2020届二轮复习（理）专题七第1讲坐标系与参数方程学案

2020届二轮复习（理）专题七第1讲坐标系与参数方程学案

专题七 选修4系列 第1讲　坐标系与参数方程 ‎「考情研析」　　　　高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题．该部分试题难度一般不大.‎ 核心知识回顾 ‎1.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则 ‎(ρ，θ)⇒(x，y)‎ ‎(x，y)⇒(ρ，θ)‎ ‎2．常见圆的极坐标方程 ‎(1)圆心在极点，半径为r的圆：ρ＝r(0≤θ<2π)．‎ ‎(2)圆心为M(a,0)，半径为a的圆：ρ＝2acosθ.‎ ‎(3)圆心为M，半径为a的圆：ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)．‎ ‎3．常见直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点，直线的倾斜角为α：θ＝α(ρ∈R)．‎ ‎(2)直线过点M(a,0)，且垂直于极轴：ρcosθ＝a.‎ ‎(3)直线过点M，且平行于极轴：ρsinθ＝a(0<θ<π)．‎ ‎4．直线、圆与椭圆的参数方程 热点考向探究 考向1 极坐标方程及应用 例1　(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.‎ ‎(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ 解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，‎ 当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.‎ 由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.‎ 设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．‎ 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.‎ 经检验，点P在曲线ρcos＝2上，‎ 所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，‎ 即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，‎ 所以θ的取值范围是.‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.‎ 直角坐标与极坐标方程的互化及应用 ‎(1)直角坐标方程化极坐标方程时，通常可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．‎ ‎(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．‎ ‎(2019·武汉市高三调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：ρsin(θ＋)＝，C2：ρ2＝.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．‎ 解　(1)由ρsin(θ＋)＝得 ρ(sinθcos＋cosθsin)＝，‎ 将代入上式得x＋y＝1.‎ 即C1的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 同理，由ρ2＝可得3x2－y2＝1，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.‎ ‎(2)∵PM⊥PN，先求以MN为直径的圆，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0.‎ 考向2 参数方程及应用 例2　(2019·四川省华文大教育联盟高三第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎(2)直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|＝1，求直线l的方程．‎ 解　(1)对曲线C：消去参数θ，得x2＋y2＝1.‎ 对直线l：消去参数t，‎ 当cosα＝0时，l：x＝2；‎ 当cosα≠0时，l：y＝tanα(x－2)．‎ ‎(2)把 代入x2＋y2＝1中，得t2＋4tcosα＋3＝0.‎ 因为Δ＝16cos2α－12>0，所以cos2α>.‎ 因为t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，|AB|＝|t1－t2|＝1，‎ 所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝16cos2α－12＝1，‎ 所以cos2α＝，所以tan2α＝＝.‎ 所以tanα＝±，即直线l的斜率为±.‎ 所以直线l的方程为y＝x－或y＝－x＋.‎ 参数方程化为普通方程消去参数的方法 ‎(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．‎ ‎(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．‎ ‎(3)常见消参数的关系式：‎ ‎①t·＝1；‎ ‎②2－2＝4；‎ ‎③2＋2＝1.‎ ‎(2019·太原市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；‎ ‎(2)已知点A(0,1)，若曲线C1方程中的参数是t,0<α<π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求＋的最大值．‎ 解　(1)∵ρ＝2cosθ，‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ ‎∵α是曲线C1：的参数，‎ ‎∴C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2，‎ ‎∵C1与C2有且只有一个公共点，‎ ‎∴|t|＝－1或|t|＝＋1，‎ ‎∴C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝(－1)2或x2＋(y－1)2＝(＋1)2.‎ ‎(2)∵t是曲线C1：的参数，‎ ‎∴C1是过点A(0,1)的一条直线，‎ 设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，‎ 把代入(x－1)2＋y2＝1‎ 得t2＋2(sinα－cosα)t＋1＝0，‎ 考向3 极坐标与参数方程的综合应用 角度1　极坐标方程中极径几何意义的应用 例3　在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝4y＋4.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的斜率．‎ 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ2cos2θ－4ρsinθ－4＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2cos2α－4ρsinα－4＝0，‎ 因为cos2α≠0(否则，直线l与抛物线C没有两个公共点)，于是ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－，|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝＝，‎ 由|AB|＝8得cos2α＝，‎ tanα＝±1，所以l的斜率为1或－1.‎ ‎(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．‎ ‎(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．