2016年海南省三亚四中高考模拟数学文

2016年海南省三亚四中高考模拟数学文

2016 年海南省三亚四中高考模拟数学文 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A={x||x|≤1}，集合 B=Z，则 A∩B=( ) A.{0} B.{x|-1≤x≤1} C.{-1，0，1} D. 解析：集合 A={x||x|≤1}={x|-1≤x≤1}，集合 B=Z， 则 A∩B={-1，0，1}. 答案：C. 2. 设 i 是虚数单位，复数 z＝1+ 1 1 i i   在复平面上所表示的点为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：复数 z＝1+ ＝ 2 1 i ＝1-i. z 所对应的点为(1，-1)，在第四象限. 答案：D. 3. 已知向量 a ＝(m，-2)，b ＝(4，-2m)，条件 p： a ∥ ，条件 q：m=2，则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 解析：若 a∥b，则-2m2+8=0，解得：m=±2， ∴P：m=±2，而 q：m=2， ∴p 是 q 的必要不充分条件. 答案：B. 4. 函数 f(x)= 1 2 cos2x+ 3 sinxcosx 的一个对称中心是( ) A.( 3  ，0) B.( 6  ，0) C.(- 6  ，0) D.(- 12  ，0) 解析：∵f(x)= 1 2 cos2x+ 3 sinxcosx= 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x=sin(2x+ )， ∴由 2x+ =kπ，k∈Z 可解得：x= 2 k  - ，k∈Z，故有，当 k=0 时，x=- . ∴函数 f(x)= 1 2 cos2x+ sinxcosx 的一个对称中心是：(- ，0). 答案：D. 5. 定义运算“*”为：a*b= 0 20ab ab a a    ， ＜ ， ，若函数 f(x)=(x+1)*x，则该函数的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析：由题意， f(x)=(x+1)*x=   1 11 21xx xxx x         ， ＜ ， ， 由题意作出其函数图象如下， 答案：D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A.( 3 2 +2)π B.( 3 3 +4)π C.( 3 6 +2)π D.( +2)ππ 解析：该几何体为圆柱与半个圆锥组成， 其中圆柱的体积为π×12×2=2π， 半个圆锥的体积为 1 2 × 1 3 ×π×12× 221 = π； 故该几何体的体积是( +2)π. 答案：C. 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A.6 B.8 C.10 D.15 解析：第一次运行，i=2，满足条件 i＜5，s=1+2=3，i=3， 第二次运行，i=3，满足条件 i＜5，s=3+3=6，i=4， 第三次运行，i=4，满足条件 i＜5，s=6+4=10，i=5， 此时不满足条件 i＜5，程序终止，输出 s=10. 答案：C. 8. 如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的 一点 C，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)： ①测量 A，C，b ②测量 a，b，C ③测量 A，B，a 则一定能确定 A，B 间距离的所有方案的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析：对于①，利用内角和定理先求出 C=π-A-B，再利用正弦定理 bc sinB sinC ＝ 解出 c， 对于②，直接利用余弦定理 cosC= 222 2 a b c ab  即可解出 c， 对于③，先利用内角和定理求出 C=π-A-B，再利用正弦定理解出 c. 答案：A. 9. 已知 a＞0，x，y 满足约束条件   1 3 3 x xy yax      ，若 z=2x+y 的最小值为 3 2 ，则 a=( ) A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 解析：作出不等式对应的平面区域，(阴影部分) 由 z=2x+y，得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时，直线 y=-2x+z 的截距最小，此 时 z 最小. 由 32 2 1 xy x  ＝ ＝ ，解得 1 1 2 x y     ＝ ＝ ， 即 A(1，- 1 2 )， ∵点 A 也在直线 y=a(x-3)上， ∴- ＝a(1-3)＝-2a， 解得 a= 1 4 . 