由于 分别是棱 和棱 的中点，故 ，根据正方体的性质可知 ，所以 是异面直线 所成的 角，而三角形 为等边三角形，故 . 故选 C. 【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础 题. 10.若椭圆 和双曲线 的共同焦点为 ， ， 是两曲线的一个交点，则 的值为 ( ) A. B. 84 C. 3 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解． 【详解】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下： 【 30 45 60 90 ,AC MN 1 1 1 1, ,AC BC A B ,M N BC 1CC 1/ /MN BC 1 1/ /AC AC 1 1AC B∠ ,AC MN 1 1A BC 1 1 60AC B∠ =  2 2 125 16 x y+ = 2 2 - 14 5 x y = 1F 2F P 1 2PF PF⋅ 21 2 由椭圆方程 可得： ， 由椭圆定义可得： …（1）， 由双曲线方程 可得： ， ， 由双曲线定义可得： …（2） 联立方程（1）（2），解得： ， 所以 故选 D. 【点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计 算能力，属于中档题． 11.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则 a10＋b10 ＝( ) A. 121 B. 123 C. 231 D. 211 【答案】B 【解析】 【分析】 观察可得各式的值构成数列 1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递 推规律求解． 【详解】解：观察可得各式的值构成数列 1，3，4，7，11，…， 其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项； 继续写出此数列为 1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…， 2 2 125 16 x y+ = 2 1 25a = 1 5a = 1 2 12 10PF PF a+ = = 2 2 14 5 x y− = 2 2 4a = 2 2a = 1 2 22 4PF PF a− = = 1 27, 3PF PF= = 1 2 3 7 21PF PF⋅ = × = 第十项为 123，即 ， 故答案为：123． 【点睛】本题主要考查数列中的规律问题，要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列， 从特殊到一般，进行归纳推理． 12.对于任意实数 x，符号[x]表示 x 的整数部分，即[x]是不超过 x 的最大整数，例[2]=2； [2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。 那么 的值为( ) A. 21 B. 76 C. 264 D. 642 【答案】C 【解析】 【分析】 利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知各项的值，再求和即可． 【详解】解：由题意有， ， 两个数都是 1， 到 四个数都是 2， 到 八个数都是 3， 到 十六个数都是 4， 到 三十二个数都是 5， ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对数的运算，正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题 的关键． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．） 10 10 123a b+ = 2 2 2 2[log 1] [log 2] [log 3] [log 64]+ + + 2[log 1] 0= 2 2[log 2],[log 3] 2[log 4] 2[log 7] 2[log 8] 2[log 15] 2[log 16] 2[log 31] 2[log 32] 2[log 63] 2[ 6log 4] 6= 2 2 2 2[log 1] [log 2] [log 3] [log 64]+ + + 0 2 1 4 2 8 3= + × + × + × 16 4 32 5 6+ × + × + 264= 13.已知 的三个顶点为 ， ， ，则 边上的中线长 为 ． 【答案】3 【解析】 试 题 分 析 ： 线 段 中 点 的 坐 标 为 ， 因 此 边 上 的 中 线 长 考点：空间中两点间的距离公式； 14.双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 _________ . 【答案】4 【解析】 分析】 根据双曲线的几何性质求得实轴长、虚轴长，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意有，实轴长为 2，虚轴长为 ， ∴ ，得 ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 15.直线 y= x+1 被椭圆 x 2+2y 2=4 所截得的弦的中点坐标是 【答案】(— , ) 【解析】 【详解】解：将直线 y＝x＋1 代入椭圆 x 2+2y 2=4 中，得 ∴弦的中点横坐标是 ， 代入直线方程中，得 ∴弦的中点是 ， 【 ABC∆ (3,3,2)A (4, 3,7)B − (0,5,1)C BC BC ( )2,1,4D BC ( ) ( ) ( )2 2 23 2 3 1 2 4 3AD = − + − + − = 2 2 1yx m − = m = 2 m 2 2 2m = × 4m = 2 22( 1) 4x x+ + = 23 4 2 0x x∴ + − = 1 4 2 2 3 3x  = × − = −   1 3y = 2 1,3 3  −   故答案为： 16.