‎ ‎(2019·哈尔滨市第三中学高三第一次模拟)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ 解　(1)∵C2的参数方程为(φ为参数)，‎ ‎∴其普通方程为＋＝1，‎ 又C1：x＋y＝，‎ 角度2　直线参数方程中参数几何意义的应用 例4　(2019·山东高三模拟)在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数，α为直线l的倾斜角)，点P和F的坐标分别为(－1,3)和(1,0)；以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且·＝22，求α的值．‎ 解　(1)由ρ＝，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)将代入y2＝4x得，t2sin2α＋(6sinα－4cosα)t＋13＝0(sin2α≠0)，‎ 由题意，得Δ＝(6sinα－4cosα)2－4×13sin2α>0，(*)‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝，‎ 由点P在直线l上，得 ·＝||·||＝|t1t2|＝，‎ ‎22＝2||2＝2×()2＝26，‎ 所以＝26，即sinα＝±，‎ 结合0≤α≤π，所以α＝或α＝，将α代入(*)，‎ 可知α＝不适合，α＝适合．‎ 综上，α＝.‎ 对直线参数方程(t为参数)，其中M0(x0，y0)为定点，α为直线倾斜角的理解 ‎(1)几何意义：参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离，若t>0，则的方向向上；若t<0，则的方向向下；若t＝0，则点M与M0重合．‎ ‎(2)应用：一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A，B两点，与弦长|AB|及其相关的问题，解决的方法是首先用t表示出弦长，再结合根与系数的关系构造方程、函数式等解决问题．‎ ‎(2019·广州市普通高中高三综合测试)在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8.‎ ‎(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的倾斜角．‎ 解　(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＝2.‎ 当α≠时，‎ 直线l的直角坐标方程为y－＝tanα(x－2)．‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，‎ 又因为ρ2＝2ρcosθ＋8，所以x2＋y2＝2x＋8.‎ 所以C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.‎ ‎(2)因为曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0，‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得 t2＋(2sinα＋2cosα)t－5＝0.‎ 因为Δ＝(2sinα＋2cosα)2＋20>0，所以可设该方程的两个根为t1，t2，则t1＋t2＝－(2sinα＋2cosα)，t1t2＝－5.‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝ ＝4.‎ 整理得(sinα＋cosα)2＝3，故2sin(α＋)＝±.‎ 因为0≤α<π，所以α＋＝或α＋＝，‎ 解得α＝或α＝，‎ 综上所述，直线l的倾斜角为或.‎ 真题押题 ‎『真题模拟』‎ ‎1．(2019·大庆市高三第三次教学质量检测)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线l2的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)．‎ ‎(1)求直线l1的倾斜角及极坐标方程；‎ ‎(2)若射线l2与l1交于点M，与圆C交于点N(异于原点)，求|OM|·|ON|.‎ 解　(1)消去方程中的参数t，整理得x＋y－4＝0，‎ ‎∴直线l1的普通方程为x＋y－4＝0.‎ 设直线l1的倾斜角为α，则tanα＝－，‎ ‎∵0≤α<π，∴α＝.‎ 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y－4＝0，可得直线l1的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝4.‎ ‎(2)把θ＝代入l1的极坐标方程中得|OM|＝ρ1＝，‎ 把θ＝代入圆的极坐标方程中得|ON|＝ρ2＝2，‎ ‎∴|OM|·|ON|＝ρ1ρ2＝8.‎ ‎2．(2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.‎ ‎(1)求A，B两点间的距离；‎ ‎(2)求点B到直线l的距离．‎ 解　(1)设极点为O.‎ 在△OAB中，A，B，‎ 由余弦定理，得 ‎|AB|＝ ＝.‎ ‎(2)因为直线l的方程为ρsin＝3，‎ 所以直线l过点，倾斜角为.‎ 又B，所以点B到直线l的距离为(3－)×sin＝2.‎ ‎3．(2019·郴州市高三第三次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，0≤α<π)，点M(0，－2)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos（θ＋）.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其形状；‎ ‎(2)曲线C1与曲线C2交于A，B两点，若＋＝，求sinα的值．‎ 解　(1)由ρ＝4cos（θ＋），得ρ＝4cosθ－4sinθ，‎ 所以ρ2＝4ρcosθ－4ρsinθ，‎ 即x2＋y2＝4x－4y，(x－2)2＋(y＋2)2＝8.‎ 所以曲线C2是以(2，－2)为圆心，2为半径的圆．‎ ‎(2)将代入(x－2)2＋(y＋2)2＝8，‎ 整理得t2－4tcosα－4＝0，‎ 设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4cosα，t1t2＝－4.‎ ＋＝＝ ‎＝＝＝ ‎＝.解得cos2α＝，则sinα＝.‎ ‎ ‎ 解　(1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，‎ 所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，‎ M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，‎ M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知 若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；‎ 若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；‎ 若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.‎ 综上，P的极坐标为或或或.‎ ‎『金版押题』‎ ‎5．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4，曲线C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；‎ ‎(2)极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解　(1)由题意可得，曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1，C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由点A，B在曲线C1上，得 ρ＝，ρ＝，‎ 则＝，＝，‎ 因此＋＝＋＝.‎ 配套作业 ‎1．