答案：A. 10. 已知点 An(n，an)(n∈N*)都在函数 f(x)=logax(a＞0 且 a≠1)的图象上，则 a2+a10 与 2a6 的大小关系为( ) A.a2+a10＞2a6 B.a2+a10＜2a6 C.a2+a10=2a6 D.a2+a10 与 2a6 的大小与 a 有关 解析：∵点 An(n，an)(n∈N*)都在函数 f(x)=logax(a＞0 且 a≠1)的图象上， ∴an=logan， ∴a2+a10=loga2+loga10=loga20， 2a6=2loga6=loga36， 当 0＜a＜1 时，loga36＜loga20，即 a2+a10＞2a6， 当 a＞1 时，loga36＞loga20，即 a2+a10＜2a6， 故 a2+a10 与 2a6 的大小与 a 有关. 答案：D 11. 若函数 f(x)=2x3-3mx2+6x 在区间(2，+∞)上为增函数，则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞，2) B.(-∞，2] C.(-∞， 5 2 ) D.(-∞， ] 解析：f′(x)=6x2-6mx+6； 由已知条件知 x∈(2，+∞)时，f′(x)≥0 恒成立； 设 g(x)=6x2-6mx+6，则 g(x)≥0 在(2，+∞)上恒成立； ∴(1)若△=36(m2-4)≤0，即-2≤m≤2，满足 g(x)≥0 在(2，+∞)上恒成立； (2)若△=36(m2-4)＞0，即 m＜-2，或 m＞2，则需：   2 2 30 1 2 20 m gm    ＜ ＝ ； 解得 m＜ 5 2 ； ∴m＜-2，或 2＜m≤ ； ∴综上得 m≤ ； ∴实数 m 的取值范围是(-∞， ]. 答案：D. 12. P 为双曲线 22 19 16 xy的右支上一点，M，N 分别是(x+5)2+y2=4 圆和(x-5)2+y2=1 上的 点，则|PM|-|PN|的最大值为( ) A.8 B.9 C.10 D.7 解析：双曲线 22 1916 xy，如图： ∵a=3，b=4，c=5， ∴F1(-5，0)，F2(5，0)， ∵|PF1|-|PF2|=2a=6， ∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|-|NF2|， ∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|， 所以，|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2| =6+1+2 =9. 答案：B. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 高三某学习小组对两个相关变量收集到 6 组数据如下表： 由最小二乘法得到回归直线方程 ˆy =0.82x+11.3，发现表中有两个数据模糊不清，则这两个 数据的和是_____. 解析：由表中数据得： x =35， y = 1 6 (151+m+n)， 由于由最小二乘法求得回归方程 ˆy =0.82x+11.3， 将 =35， = (151+m+n)，代入回归直线方程， 得 m+n=89. 答案：89 14. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA1=2 6 ，∠BAC=90°，则 球的表面积_____. 解析：如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心 PQ，O 为 PQ 的中点，OP⊥平面 ABC，则 球的半径为 OB， 由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以 BC=5， 因为 AA1=2 ，所以 OP= ， 所以 OB= 25 76 42 所以球的表面积为：4π×OB2=49π. 答案：49π. 15. 设抛物线 x2=4y 的焦点为 F，经过点 P(1，4)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，且点 P 恰为 AB 的中点，则| AF |+| BF |=_____. 解析：| |+| |=AE+BD=2Pd 抛物线 x2=4y 故，准线方程为 y=-1 故点 P 到准线的距离是 5， 所以，| AF |+| BF |=AE+BD=2Pd=10 答案：10. 16. 观察下列等式： (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 … 照此规律，第 n 个等式可为_____. 