江苏省扬州市高邮市2020届高三上学期开学考试数学（文）试题

江苏省扬州市高邮市2020届高三上学期开学考试数学（文）试题

‎2020届高三年级阶段性学情调研 数学（文科）试题2019.09‎ 一、填空题（请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎1.已知集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集定义直接可得结果.‎ ‎【详解】因为集合，‎ 所以，由交集的定义得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.‎ ‎【详解】，‎ 令得.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3.函数的定义域为________．‎ ‎【答案】[2，+∞）‎ ‎【解析】‎ 分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.‎ 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.‎ 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.‎ ‎4.已知直线l1：和l2：平行，则实数a的值为_______．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用两直线平行时方程中系数所满足的条件，列出对应的等式和不等式，最后求得结果.‎ ‎【详解】当两直线平行时，有，解得，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线平行时，方程的系数所满足的条件，需要注意的是需要将重合的情况排除，属于简单题目.‎ ‎5.设命题；命题，那么是的______条件.（选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到命题中的范围，根据集合的包含关系可得结果.‎ ‎【详解】由得：或，可知是或的真子集 是的充分不必要条件 本题正确结果：充分不必要 ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是能够明确充分必要条件与集合包含关系之间的关系.‎ ‎6.已知的内角所对的边分别为，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】,,‎ 是锐角，由正弦定理可得，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形以及特殊角的三角函数，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎7.已知函数，若，则实数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论和两种情况，构造方程求得结果.‎ ‎【详解】当时，，解得：‎ 当时，，解得：（舍）‎ 综上所述： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数值求解参数值的问题，属于基础题.‎ ‎8.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果.‎ ‎【详解】函数，可得，‎ 所以切线的斜率为，解得，‎ 故答案是3.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.‎ ‎9.若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若“，使得成立”是假命题，即“，使得成立”是假命题，由，当时，函数取最小值，故实数的取值范围为，故答案为.‎ 点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的图像向右平移 个单位得，因为过坐标原点，所以 ‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ ‎11.已知，，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的范围和同角三角函数关系可求得；利用二倍角公式可求得和；将所求角拆为，利用两角和差正弦公式求得结果.‎ ‎【详解】 ，又 ‎ ‎，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换的求值问题，涉及到同角三角函数关系、二倍角的正弦和余弦公式、两角和差正弦公式的应用；关键是能够将所求角拆分为两个已知三角函数值的角的形式，从而利用两角和差公式来进行求解.‎ ‎12.如下图，在中，．若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为,又因为，所以，也即，所以，又，故 ‎，由余弦定理得，则，应填答案。‎ 点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。‎ ‎13.在平面直角坐标系中，己知直线与曲线从左至右依次交于三点，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据奇偶性可知关于原点对称，从而可知关于原点对称；根据向量加法运算法则可知，从而根据模长可得点轨迹为圆；根据圆与直线有交点，利用圆心到直线距离小于等于半径可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】 为奇函数，图象关于原点对称 又关于原点对称 两点必关于原点对称，则为中点 根据向量加法运算法则可知：，又 ‎ 即点轨迹是以为圆心，为半径圆：‎ 直线与有交点 圆心到直线的距离：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题；关键是能够根据直线与曲线的对称性得到两交点关于原点对称，利用对称性和向量运算法则可得到点轨迹方程.‎ ‎14.已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据分段函数解析式作出函数的图像如图，是过定点的动直线，‎ 关于的方程恰有三个不同的实数解，就是直线与曲线有三个交点，所以当直线过点或或与在上的图像相切时有三个交点，当直线过时，，当直线过时，，当直线与在上相切时，可得，当直线与在上相切时，可得，故填：．‎ 点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题．一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高．‎ 二、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.己知，为钝角，且，.