2018-2019学年黑龙江省东南联合体高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省东南联合体高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省东南联合体高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 直线的斜率为 直线的倾斜角为：，‎ 可得：‎ 故选 ‎2．等差数列中， ，则的值为 ( )‎ A．14 B．17 C．19 D．21‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的性质，.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的性质，属于基础题型.‎ ‎3．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） ‎ A．1 B．3 C．6 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，‎ 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，‎ 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.‎ 四棱锥的体积是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．‎ ‎4．以点和为直径两端点的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可根据已知点直接求圆心和半径.‎ ‎【详解】‎ 点和的中点是圆心，‎ 圆心坐标是 ，‎ 点和间的距离是直径，‎ ‎，即，‎ 圆的方程是.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程的求法，属于基础题型.‎ ‎5．中,，则（ ）‎ A．5 B．6 C． D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据余弦定理，可求边长.‎ ‎【详解】‎ ‎，代入数据 ‎，化解为 ‎ 解得 或（舍）‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知两边及其一边所对角，求另一边，这种题型用余弦定理，属于基础题型.‎ ‎6．不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 由题意，∴，‎ 即，解得，‎ ‎∴该不等式的解集是，故选．‎ ‎7．已知正实数满足，则的最小值（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时的最小值为3.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎8．若，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】逐一判断每一个选项的真假.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A,，所以A成立.‎ 对于选项B,因为是R上的增函数，所以，所以选项B成立.‎ 对于选项C,因为，所以，‎ 由在上单调递减可知：，因此C不成立．‎ 对于选项D,因为函数在x＜0时，是减函数，所以，所以D成立.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较大小常用作差法，常用函数的单调性比较.‎ ‎9．无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过整理直线的形式，可求得所过的定点.‎ ‎【详解】‎ 直线可整理为，‎ 当 ，解得，‎ 无论为何值，直线总过定点.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.‎ ‎10．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，连接，设其交平面于点易知平面，即（或其补角）为与平面所成的角，再利用等体积法求得AO的长度，即可求得的长度，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设正方体的边长为1，如图，连接，设其交平面于点，则易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱锥中，由等体积法知，，即，解得，所以.‎ 连接，则（或其补角）为与平面所成的角.在中，.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中线面角的求法，作出线面角是解题的关键，求高的长度会用到等体积法，属于中档题.‎ ‎11．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：‎ ‎①若m∥α，m∥β，则α∥β ‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；‎ ‎④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．④‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎①若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，错误命题；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交．错误的命题；‎ ‎③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交,也可能n∥α，是错误命题；‎ ‎④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象力，属于中档题.‎ ‎12．．设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相离. B．相切. C．相交. D．随m的变化而变化.‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线AB的方程为.‎ 即，所以直线AB的方程为,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.‎ 二、填空题 ‎13．设满足约束条件，则目标函数 的最大值为______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】首先画出可行域，然后判断目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 如图，画出可行域，‎ 作出初始目标函数，平移目标函数，当目标函数过点时，目标函数取得最大值，‎ ‎ ，解得,‎ ‎.‎ 故填：7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划问题，属于基础题型.‎ ‎14．在数列中，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 因为,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎15．过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据圆的几何性质，可分析出当点是弦的中点时，劣弧最短，利用圆心和弦的中点连线与直线垂直，可求得直线方程.