2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018 学年山东省烟台市高二上学期期末数学文试题（解析版） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. “若 ，则 ”的逆否命题是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】逆否命题是交换条件和结论，并全部否定，故选 . 2. 若命题“ ”为假，“ ”为假，则（ ） A. 真 真 B. 假 假 C. 真 假 D. 假 真 【答案】C 【解析】由于“ ”为假，故 为真，“ ”为假，故 为假.故选 . 3. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“ ”是假命题 B. 命题 ，则 “ ” C. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” D. “若 ，则 ”的逆命题为真 【答案】D 【解析】 选项联结词为或，而 ，故为真命题. 选项 应为 . 选项否命题应为 .故 选 项错误，所以选 . 4. 设 ，则“ 且 ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】画图图像如下图所示，由图可知，前者是大范围，后者是小范围，大范围是小范围的必要不充分条件. 5. 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意可知，双曲线的 ，故 ，由此可知双曲线为等轴双曲线，故渐近线为 . 6. 以直角坐标系 的坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的圆心的平面直角 坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对圆的极坐标方程两边乘以 ，得 ，故圆心坐标为 . 7. 已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双 曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为 ，故 ，根据 ，故选 . 8. 若 为椭圆 上任一点，则点 到直线 的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设 ，由点到直线距离公式，得 ，故选 . 9. 设抛物线 的焦点为 ，不过焦点的直线与抛物线交于 两点，与 轴交于点 （异于坐标原 点 ），则 与 的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】画出图像如下图所示，由图可知， .显然直线的斜率存在，设直线方程为 ，联立 ，消去 得 ，故 . ， . 10. 已知 是双曲线 的两个焦点，点 是双曲线上任意一点，若点 是 的重心，则点 的轨迹方 程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意有 ，且 .设 ，根据重心坐标公式有 ，即 ， 代入双曲线方程并化简得 . 11. 公元前 300 年左右，欧几里得在他的著作《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一 定义：已知平面内一定直线和线外一定点 ，从平面内的动点 向直线引垂线，垂足为 ，若 为定值，则 动点 的轨迹为圆锥曲线. 已知 ，直线 ，若 ，则点 的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 【答案】B 【解析】根据圆锥曲线的第二定义可知，轨迹为椭圆.不妨设 ，依题意有 ，两边平方 并化简得 .故轨迹为椭圆. 【点睛】圆锥曲线的统一定义：已知平面内一定直线和线外一定点 ，从平面内的动点 向直线引垂线，垂足为 ， 若 为定值，则动点 的轨迹为圆锥曲线.这个定值称为离心率，若离心率大于 ，则轨迹为双曲线，若离 心率等于 ，则轨迹为抛物线，若离心率为小于 的正数，则轨迹为椭圆，若离心率为零，轨迹则为圆. 12. 设 分别为椭圆 与双曲线 公共的左、右焦点，两曲线在第一象限内交于点 ， 是以线段 为底边的等腰三角形，且 ，若椭圆 的离心率 ，则双曲线 的离心率 的取值范 围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 ，在椭圆中，根据椭圆的定义，有 ；根据等腰三角形，有 ，根据椭圆离 心率的取值范围得 ，解得 .在双曲线中，根据双曲线的定义和等腰三角形，有 ，所以 . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的定义，考查双曲线的定义，考查等腰三角形的几何性质. 由于 为椭圆和双曲线的交点，故它满足两个曲线的定义，由于题目已知的是椭圆离心率的取值范围，从椭圆的 定义出发，求得 的取值范围，再代入双曲线的离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若命题“ ，不等式 恒成立”为真，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由基本不等式可知 ，故 . 14. 双曲线 的焦点到其渐近线的距离为__________． 【答案】 【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为 ，故距离为 . 15. 已知椭圆 的右焦点 在圆 外，过 作圆的切线 交 轴于点 ，切点为 ，若 ，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】由于 ，且 ，故三角形 为等腰直角三角形，故直线 的斜率为 ，即直线 的 方程为 ， ，根据圆心到直线的距离等于 ，有 ，代入 得 ，故离心 率为 . 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，考查向量加法的几何意义.本题突破 口在于 ，根据向量加法的几何意义可以知道 是 的中点，再结合直线和圆相切，可以判断出三 角形为等腰直角三角形，这样直线方程就可以求出来了，再利用点到直线距离公式建立方程，来求离心率. 16. 关于曲线 ，给出以下结论： ①当 时，曲线为椭圆；②当为第二、第四象限角时，曲线为双曲线； ③当 时，曲线为焦点在 轴上的双曲线； ④当 时，曲线为两条直线. 写出所有你认为正确的结论的序号__________． 