‎ ‎（1）求的值：‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）-2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据为钝角可知，利用二倍角公式可构造方程求出，根据同角三角函数关系可求得结果；（2）根据同角三角函数关系和为钝角可求得，利用两角和差余弦公式可求得结果.‎ ‎【详解】（1），解得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）， ‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解同角三角函数值时出现符号错误.‎ ‎16.已知，，.‎ ‎（1）求与的夹角；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量数量积的运算律，利用可求得；根据数量积的定义可求得，根据可求得结果；（2）先利用平方运算，根据数量积运算律可求得，开方得到结果；（3）利用垂直关系可知，根据数量积运算律可构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，即 ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ 即，解得：‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的综合应用，涉及到向量数量积的运算律、已知数量积求向量夹角、向量模长的求解、垂直关系的向量表示等知识.‎ ‎17.在中，，，分别为角，，所对边的长，.‎ ‎（1）求角的值：‎ ‎（2）设函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值.（2）首先化简为的形式，在根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）在中，因为，‎ 由正弦定理，‎ 所以．‎ 即，‎ 由余弦定理，得．‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）因为 由（1）可知，且在中，‎ 所以，即 所以，即 所以的取值范围为 ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎18.在平面直角坐标系中，己知圆，且圆被直线截得的弦长为2.‎ ‎（1）求圆标准方程；‎ ‎（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；‎ ‎（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或或或；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】（1）圆方程可整理为： ‎ 圆的圆心坐标为，半径 圆心到直线距离：‎ 截得的弦长为：，解得：‎ 圆的标准方程为：‎ ‎（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即 直线与圆相切 圆心到直线距离，解得：‎ 切线方程为：‎ ‎②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即 圆心到直线距离，解得：或 切线方程为或 综上所述，切线方程为或或 ‎（3）假设 ‎，即 又直线与圆相切，切点为 ‎ 即：，整理得：‎ 又在圆上 两圆有公共点 ‎，解得：‎ 即的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.‎ ‎19.如图，在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和，现计划在和路边各修建一个物流中心和.‎ ‎（1）若在处看，的视角，在处看测得，求，；‎ ‎（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设，公路的每千米建设成本为万元，公路的每千米建设成本为万元.为节省建设成本，试确定，的位置，使公路的总建设成本最小.‎ ‎【答案】（1），；（2）当为，且为 时，成本最小．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用，以及的展开公式列方程，解方程求得的值.（2）利用表示出，由此求得总成本的表达式，利用导数求得为何值时，总成本最小.‎ ‎【详解】解：（1）在中，由题意可知，，则．‎ 在中，，在中 因为，所以，‎ 于是 所以 答：，‎ ‎（2）在中，由题意可知，则．‎ 同理中，，则．‎ 令，，‎ 则，‎ 令，得，记，，‎ 当时，，单调减；‎ 当时，，单调增．‎ 所以时，取得最小值，‎ 此时，．‎ 所以当为，且为时，成本最小．‎ ‎【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查解直角三角形，考查利用角度表示边长，考查实际应用问题的求解策略，考查利用导数求最小值，属于中档题.‎ ‎20.己知函数在处的切线方程为，函数.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）设（表示，中的最小值），若在上恰有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）极小值，无极大值．（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数导数，利用切点坐标和函数在时切线的斜率也即导数列方程组，解方程组求得的值，进而求得函数的解析式.（2）先求得的定义域和导函数，对分成两种情况，通过函数的单调性讨论函数的极值.（3）先根据（1）判断出有且仅有一个零点，故需在上有仅两个不等于1的零点.根据（2）判断出当时，没有三个零点；当时，通过零点存在性定理以及利用导数的工具作用，证得分别在，分别有个零点，符合题意.由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为在处的切线方程为 所以，‎ 解得 所以 ‎（2）的定义域为，‎ ‎①若时，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，无极值 ‎②若时，则当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增；‎ 所以当时，有极小值，无极大值．‎ ‎（3）因为仅有一个零点1，且恒成立，‎ 所以在上有仅两个不等于1的零点．‎ ‎①当时，由（2）知，在上单调递增，‎ 在上至多一个零点，不合题意，舍去 ‎②当时，，在无零点 ‎③当时，，当且仅当等号成立，在仅一个零点 ‎④当时，，，所以，‎ 又图象不间断，在上单调递减 故存在，使 又 下面证明，当时，‎ ‎，在上单调递增 所以，‎ 又图象在上不间断，在上单调递增，‎ 故存在，使 综上可知，满足题意的的范围是 ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用函数图像上某点的切线方程求函数解析式，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎ ‎ ‎