(2019·广西八市高三联合考试)已知曲线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos（θ－）.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P(2,1)，直线l与曲线C交于点A，B，求|PA|·|PB|的值．‎ 解　(1)由ρ＝4cos（θ－），得ρ＝4cosθ＋4sinθ，‎ ‎∴ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ ‎∴x2＋y2＝4x＋4y，‎ 即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.‎ ‎(2)将代入C的直角坐标方程，得 t2＋（－t－1）2＝8，∴t2＋t－7＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7.‎ 则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝7.‎ ‎2．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM：θ＝，在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 ‎(φ为参数)．‎ ‎(1)求圆C的普通方程及极坐标方程；‎ ‎(2)射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解　(1)由圆C的参数方程(φ为参数)知，圆C的圆心为(0,2)，半径为2，‎ 所以圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，‎ 得圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.‎ ‎(2)设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝2，θ1＝.‎ 设Q(ρ2，θ2)，则由 解得ρ2＝5，θ2＝，‎ 所以线段PQ的长|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝3.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点P(1,0)．若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．‎ 解　(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，‎ ‎∴直线l的普通方程为y＝tanα·(x－1)．‎ 由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0，即x2－4y＝0.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.‎ ‎(2)∵点M的极坐标为，‎ ‎∴点M的直角坐标为(0,1)．‎ ‎∴tanα＝－1，直线l的倾斜角α＝.‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎∵Q为线段AB的中点，‎ ‎∴点Q对应的参数值为＝＝3.‎ 又点P(1,0)，则|PQ|＝＝3.‎ ‎4．(2019·兰州市高三二诊)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0<α<π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．‎ 解　(1)由曲线C1的参数方程为(φ为参数)，‎ 消去参数得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 因为曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ.‎ 所以C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，‎ 整理得x2＋(y－2)2＝4.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，已知圆C：(θ为参数)，点P在直线l：x＋y－4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)射线OP交圆C于点R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|·|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．‎ 解　(1)圆C的极坐标方程ρ＝2，直线l的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，‎ 因为ρ1＝，ρ2＝2，‎ 又因为|OP|2＝|OR|·|OQ|，即ρ＝ρ·ρ2，‎ 所以ρ＝＝×，‎ 所以Q点轨迹的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎6．(2019·青岛市高三一模)直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数)．以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C2：ρ＝4sinθ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和极坐标方程；‎ ‎(2)已知直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M和N两点(均异于点O)，求线段MN的长．‎ 解　(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数)，‎ 所以C1的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，　①‎ 在极坐标系中，将代入①得ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＝0，‎ 化简得，C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.　②‎ ‎(2)因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，‎ 且直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M，N，‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t>0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.‎ ‎(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；‎ ‎(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)由ρsin＝3得ρsinθ＋ρcosθ＝3，‎ 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，‎ 当t＝1时，曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ 消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，‎ ‎∴曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.‎ ‎(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的下方，‎ ‎∴对任意的α∈R，tcosα＋sinα－3<0恒成立，‎ 即cos(α－φ)<3恒成立，‎ ‎∴ <3，又t>0，∴00，解得－3

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