解析：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含 有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第 n 个等式的左边含有 n 项相乘， 由括号内数的特点归纳第 n 个等式的左边应为： (n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)， 每个等式的右边都是 2 的几次幂乘以从 1 开始几个相邻奇数乘积的形式，且 2 的指数与奇数 的个数等于左边的括号数， 由此可知第 n 个等式的右边为 2n·1·3·5…(2n-1). 所以第 n 个等式可为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1). 答案：(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1). 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知等差数列{an}中，a1=-2，公差 d=3；数列{bn}中，Sn 为其前 n 项和，满足 2nSn+1＝ 2n(n∈N+). (1)记 cn＝ 1 1 nnaa ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn； (2)求证：数列{bn}是等比数列. 解析：(1)根据等差数列{an}的首项与公差确定出通项公式，进而确定出 cn 的通项公式，求 出数列{cn}的前 n 项和 Tn 即可； (2)根据 2nSn+1=2n，确定出 Sn 与 Sn-1，由 bn=Sn-Sn-1，利用等比数列的性质判断即可. 答案：(1)解：∵a1=-2，d=3， ∴an=a1+(n-1)×d=-2+3(n-1)=3n-5， ∴cn=   1 1 1 11 3 5 3 2 3 5 1 3 32nna a n n n n       ， 则 Tn=   1 1111113 24 3 5 3 23 2 2 n nnn          ； (2)证明：∵2nSn+1=2n，∴Sn=1- 1 2 n ，Sn-1=1- 1 1 2n (n≥2 的正整数)， ∴bn=Sn-Sn-1= - = - 1 2 × = 1 2 ×( )n-1(n≥2 的正整数)， 当 n=1，b1=S1=1- 1 2 = ，满足上述通项公式， 则数列{bn}是以 b1= 为首项，q= 为公比的等比数列. 18. 解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派 6 人参加实弹射击，其所得成 绩的茎叶图如图所示. (1)根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差，并说明红军还是蓝军的成 绩相对比较稳定； (2)若从蓝军 6 名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人的成绩之差不超过 2 的概率. 解析：(1)记红、蓝两个小组分别为甲，乙，代入公式分别可得其均值和方差由其意义可得 结论； (2)由列举法可得总的基本事件，设 A 表示“所抽取的两人的成绩之差不超过 2”，找出 A 包 含的基本事件，代入古典概型的概率公式可得. 答案：(1)记红、蓝两个小组分别为甲，乙，则 x甲 = 1 6 (107+111+111+113+114+122)=113， x乙 = (108+109+110+112+115+124)=113， 2S甲 = [(107-113)2+2(111-113)2+(113-113)2+(114-113)2+(122-113)2]=2， 2S乙 = [(108-113)2+(109-113)2+(110-113)2+(112-113)2+(115-113)2+(124-113)2]= 88 3 ， ∵ = ， ＜ ， ∴红组的射击成绩相对比较稳定； (2)从蓝队 6 名士兵中随机抽取两人，共有 15 种不同的取法， (108，109)(108，110)(108，112)(108，115)(108，124)(109，110) (109，112)(109，115)(109，124)(110，112)(110，115)(110，124) (112，115)(112，124)(115，124) 设 A 表示“所抽取的两人的成绩之差不超过 2”，则 A 包含的基本事件有 4 种， (108，109)(108，110)，(109，110))(110，112)， 故所求的概率为：P(A)= 4 15 19. 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，且 PA=2，E 是侧棱 PA 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积； (2)如果 E 是 PA 的中点，求证：PC∥平面 BDE； (3)是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD⊥CE？