【答案】②③ 【解析】当 ，曲线方程为 为圆，故①错误.当 时，曲线方程为 ，不存在这样的曲线， 故④错误.当为第二象限角时 ，曲线为焦点在 轴上的双曲线，当为第四象限角时， ， 曲线为焦点在 轴上的双曲线. 故②③正确. 【点睛】本题主要考查圆锥曲线方程的判断，考查三角函数正弦值与余弦值在各个象限的正负.根据三角函数的 定义，由于 ，故在一、二象限，正弦值是正数，在三、四象限，正弦值为负数；由于 ，故在一、 四象限，余弦值是正数，在三、四象限，余弦值为负数. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知命题 ；命题 函数 在区间 上为减函数. （1）若命题 为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】【试题分析】（1） 假，则 为真.当 时，结论不成立，当 时，开口要向下且判别式为非正数， 由此列不等式组，求得的范围.（2）命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，则命题 一真一假，故分成 真 假， 假 真两种情况分别列不等式组，求得的取值范围. 【试题解析】 （1）∵ 为假，所以 为真，即 ， . 当 时，结论不成立； 当 时， ，解得 . 所以实数的取值范围是 . （2）当 为真，实数的取值范围是： ，即 . ∵命题“ ”为真命题,“ ”为假命题， ∴命题 ， 一真一假. 当 真 假时，则 ，得 ； 当 假 真时，则 ，得 . ∴实数 a 的取值范围是 或 . 18. 已知 ：实数 使得椭圆 的离心率 . （1）求实数 的取值范围； （2）若 ， 是 的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】【试题分析】（1）根据 ，或 求得 的取值范围.（2）根据充 分不必要条件的知识可知 的取值范围是 的子集，由此列不等式组，可求得的取值范围. 【试题解析】 （1）当 时，∵ ， ∴ ，∴ ， 当 时，∵ ， ∴ 解得 . 综上所述实数 的取值范围是 或 . （2）∵ ， 是 的充分不必要条件， ∴ . 所以 ，解得 . 19. （1）求焦点在 轴，焦距为 4，并且经过点 的椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦点，求此双曲线的方程. 【答案】（1） （2） 【试题解析】 （1）由题意，可设椭圆的标准方程为 ， 两个焦点的坐标分别为 ， 由椭圆的定义知 ， 又因为 ，所以 ， 故所求椭圆的标准方程为 . （2）由题意可设双曲线的方程为 ， 因为椭圆 的焦点为 ， 所以双曲线的半焦距 ， 由题意可知 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， 所以双曲线的方程为 . 20. 已知抛物线的顶点是坐标原点 ，焦点 在 轴的正半轴上，过焦点 且斜率为 的直线与抛物线交于 两点， 且满足 . （1）求抛物线的方程； （2）已知 为抛物线上一点，若点 位于 轴下方且 ，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】【试题分析】（1）设出抛物线的方程 ，得到焦点坐标，由此得到直线的方程，联立直线的方程 和抛物线的方程，写出韦达定理，代入 ，化简可求得 的值.（2）由（1）先求得 两点的坐标， 代入 ，由此求得 点的坐标，代入抛物线方程，解方程来求的值. 【试题解析】 （1）设抛物线的方程为 ，则直线的方程为 ， 联立直线与抛物线的方程，得： ， 设 ，则 ， . 故 将 ， 代入，得： 解得 ，所以所求抛物线的方程为 . 将 代入 可得， ， 解得 ，从而 ， 则 ， 故 , 又因为点 在抛物线上，所以有 ， 解得 或 . 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查根与系数关系，考查向量运算和两个向量相等的知识，还 考查了方程的思想.第一问求抛物线的方程，可先设出抛物线的方程，里面有一个参数 ，我们利用 这 个向量运算即可建立方程，进一步求出 的值. 21. 已知中心在坐标原点 ，一个焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 . （1）求此椭圆的方程； （2）设直线 与椭圆交于 两点，且以 为对角线的菱形的一个顶点为 ，求 面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】（1） （2）最大值 1， 【解析】【试题分析】（1）依题意可知 ，得到 ，设出 两点的坐标，利用点差法可得到 的另 一个关系式 ，由此求得 的值.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去 写出韦达定理，利用菱形和椭 圆的弦长公式，求得 面积的表达式，在利用二次函数最值来求得面积的最大值. 【试题解析】 （1）设所求椭圆方程为 ，由题意知 ，① 设直线与椭圆的两个交点为 ，弦 的中点为 ， 由 ，两式相减得： ， 两边同除以 ，得 ，即 . 因为椭圆被直线 截得的弦的中点 的横坐标为 ，所以 ， 所以 ， ，所以 ，即 ，② 由①②可得 ， 所以所求椭圆的方程为 . （2）设 , 的中点为 ， 联立 ，消 可得： ， 此时 ，即 ① 又 ， ， 为对角线的菱形的一顶点为 ，由题意可知 ,即 整理可得： ② 由①②可得 ， ， 设 到直线的距离为 ，则 ， 当 的面积取最大值 1，此时 ∴直线方程为 . 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查利用点差法来解有关中点弦的问题，考查了根与系数关系， 和类似二次函数求最值的方法.利用点差法时，首先设出两个交点的坐标，然后代入椭圆方程内，两式相减，化 简成一部分是斜率，一部分是中点的式子，将已知代入即可. 22. 以直角坐标系 的坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 （为参数）， 曲线 的极坐标方程是 ，与 相交于两点 . （1）求的普通方程和 的直角坐标方程； （2）已知点 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【试题解析】 （1）直线的参数方程为 （t 为参数）， 消去参数 t，得： ． 曲线 C 的极坐标方程是 ，由 ， 得 ． （2）把直线的方程 （t 为参数），代入 ，整理得： ， 设方程的两个根为 ，则 ， 显然 ，因为 ，所以由的几何意义知 .