已知数列 中， ，则数列 通项公式为 _____． 【答案】 【解析】 试题分析： 为等比数列，公比为 3，首项为 ，所以通项公式为 考点：构造法求数列通项公式 三.解答题 17.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn 的最小值． 【答案】（1）an＝2n－9（2）Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16，最小值为－16 【解析】 【分析】 (1)由等差数列通项公式可得： ； (2)由等差数列前 项和公式可得： ，再结合二次函数求最值 即可. 【详解】解：(1)设 的公差为 d，由题意得 由 得 ， 所以 的通项公式为 ； (2)由(1)得 ， 所以当 时， 取得最小值，最小值为－16. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前 项和，属基础题. 18.（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 ，且长轴长是短轴长的 2 倍，求该椭 圆的标准方程； 2 1,3 3  −   { }na ( )* 1 11, 3 4 , 2n na a a n N n−= = + ∈ ≥且 { }na 3 2n na = − ( ) { }1 13 4 2 3 2 2n n n n na a a a a− −= + ∴ + = + ∴ + 1 2 3a + = 12 3 3 3n n na −+ = ⋅ = 3 2n na∴ = − 2 9na n= − n 2( 7 2 9) 82n n nS n n − + −= = − { }na 13 15,a d+ = − 1 7a = − 2d = { }na 2 9na n= − 2 2( 7 2 9) 8 ( 4) 162n n nS n n n − + −= = − = − − 4n = nS n ( )2 3,0F − （2）已知双曲线焦点在 y 轴上，焦距为 10，双曲线的渐近线方程为 ，求双曲线的 方程． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质列出方程组，解出即可； （2）根据双曲线的几何性质列出方程组，解出即可． 【详解】解：（1）由题意，该椭圆的焦点在 x 轴，设椭圆的标准方程为 ， ∴ ，解得 ， ∴该椭圆的标准方程为 ； （2）由题意，设双曲线的标准方程为 ，设焦距为 2c， ∴ ，解得 ， ∴该双曲线的方程为 ． 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的简单性质的应用，是对圆锥曲线基础知识的考查，属 于基础题． 19.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ． （1）求角 C 的大小 （2）若 ， 面积为 ，求 的周长．的 2 0x y± = 2 2 116 4 x y+ = 2 2 15 20 y x− = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )22 2 2 2 2 2 3 a b a b = ⋅ − = 4 2 a b =  = 2 2 116 4 x y+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > > 2 2 2 1 2 2 10 a b c a b c  + =  =  = 5 2 5 5 a b c  =  =  = 2 2 15 20 y x− = ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3 cos sinb C c B= 2 7c = ABC∆ 6 3 ABC∆ 【答案】（Ⅰ） ．（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得 值，结合范围 ，即可得解 的值． （Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得 ，再利用余弦定理化简可得 值，联立得 从 而解得 周长． 【详解】（Ⅰ）由正弦定理 ，得 ， 在 中，因为 ，所以 故 ， 又因为 0＜C＜ ，所以 ． （Ⅱ）由已知，得 . 又 ，所以 . 由已知及余弦定理，得 ， 所以 ，从而 .即 又 ，所以 的周长为 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属 于基础题． 20.如图，在直三棱柱 中，已知 ， .设 的中点 ， .求证： 3C π= 10 2 7+ tanC ( )0,C π∈ C ab a b+ ,a b ABC∆ sin sin b c B C = 3sin cos sin sinB C B C= ABC sin 0B ≠ 3cos sinC C= tan 3C = π 3C π= 1 sin 6 32 ab C = 3C π= 24ab = 2 2 2 cos 28a b ab C+ − = 2 2 =52a b+ ( )2 100a b+ = 10a b+ = 2 7c = ABC∆ 10 2 7+ 1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ 1BC CC= AB D 1 1B C BC E= （1） 平面 ； （2） . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为 D,E 为中点，利用中位线即可证明； （2）只需证明 平面 即可，显然可证 ，因此原命题得证. 