‎ ‎【详解】‎ 当劣弧最短时，即劣弧所对的弦最短，‎ 当点是弦的中点时，此时弦最短，也即劣弧最短，‎ 圆：，圆心，‎ ‎, ,‎ 直线方程是，即，‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的几何性质，属于基础题型.‎ ‎16．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列四个命题正确的是________．‎ ‎①若l⊥β，则α⊥β；②若α⊥β，则l⊥m；③若l∥β，则α∥β；④若α∥β，则l∥m. ‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】由线面的平行垂直的判定和性质一一检验即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由平面与平面垂直的判定可知，①正确；②中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；③中，l∥β时，α，β可以相交；④中，α∥β时，l，m也可以异面．‎ 故答案为①.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面、面面的垂直和平行位置关系的判定和性质，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．求过点且与圆相切的直线方程.‎ ‎【答案】直线方程为或 ‎【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，可解出的值，从而求出方程。‎ ‎【详解】‎ 当直线的斜率不存在时，直线方程为，经检验，满足题意.‎ 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，‎ 圆心到直线的距离等于半径，即，‎ 可解得.‎ 即直线为.‎ 综上，所求直线方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的切线的求法，考查了直线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题。‎ ‎18．在等差数列{}中，=3，其前项和为，等比数列{}的各项均为正数，‎ ‎=1，公比为q,且b2+ S2=12，．‎ ‎（1）求与的通项公式；‎ ‎（2）设数列{}满足，求{}的前n项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据等差数列{}中，=3，其前项和为，等比数列{}的各项均为正数，=1，公比为q,且b2+ S2=12，，设出基本元素，得到其通项公式；（2）由于，所以，那么利用裂项求和可以得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 设：{}的公差为,‎ 因为，所以，‎ 解得=3或=-4（舍）,=3．‎ 故，；‎ ‎（2）因为 故 ‎.‎ 本题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和，以及数列求和的综合运用.‎ ‎19．的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角； ‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为，再利用，可知，最后化简求值；‎ ‎（2）利用余弦定理可求得，代入求面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知以及余弦定理得： ‎ 所以 ‎, ‎ ‎ ‎ ‎（2）由题知， ‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视的变形使用.‎ ‎20．已知圆，过点作直线交圆于、两点．‎ ‎（1）当经过圆心时，求直线的方程；‎ ‎（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长；‎ ‎（3）求直线被圆截得的弦长时，求以线段为直径的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2） ；（3）.‎ ‎【解析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长；（3）利用垂径公式，明确是 的中点，进而得到以线段为直径的圆的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（）圆的方程可化为，圆心为，半径为．‎ 当直线过圆心，时，，‎ ‎∴直线的方程为，即．‎ ‎（）因为直线的倾斜角为且过，所以直线的方程为，即．‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴弦．‎ ‎（）由于，而弦心距，‎ ‎∴，∴是的中点．‎ 故以线段为直径的圆圆心是，半径为．‎ 故以线段为直径的圆的方程为．‎ ‎21．如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，平面．‎ ‎（）求证：平面；‎ ‎（）若，，，求三棱锥的体积；‎ ‎（）设平面平面直线，试判断与的位置关系，并证明．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析.‎ ‎【解析】（1）根据题意得到，，面从而得到线线垂直；（2）由图形特点得到面，代入数据可得到体积值；（3）证明平面，利用平面平面，可得．.‎ ‎【详解】‎ ‎（）证明：∵面，‎ 面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 面，‎ 面，，‎ ‎∴面，‎ ‎∵底面为平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴面．‎ ‎（）∵底面为平行四边形，‎ 面，‎ ‎∴面，‎ ‎∴．‎ ‎（）．‎ 证明：∵底面为平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵面，面，‎ ‎∴面，‎ 又∵面面，‎ 面，‎ ‎∴．‎ ‎22．某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A、B的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．‎ ‎【答案】‎ 甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．‎ ‎【解析】本题可先将甲种薄钢板设为张，乙种薄钢板设为张，然后根据题意，得出两个不等式关系，也就是、以及薄钢板的总面积是，然后通过线性规划画出图像并求出总面积的最小值，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 设甲种薄钢板张，乙种薄钢板张，‎ 则可做种产品外壳个，种产品外壳个，‎ 由题意可得，薄钢板的总面积是，‎ 可行域的阴影部分如图所示，其中，与的交点为，‎ 因目标函数在可行域上的最小值在区域边界的处取得，‎ 此时的最小值为 即甲、乙两种薄钢板各张，能保证制造的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小。‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤 ‎①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直角坐标系中的任意一条直线；‎ ‎②平移：将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较；‎ ‎③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。‎ ‎（2）用线性规划解题时要注意的几何意义。‎