专题14-4 不等式证明（文理通用）（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测

专题14-4 不等式证明（文理通用）（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】选修4－5　不等式选讲 第04节 不等式证明 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 不等式证明 ‎1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．‎ ‎2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．‎ ‎2015课标2‎ ‎2016课标1‎ ‎2017课标2‎ 以绝对值不等式和基本不等式为载体的证明问题是热点 备考重点：‎ 三个正数的基本不等式 ‎【知识清单】‎ ‎1.不等式证明方法 ‎（1）综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．‎ ‎（2）分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显成立的事实)．‎ ‎（3）反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、_定理，逐步分析，得到和命题条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确．‎ ‎（4）放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或_缩小)使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大．‎ 对点练习 ‎1.（1）用分析法证明： ；‎ ‎（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.‎ ‎（2）假设这三个数没有一个大于或等于，‎ 即，‎ 上面不等式相加得 （*）‎ 而，‎ ‎2. 【2018河北衡水中学模拟】已知实数满足．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若，求证： ．‎ ‎【解析】（1）因为，所以．‎ ‎①当时， ，解得，即；‎ ‎②当时， ，解得 ，即，‎ 所以，则，‎ 而，‎ 所以，即；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为 当且仅当时取等号，‎ 所以 ‎ ．‎ ‎2.柯西不等式 ‎（1）设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．‎ ‎（2）若ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(ibi)2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．‎ ‎（3）柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．‎ 对点练习 ‎1. 【2018云南曲靖质监】已知函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最大值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，‎ 由柯西不等式可得：‎ ‎ ，‎ 当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．‎ ‎2. 【2018甘肃张掖民乐县第一中模拟】若函数的最小值为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若 ，且，证明： ．‎ ‎【解析】（1）当时， ‎ 最小值为， , ‎ 当时， ‎ 最小值为， （舍） ‎ 综上所述， . ‎ ‎（2）证明：∵, ‎ ‎∴.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 比较法证明不等式 ‎【1-1】【2018河南洛阳统一考试】设不等式的解集为.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）比较与的大小，并说明理由.‎ ‎【解析】（1）记，‎ 由解得，则.‎ ‎∵，∴，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 因为 ，‎ 所以，故.‎ ‎【1-2】【2018河北唐山市模拟】已知函数，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当， 时， .‎ ‎【解析】（Ⅰ） ‎ 由的单调性及得， 或．　‎ 所以不等式的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，所以， ，‎ ‎，‎ 所以，‎ 从而有．　‎ ‎【领悟技法】‎ 比较法证明不等式的一般步骤 ‎(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”的关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.‎ ‎【触类旁通】‎ 用适当方法证明：如果那么。‎ 考点2 分析法、综合法证明不等式 ‎【2-1】【2018辽宁沈阳交联体模拟】已知 ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）设为正数，求证： .‎ ‎【解析】‎ ‎(1）‎ ‎，当且仅当时取等号， ‎ ‎(2)要证：，需证：，即证：，需证：，为正数，由基本不等式，可得 ‎，，，当且仅当时取等号，将以上三个同向不等式相乘得，即，所以原不等式成立.‎ ‎【2-2】选择适当的方法证明 ‎（1）‎ ‎（2）已知， ， ，求证： ‎ ‎ ‎ ‎(2)∵b2+c2⩾2bc,a>0,∴a(b2+c2)⩾2abc.‎ 同理可得：b(c2+a2)⩾2abc,c(a2+b2)⩾2abc，‎ ‎∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)⩾6abc.‎ ‎【领悟技法】‎ 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；‎ ‎(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.‎ ‎【证明】　(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥‎ ‎3＝3，所以2x＋≥2y＋3.‎ ‎(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立.‎ 考点3 放缩法证明不等式 ‎【3-1】设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋.‎ ‎【证明】　∵a，b，c均为正实数，‎ ‎∴≥≥，当且仅当a＝b时等号成立；‎ ≥≥，当且仅当b＝c时等号成立；‎ ≥≥，当且仅当c＝a时等号成立；‎ 三个不等式相加即得＋＋≥＋＋，‎ 当且仅当a＝b＝c时等号成立.‎ ‎【3-2】若a, b, c, dÎR+，求证：‎ ‎【解析】记m=‎ ‎∵a, b, c, dÎR+ ‎ ‎∴1 < m < 2 即原式成立 ‎【领悟技法】‎ 不等式的变形是一种保号变形．如证明f(a)>g(a)，我们可将左边放缩成f1(a)，但必须同时保证f1(a)－g(a)≥0，否则称为放缩过度.‎ ‎【触类旁通】‎ 设s＝＋＋＋…＋，求证：n(n＋1)＋＋＋…＋＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，s<＋＋＋…＋＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＝n(n＋2)，∴n(n＋1)

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