证明你的结论. 解析：(1)利用四棱锥的体积计算公式即可； (2)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明； (3)利用线面垂直的判定和性质即可证明. 答案：(1)∵PA⊥底面 ABCD，∴PA 为此四棱锥底面上的高. ∴V 四棱锥 P-ABCD= 1 3 S 正方形 ABCD×PA= ×12×2= 2 3 . (2)连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AO=OC， 又∵AE=EP，∴OE∥PC. 又∵PC 平面 BDE，OE  平面 BDE. ∴PC∥平面 BDE. (3)不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD⊥CE. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥BD. 又∵PA∩AC=A， ∴BD⊥平面 PAC. ∵CE平面 PAC. ∴BD⊥CE. 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，以动圆经过点(1，0)且与直线 x=-1 相切，若该动圆圆心的 轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)已知点 A(5，0)，倾斜角为 4  的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且与曲线 E 交 于 M、N 两点，求△AMN 面积的最大值，及此时直线 l 的方程. 解析：(1)由抛物线的定义求得抛物线方程. (2)直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于 m 的函数，利用导数求得最大值. 答案：(1)由题意得圆心到(1，0)的距离等于直线 x=-1 的距离，由抛物线的定义可知，圆心 的轨迹方程为：y2=4x. (2)由题意，可设 l 的方程为 y=x-m，其中，0＜m＜5. 由方程组 2 4 yxm yx   ＝ ＝ ，消去 y，得 x2-(2m+4)x+m2=0，① 当 0＜m＜5 时，方程①的判别式△=(2m+4)2-4m2=16(1+m)＞0 成立. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则；x1+x2＝4+2m，x1x2＝m2， ∴|MN|＝ 21 k |x1-x2|＝4 又∵点 A 到直线 l 的距离为 d＝ 5 2 m ∴S△＝2(5-m) 1 m ＝2 3291525mmm 令 f(m)=m3-9m2+15m+25，(0＜m＜5) f'(m)=3m2-18m+15=3(m-1)(m-5)，(0＜m＜5) ∴函数 f(m)在(0，1)上单调递增，在(1，5)上单调递减. 当 m=1 时，f(m)有最大值 32， 故当直线 l 的方程为 y=x-1 时，△AMN 的最大面积为 8 2 21. 已知函数 f(x)=x2+2alnx. (Ⅰ)若函数 f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间； (Ⅲ)若函数 g(x)＝ 2 x +f(x)在[1，2]上是减函数，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)先对函数求导，然后由由已知 f'(2)=1，可求 a (Ⅱ)先求函数 f(x)的定义域为(0，+∞)，要判断函数的单调区间，需要判断导数 f′(x)＝ 2x+ 2a x ＝ 222xa x  的正负，分类讨论：分(1)当 a≥0 时，(2)当 a＜0 时两种情况分别求解 (Ⅲ)由 g(x)可求得 g′(x)，由已知函数 g(x)为[1，2]上的单调减函数，可知 g'(x)≤0 在 [1，2]上恒成立，即 a≤ 1 x -x2 在[1，2]上恒成立，要求 a 的范围，只要求解 h(x)＝ -x2， 在[1，2]上的最小值即可 答案：(Ⅰ)f′(x)＝2x+ 2 a x ＝ 222xa x  由已知 f'(2)=1，解得 a=-3. (Ⅱ)函数 f(x)的定义域为(0，+∞). (1)当 a≥0 时，f'(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)； (2)当 a＜0 时 f′(x)＝x ( )( )2?x a x a x     . 