试题解析： ⑴在直三棱柱 中， 平面 ，且 矩形 是正方形， 为 的中点， 又 为 的中点， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ⑵在直三棱柱 中， 平面 , 平面 , 又 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， DE  1 1AAC C 1 1BC AB⊥ 1BC ⊥ 1B AC 1 1 1BC B C AC B C⊥ ⊥， 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ 1 1 1A B C 1BC CC= ∴ 1 1BB C C E∴ 1B C D 1AB / /DE AC∴ DE ⊄ 1 1AACC AC ⊂ 1 1AACC //DE∴ 1 1AACC 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC AC ⊂ ABC 1AC CC∴ ⊥ AC BC⊥ 1CC ⊂ 1 1BCC B BC ⊂ 1 1BCC B 1BC CC C∩ = AC∴ ⊥ 1 1BCC B 1BC ⊂ 1 1BCC B 1AC B C∴ ⊥ 矩形 是正方形， ， 平面 ， ， 平面 又 平面 ， . 点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在 平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂 直. 21.如图， 是圆的直径， 垂直圆所在的平面， 是圆上的一点. （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先证 ， ，从而 平面 ，再由面面垂直的判定定理得到平面 平面 ． （2）作 平面 ，以点 为坐标原点，分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线 与平面 所成角的正弦值． 【详解】（1）由 是圆的直径，得 ， 由 平面 ， 平面 ，得 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . （2）如图，作 平面 ，以点 为坐标原点，分别以直线 ， ， 为  1 1BCC B 1 1BC B C∴ ⊥ 1,AC B C ⊂ 1B AC 1C C CΑ ∩Β = 1BC∴ ⊥ 1B AC 1AB ⊂ 1B AC 1 1BC AB∴ ⊥ AB PA C PAC ⊥ PBC 2 , 1AB AC PA= = = PA PBC 2 2 PA BC⊥ AC BC⊥ BC ⊥ PAC PAC ⊥ PBC CM ⊥ ABC C CB CA CM x y z PA PBC AB AC BC⊥ PA ⊥ ABC BC ⊂ ABC PA BC⊥ PA AC A= PA ⊂ PAC AC ⊂ PAC BC∴ ⊥ PAC BC ⊂ PBC ∴ PBC ⊥ PAC CM ⊥ ABC C CB CA CM 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系. 在 中， ， ， . 又 ， ， ， . 故 ， . 设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 . ，设直线 与平面 所成角为 ， . 直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题考查面面垂直的证明、线面角的正弦值，考查推理论证能力和运算求解能力， 求解时要注意充分发挥空间想象能力，将定判定定理和性质定理的条件写完整． 22.设 , 分别是椭圆 E： + =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 的直线 与 E 相交 于 A、B 两点，且 ， ， 成等差数列． x y z Rt ABC∆ 2AB = 1AC = 3BC∴ = 1PA = ( )0,1,0A∴ ( )3,0,0B ( )0,1,1P ( )3,0,0CB = ( )0,1,1CP = BCP ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 0, 0, CB n CP n  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 3 0, 0, x y z  =∴ + = 1 1y = ( )1 0,1, 1n = − ( )0,0,1AP =  PA PBC θ ∴ 1 1 1 1 2sin cos , 22 AP nAP n AP n θ ⋅ −= < > = = =      ∴ PA PBC 2 2 1F 2F 2x 2 2 y b 1F l 2AF AB 2BF （Ⅰ）求 （Ⅱ）若直线 的斜率为 1，求 b 的值． 【答案】（1） （2） , 【解析】 【详解】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝ . (2)l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ ， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组 消去 y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|＝ |x2－x1|，即 ＝ |x2－x1|. 则 ＝(x1＋x2)2－4x1x2＝ － ＝ ，解得 b＝ . 【此处有视频，请去附件查看】 AB l 4 3 2 2b = 4 3 21 b− 2 2 2 { 1 y x c yx b + ＝ ＋ ， ＝ 2 2 1 c b − + 2 2 1 2 1 b b − + 2 4 3 2 8 9 ( ) 2 22 4(1 ) 1 b b − + ( ) 2 2 4(1 2 ) 1 b b − + ( ) 4 22 8 1 b b+ 2 2