当 x 变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下： 由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是(0， a )； 单调递增区间是( ，+∞). (Ⅲ)由 g(x)＝ 2 x +x2+2alnx 得 g′(x)＝ 2 2 x +2x+ 2 a x ， 由已知函数 g(x)为[1，2]上的单调减函数， 则 g'(x)≤0 在[1，2]上恒成立， 即 +2x+ ≤0 在[1，2]上恒成立. 即 a≤ 1 x -x2 在[1，2]上恒成立. 令 h(x)＝ -x2，在[1，2]上 h′(x)＝ 2 1 x -2x＝-( +2x)＜0， 所以 h(x)在[1，2]为减函数.h(x) min＝h(2)＝ 7 2 ， 所以 a≤ . 22. 选修 4-1：几何证明选讲 切线 AB 与圆切于点 B，圆内有一点 C 满足 AB=AC，∠CAB 的平分线 AE 交圆于 D，E，延长 EC 交圆于 F，延长 DC 交圆于 G，连接 FG. (Ⅰ)证明：AC∥FG； (Ⅱ)求证：EC=EG. 解析：(Ⅰ)通过证明△ACD∽△AEC，推出∠ACD=∠AEC，然后证明 AC∥FG (Ⅱ)证明：连接 BD，BE，EG，证明△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，然后证明 BE=EG. 答案：(Ⅰ)证明：∵AB 切圆于 B， ∴AB2=AD·AE， 又∵AB=AC， ∴AC2=AD·AE， ∴△ACD∽△AEC， ∴∠ACD=∠AEC， 又∵∠AEC=∠DGF， ∴∠ACD=∠DGF，∴AC∥FG (Ⅱ)证明：连接 BD，BE，EG 由 AB=AC，∠BAD=∠DAC 及 AD=AD，知△ABD≌△ACD，同理有△ABE≌△ACE， ∴∠BDE=∠CDE，BE=CE ∴BE=EG， ∴EC=EG 23. 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(-1，5)， 点 M 的极坐标为(4， 2  ).若直线 l 过点 P，且倾斜角为 3  ，圆 C 以 M 为圆心，半径为 4. (Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. 解析：(1)设直线 l 上动点坐标为 Q(x，y)，利用倾斜角与斜率的公式建立关系式得到 x、y 关于 t 的方程组，即可得到直线 l 的参数方程；由圆的性质和极坐标的定义，利用题中数据 可得圆 C 的极坐标方程； (2)将直线 l 与圆 C 都化成直角坐标方程，利用点到直线的距离公式加以计算，得到圆心到 直线的距离比圆 C 半径大，从而得到直线 l 和圆 C 的位置关系. 答案：(1)∵直线 l 过点 P(-1，5)，倾斜角为 3  ， ∴设 l 上动点坐标为 Q(x，y)，则 5 1 y x   =tan 3  = 3 ， 因此，设 35 1 yt xt    ＝ ＝ ， 得直线 l 的参数方程为 5 1 3 yt xt    ＝ ＝ (t 为参数). ∵圆 C 以 M(4， 2  )为圆心，4 为半径， ∴圆心坐标为(0，4)，圆的直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16 ∵ 2 2 2xy y sin     ＝ ＝ ，∴圆 C 的极坐标方程为ρ=8sinθ. (2)将直线 l 化成普通方程，得 3 x-y+5+ ＝0， ∵点 C 到直线 l 的距离 d= 45| 3 | 13     ＝ 1 2 (1+ )＜4=r， ∴直线 l 和圆 C 相交. 24. 已知函数 f(x)=|x-2|+|x+1| (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f(x)≥4-x； (Ⅱ)a，b∈{y|y=f(x)}，试比较 2(a+b)与 ab+4 的大小. 解析：(Ⅰ)对 x 讨论，当 x＜-1 时，当-1≤x≤2 时，当 x＞2 时，去掉绝对值，解不等式， 即可得到解集； (Ⅱ)由于 f(x)≥3，则 a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论. 答案：(Ⅰ)当 x＜-1 时，f(x)=1-2x，f(x)≥4-x 即为 1-2x≥4-x，解得 x≤-3，即为 x≤-3； 当-1≤x≤2 时，f(x)=3，f(x)≥4-x 即为 3≥4-x，解得 x≥1，即为 1≤x≤2； 当 x＞2 时，f(x)=2x-1，f(x)≥4-x 即为 2x-1≥4-x，解得 x≥ 5 3 ，即为 x＞2. 综上可得，x≥1 或 x≤-3. 则解集为(-∞，-3]∪[1，+∞)； (Ⅱ)由于 f(x)≥3，则 a≥3，b≥3， 2(a+b)-(ab+4)=2a-ab+2b-4=(a-2)(2-b)， 由于 a≥3，b≥3，则 a-2＞0，2-b＜0， 即有(a-2)(2-b)＜0， 则 2(a+b)＜ab+4.